基于深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)*
——以“函數(shù)的基本性質(zhì)(奇偶性)”為例

廣州第八十六中學(xué)(510700) 甘綺雯

新課程標(biāo)準(zhǔn)中提出“普通高中的培養(yǎng)目標(biāo)是進(jìn)一步提升學(xué)生的綜合素質(zhì),著力發(fā)展核心素養(yǎng),使學(xué)生具有理性信念和社會(huì)責(zé)任感,具有科學(xué)文化素養(yǎng)和終身學(xué)習(xí)能力,具有自主發(fā)展能力和溝通合作能力[1],為了達(dá)到以上教學(xué)目標(biāo),使學(xué)生逐步具備數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng),目前普遍認(rèn)同的觀點(diǎn)是深度學(xué)習(xí)是促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的養(yǎng)成和全面發(fā)展的重要途徑.作為數(shù)學(xué)教師如何落實(shí)學(xué)生深度學(xué)習(xí),幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越,是值得探討的問(wèn)題.

什么是深度學(xué)習(xí)? 黎加厚教授認(rèn)為,深度學(xué)習(xí)是在理解學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上,學(xué)習(xí)者能夠批判性地學(xué)習(xí)新的思想和事實(shí),并把它們?nèi)谌朐械恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)中,能夠在眾多思想間進(jìn)行聯(lián)系,并能夠?qū)⒁延兄R(shí)遷移到新的情境中,做出決策和解決問(wèn)題的學(xué)習(xí).[2]

一、領(lǐng)悟教材,學(xué)情分析,確定高階目標(biāo)

深度學(xué)習(xí)主要目標(biāo)在于通過(guò)對(duì)核心知識(shí)的理解與掌握的過(guò)程,培養(yǎng)學(xué)生的高階思維和關(guān)鍵能力.某一個(gè)具體知識(shí)所蘊(yùn)含的高階思維和關(guān)鍵能力是什么,怎樣確定一個(gè)學(xué)習(xí)內(nèi)容中應(yīng)當(dāng)聚焦的高階思維和關(guān)鍵能力[3].所以課前教師要全方位了解學(xué)生,深度理解教材,樹(shù)立高階思維的培養(yǎng)目標(biāo).

“函數(shù)的基本性質(zhì)(奇偶性)”是人教A 版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)(必修第一冊(cè))》第三章第二節(jié)的學(xué)習(xí)內(nèi)容.本節(jié)課主要學(xué)習(xí)函數(shù)奇偶性概念,會(huì)利用定義或函數(shù)圖像判斷函數(shù)奇偶性,以及利用函數(shù)的奇偶性解決問(wèn)題.教材在處理函數(shù)奇偶性時(shí),沿用了函數(shù)單調(diào)性方法,即從特殊函數(shù)的圖像出發(fā),歸納共同特征,再抽象形成函數(shù)的性質(zhì),這種從特殊到一般的歸納過(guò)程以及數(shù)形結(jié)合思想,將貫穿于我們整個(gè)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)當(dāng)中,也有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).因此本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性.

本節(jié)課面向的是高一年級(jí)學(xué)生.從學(xué)生知識(shí)儲(chǔ)備看,學(xué)生在初中已學(xué)習(xí)了對(duì)稱(chēng)圖形以及對(duì)稱(chēng)概念,通過(guò)上一節(jié)對(duì)函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí),初步積累了研究函數(shù)的基本方法與初步經(jīng)驗(yàn),這些對(duì)本節(jié)內(nèi)容剛開(kāi)始的引入和概念形成起到了鋪墊作用.但是學(xué)生的分析歸納能力和用數(shù)學(xué)規(guī)范語(yǔ)言表達(dá)的能力比較弱,我們必須引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”與“形”兩個(gè)方面來(lái)加深對(duì)函數(shù)奇偶性本質(zhì)的認(rèn)識(shí).從學(xué)生的思維發(fā)展看,高一學(xué)生思維能力正在由形象經(jīng)驗(yàn)型向抽象理論型轉(zhuǎn)變,能夠用假設(shè)、推理來(lái)思考和解決問(wèn)題.但分析、歸納、抽象的思維能力還是比較薄弱,通過(guò)恰當(dāng)?shù)呐囵B(yǎng)和引導(dǎo)能夠使得學(xué)生的分析歸納能力得到提高.針對(duì)以上情況,本節(jié)課的難點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的研究過(guò)程,突破難點(diǎn)還是應(yīng)從學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)出發(fā),通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思維,利用知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程來(lái)自然地提出問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生層層深入地進(jìn)行思考,促使學(xué)生得到思維方法上的發(fā)展,從而對(duì)知識(shí)產(chǎn)生深度學(xué)習(xí).

