全變差曲波變換在醫(yī)學(xué)影像圖像去噪中的應(yīng)用

陳 軍

( 甘肅中醫(yī)藥大學(xué)(定西校區(qū)) 醫(yī)學(xué)教學(xué)部, 甘肅 定西 743000 )

0 引言

醫(yī)學(xué)影像圖像在獲取過程中不可避免地會受到噪聲污染，因而抑制圖像獲取過程中的噪聲對提高圖像的邊緣、紋理和細(xì)節(jié)的清晰度以及消除截斷偽影具有重要意義.近年來，一些學(xué)者運用小波理論探討了提高圖像的低頻近似部分信息和高頻細(xì)節(jié)部分信息的方法，但這些方法存在“過扼殺”系數(shù)、邊緣信息表達(dá)不足及周邊噪聲無法抑制等問題[1-3].為了克服上述問題，一些學(xué)者提出了多尺度幾何分析方法.例如： 2005年， E.J.Candès等[4-5]提出了一種脊波變換方法，該方法能較好地提取圖像特征,且抑噪能力優(yōu)于小波變換方法，但其描述曲線特征的能力較差.2007年， Marjan等[6]將二元曲波變換應(yīng)用于圖像噪聲抑制，該方法雖能有效地去除噪聲，但由于其過多地抑制了反映圖像不同方向的細(xì)節(jié)、紋理等高頻系數(shù)，因而易產(chǎn)生偽影.2009年， B.Amir等[7]提出了全變差去噪聲和去模糊算法，該方法雖然能夠克服圖像濾波時出現(xiàn)的邊緣模糊和位移等問題，但存在計算復(fù)雜和邊緣信息不穩(wěn)定的缺點.2014年，胡遼林等[8]提出了一種改進的各向異性全變差去噪算法，該方法對圖像中的低頻噪聲具有較好的去除效果,但對高頻噪聲的去除效果并不理想.2020年，陸焱等[9]提出了一種采用曲波變換對高頻細(xì)節(jié)圖像去噪的算法，該方法可增強含噪圖像細(xì)節(jié)的清晰度，但對圖像的概貌和視覺識別感知較差.2021年，何明[10]提出了一種基于L1范數(shù)和自適應(yīng)全變差的去噪算法，該方法能有效地抑制圖像的椒鹽噪聲，但對高斯噪聲的去噪效果較差，易產(chǎn)生階梯效應(yīng).基于上述去噪研究中出現(xiàn)的截斷偽影和邊緣模糊、細(xì)節(jié)不清晰的問題，本文提出了一種全變差曲波變換算法，并通過仿真實驗驗證了該算法的有效性.

1 全變差曲波變換算法分析

1.1 含噪醫(yī)學(xué)影像圖像模型

本文建立的含噪醫(yī)學(xué)影像圖像模型為：

μ0(x,y)=μ(x,y)+N(x,y)，

x=0,1,…,m-1;y=0,1,…,n-1.(1)

其中：μ(x,y)是原始醫(yī)學(xué)影像圖像；N(x,y)是均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為σ的高斯白噪聲，服從N(0,σ2)分布；m和n分別為圖像在x方向和y方向上的像素數(shù)；μ0(x,y)為加入噪聲后的醫(yī)學(xué)影像圖像.

1.2 曲波變換去噪算法分析

曲波變換方法是通過建立一組具有各向異性的基來求解空域圖像在這組基底上的相關(guān)值[11].曲波變換去噪的方法是：首先將含噪圖像分解成不同尺度的子帶，并通過Plancherel運算得到每個子帶所對應(yīng)的曲波變換系數(shù)；然后用硬閾值法對所得到的曲波變換系數(shù)進行處理(放棄較小的變換系數(shù)，保留較大的變換系數(shù))，以此實現(xiàn)濾除圖像中的噪聲和保留圖像的邊緣特性.曲波變換去噪的硬閾值表達(dá)式[12]為：

(2)

式(2)中C(i,h)為尺度i和方向h上的曲波系數(shù)，Ti為不同尺度所對應(yīng)的閾值，C0(i,h)為硬閾值處理去噪之后的曲波變換系數(shù).閾值Ti的選取表達(dá)式為:

Ti=ki·σ·σi，

(3)

其中σ為噪聲標(biāo)準(zhǔn)差，σi為子帶變換后所對應(yīng)的噪聲標(biāo)準(zhǔn)差，ki為每一子帶所對應(yīng)的自適應(yīng)常數(shù).本方法中采用具有強適應(yīng)性的蒙特卡洛算法估計噪聲標(biāo)準(zhǔn)差.

1.3 全變差去噪算法分析

全變差方法是建立在數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上的一種關(guān)于能量泛函求極值的去噪方法[13].全變差去噪的方法是：首先用變分方法導(dǎo)出偏微分方程，然后再通過對圖像反復(fù)迭代求解出方程的最優(yōu)解[14].由于無噪圖像的全變差小于含噪圖像的全變差，故全變差去噪可表示為：

(4)

式(4)中，Ω為圖像面積， |?μ|為圖像μ的梯度模.由最小化圖像的全變差可得到以下兩個約束條件：

(5)

由于含噪聲圖像的全變差顯著大于無噪聲的全變差，所以采用最小化全變差可以消除圖像中的噪聲信號.因此，本文引入拉格朗日乘數(shù)法，以便于將約束條件(5)變換為無約束的極值表達(dá)式.變換后得到的圖像去噪的全變差為：