導(dǎo)向深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)要求在價(jià)值維度上指向高階思維,內(nèi)容維度上聚焦學(xué)科本質(zhì)、方法維度上強(qiáng)化問(wèn)題解決、評(píng)價(jià)維度上凸顯實(shí)踐創(chuàng)新.[4]所以本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)置如下:

(1)類(lèi)比研究函數(shù)單調(diào)性的方法,借助函數(shù)圖像,會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的奇偶性的定義.通過(guò)這個(gè)探究過(guò)程發(fā)展學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想,并培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的素養(yǎng).

(2)通過(guò)例題的學(xué)習(xí),學(xué)生會(huì)用圖像和定義判定函數(shù)的奇偶性,能利用函數(shù)的奇偶性質(zhì)幫助畫(huà)函數(shù)圖像和計(jì)算問(wèn)題,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理的素養(yǎng).

二、激活——?jiǎng)?chuàng)設(shè)符合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)的問(wèn)題情境,引入概念

楊清博士說(shuō)過(guò)激活就是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī),引起學(xué)生注意,觸發(fā)學(xué)生興趣、情感和思維的“燃點(diǎn)”.那么這“燃點(diǎn)”怎么去創(chuàng)造? 本人覺(jué)得要?jiǎng)?chuàng)設(shè)真實(shí)的、符合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)的問(wèn)題情境,打通新舊經(jīng)驗(yàn)聯(lián)結(jié)通道,這也是學(xué)生課堂深度學(xué)習(xí)的關(guān)鍵一步.本節(jié)課通過(guò)問(wèn)題竄激活學(xué)生對(duì)新知的探究和思考,情景引入環(huán)節(jié)如下:

問(wèn)題1 請(qǐng)同學(xué)們回憶上一節(jié)課學(xué)習(xí)的函數(shù)單調(diào)性的定義.

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)復(fù)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的定義,為學(xué)生用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)奇偶性做鋪墊.

問(wèn)題2 試舉出一些現(xiàn)實(shí)生活中具有“對(duì)稱(chēng)美”的事物.

設(shè)計(jì)意圖 從生活中的對(duì)稱(chēng)圖形入手,激發(fā)學(xué)生對(duì)對(duì)稱(chēng)圖形的聯(lián)結(jié),由圖形的對(duì)稱(chēng)性過(guò)渡到函數(shù)圖像的特征,為學(xué)生認(rèn)識(shí)奇偶函數(shù)的圖像特征做好準(zhǔn)備.

三、聯(lián)結(jié)——搭建遞進(jìn)式思維過(guò)程,抽象概念

概念的形成是以學(xué)生的直接經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ),用歸納的方式歸納一類(lèi)事物的共同屬性,從而達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解,基于深度學(xué)習(xí)的視域下,概念的教學(xué)要突出概念的生成過(guò)程和探究過(guò)程,通過(guò)讓學(xué)生親自經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過(guò)程,獲得理解性掌握,從而有效發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)推理等核心素養(yǎng).因此研究函數(shù)奇偶性的過(guò)程概括起來(lái)就是: 具體函數(shù)——圖像特征(對(duì)稱(chēng)性)——數(shù)量刻畫(huà)——符號(hào)語(yǔ)言——抽象定義——奇偶性判定.難點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性的符號(hào)語(yǔ)言的刻畫(huà),為了突破難點(diǎn),教師可以通過(guò)設(shè)計(jì)問(wèn)題鏈,搭建遞進(jìn)式思維過(guò)程,逐步構(gòu)建知識(shí),協(xié)助學(xué)生體驗(yàn)一個(gè)新數(shù)學(xué)概念的抽象過(guò)程,這也是淺層學(xué)習(xí)和分層學(xué)習(xí)的“分水嶺”.以下是奇偶函數(shù)概念形成的教學(xué)片段:

探究活動(dòng)1偶函數(shù)的定義

問(wèn)題3 哪些函數(shù)的圖像具有對(duì)稱(chēng)性? 請(qǐng)同學(xué)們畫(huà)出并觀察函數(shù)f(x)=x2和g(x)= 2-|x|的圖像,你能發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)函數(shù)圖像有什么共同特征?