式(6)中:第1項為μ的全變差范數(shù)，它的作用是減少震蕩和平滑圖像；第2項為逼近項，其決定原始圖像μ和含噪圖像μ0的差異；λ為拉格朗日乘子，λ>0.λ值越大，μ越逼近μ0， 即圖像的細(xì)節(jié)被平滑得越弱，去噪效果越差；λ值越小，μ越遠(yuǎn)離μ0， 即圖像的細(xì)節(jié)和噪聲被平滑得越強，去噪效果越好.因此，圖像去噪的全變差模型[15]可等價為：

式(7)中， 1/|?μ|為擴散系數(shù)，初始條件為μ=μ0.采用梯度下降法迭代求解出方程的最優(yōu)解，最終獲得去噪后的圖像.由式(7)可知，擴散只發(fā)生在與梯度正交的方向上，因此全變差模型可有效去除醫(yī)學(xué)影像圖像中的噪聲和保持圖像的邊緣特征，但其在平滑區(qū)域會產(chǎn)生階梯效應(yīng).

2 全變差曲波變換去噪的流程與實驗仿真

2.1 全變差曲波變換去噪的流程

在醫(yī)學(xué)影像圖像中，由于圖像的基本信息主要由低頻系數(shù)體現(xiàn)，圖像的邊緣和細(xì)節(jié)信息主要由高頻系數(shù)體現(xiàn)，因此需采用不同算法來處理圖像的高、低頻信息.因加權(quán)平均算法在處理圖像低頻成分方面具有平滑去噪及有效消除截斷偽影的優(yōu)點，因此本文采用加權(quán)平均方法處理圖像的偽影.令兩幅源醫(yī)學(xué)影像圖像分別為X和Y， 最終的合成醫(yī)學(xué)影像圖像為Z， 則圖像平滑去噪及消除截斷偽影的加權(quán)平均法可表示為：

C(Z,p)=kC(X,p)+(1-k)C(Y,p)，(8)

其中k為加權(quán)系數(shù)(根據(jù)表1數(shù)據(jù)，本文取k=0.5)，p=(x,y)表示曲波系數(shù)的空間位置.

表1 k參數(shù)與C(Z,p)的對應(yīng)值

由于利用絕對值取大算法處理圖像高頻成分時能充分提取曲波變換閾值去噪后的圖像邊緣和紋理信息，因此本文采用絕對值取大方法處理圖像的紋理細(xì)節(jié).絕對值取大算法為：

C(Z,p)=

全變差曲波變換去噪算法的流程圖如圖1所示.

圖1 全變差曲波變換去噪算法的流程圖

2.2 實驗仿真結(jié)果與分析

為檢驗全變差曲波變換方法的有效性，利用Matlab平臺[16]將本文方法和單一的曲波、全變差方法對醫(yī)學(xué)影像圖像的去噪效果進行實驗對比.實驗用圖像來源于醫(yī)學(xué)圖像數(shù)據(jù)集(https://www.kaggle.com/felipekitamura/head - ct - hemorrhage)，圖像大小為512像素×512像素，如圖2所示(圖2(a)為原始圖像，圖2(b)為加入標(biāo)準(zhǔn)差σ=25的高斯白噪聲的圖像).圖3中的(a)、(b)、(c)圖像分別為對圖2(b)進行曲波變換、全變差、全變差曲波變換的結(jié)果.

圖2 原始圖像(a)和加噪(σ=25)的醫(yī)學(xué)影像圖像(b)

圖3 曲波變換(a)、全變差(b)、全變差曲波變換(c)算法的去噪效果

由圖3可以看出，3種算法雖然都能夠有效去除噪聲，但存在差異.其中：曲波變換去噪算法(圖3(a))可有效濾除噪聲和保持醫(yī)學(xué)影像圖像的邊緣、紋理等細(xì)節(jié)信息，但在圖像邊緣處產(chǎn)生了明顯的由硬閾值法造成的截斷偽影，進而使得圖像產(chǎn)生了一些原本不存在的印跡；全變差去噪算法(圖3(b))雖然保持邊緣的效果較好，但其丟失了較多紋理等細(xì)節(jié)信息，使得紋理細(xì)節(jié)變得模糊，并出現(xiàn)明顯的塊狀效應(yīng)；全變差曲波變換去噪算法(圖3(c))在有效去除噪聲的同時較好地保持了圖像邊緣及紋理等細(xì)節(jié)信息，即能有效克服曲波變換去噪算法產(chǎn)生的截斷偽影現(xiàn)象以及全變差去噪算法出現(xiàn)的細(xì)節(jié)丟失和塊狀效應(yīng)問題.由以上可以看出，本文提出的算法在保留圖像的邊緣、紋理、細(xì)節(jié)等信息方面以及在消除截斷偽影方面顯著優(yōu)于曲波變換去噪算法和全變差去噪算法.

表2為曲波變換、全變差、全變差曲波變換算法去噪時的峰值信噪比.由表2可知，在不同標(biāo)準(zhǔn)差的噪聲下，全變差曲波變換算法的峰值信噪比均高于曲波變換去噪算法和全變差去噪算法，由此進一步表明全變差曲波變換算法的去噪效果優(yōu)于曲波變換去噪算法和全變差去噪算法.

表2 曲波變換、全變差、全變差曲波變換算法去噪時的峰值信噪比

3 結(jié)語

研究表明，本文提出的全變差曲波變換算法具有較好的去噪聲性能，能夠很好地保持圖像的邊緣、紋理和細(xì)節(jié)等信息，同時可削除截斷偽影；因此，本文提出的算法對醫(yī)學(xué)影像圖像的去噪具有很好的應(yīng)用價值.在今后的研究中我們將對算法的魯棒性做進一步研究.