問(wèn)題4 類(lèi)比函數(shù)的單調(diào)性,你能用符號(hào)語(yǔ)言精確地描述“函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)”這一特征嗎?

追問(wèn)(1)①一對(duì)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)有什么關(guān)系?②點(diǎn)P(x,f(x))與點(diǎn)P′(-x,f(-x))的位置有什么關(guān)系?

追問(wèn)(2)以f(x)=x2和g(x)= 2-|x|為例,自變量取一些特殊值,觀察表格相應(yīng)函數(shù)值的情況,你能給出有什么共同特點(diǎn)嗎?

x …-3-2-1 0 1 2 3…f(x)=x2…9 4 1 0 1 4 9…g(x)=2-|x|…-1 0 1 2 1 0-1…

追問(wèn)(3)你能用符號(hào)語(yǔ)言歸納上述例子的共同特點(diǎn)嗎?

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生從具體到抽象進(jìn)行概括,預(yù)設(shè)學(xué)生得到f(-x)=f(x).實(shí)際上?x ∈R,都有f(-x)= (-x)2=x2=f(x),這時(shí)稱(chēng)函數(shù)f(x)=x2為偶函數(shù).教師用幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)展示圖像任意兩個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系.

追問(wèn)(4)定義域上只有某些數(shù)有f(-x)=f(x)成立,函數(shù)圖像也可以關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)嗎? 你能舉例說(shuō)明嗎?

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)舉反例進(jìn)行說(shuō)明,讓學(xué)生明確,應(yīng)該是定義域上任意數(shù).

追問(wèn)(5)函數(shù)f(x)=x2(x ∈[-2,3])圖像關(guān)于y軸稱(chēng)嗎? 為什么?

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)對(duì)反例的辨析,把偶函數(shù)的概念進(jìn)一步的完善.

追問(wèn)(6)你能用符號(hào)語(yǔ)言精確地描述“函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)”這一特征嗎?

探究活動(dòng)2奇函數(shù)的定義

問(wèn)題5 請(qǐng)你類(lèi)比偶函數(shù)概念建立過(guò)程,思考并討論以下問(wèn)題:

(1)f(x)=x和f(x)=這兩個(gè)函數(shù)圖像有什么共同特征嗎?

1）多用途原則：土地利用變更分析與管理系統(tǒng)應(yīng)具有多種用途，既要滿足土地現(xiàn)狀對(duì)于信息處理的要求，還要滿足土地利用變更對(duì)信息處理的要求，同時(shí)還要為土地定級(jí)、估價(jià)以及土地利用規(guī)劃等工作提供科學(xué)依據(jù)。

(2)完成表格,并思考兩個(gè)函數(shù)值對(duì)應(yīng)表是如何體現(xiàn)圖像的這個(gè)特征的?

x …-3-2-1 0 1 2 3…f(x)=x ……g(x)= 1 x ……

(3)你能?chē)L試用函數(shù)解析式描述圖像的這個(gè)特征嗎?

(4)類(lèi)比偶函數(shù)定義,你能?chē)L試對(duì)上述函數(shù)特征給出新的定義嗎?

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)學(xué)生自己動(dòng)手計(jì)算填寫(xiě)數(shù)據(jù),仿照偶函數(shù)的概念建立過(guò)程,獨(dú)立地去經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、猜想與證明的全過(guò)程,并由此建立奇函數(shù)的概念.此過(guò)程能培養(yǎng)學(xué)生觀察和反思的能力,同時(shí)充分利用圖形的直觀性,滲透了數(shù)形結(jié)合的思想,再次讓學(xué)生體會(huì)研究函數(shù)性質(zhì)的過(guò)程,并有此培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象與直觀想象素養(yǎng).

四、辨析——明晰概念,加深理解

多角度的進(jìn)行概念辨析,概念之間區(qū)別對(duì)比,理清關(guān)系,有助于加深學(xué)生對(duì)概念的理解.對(duì)于奇偶函數(shù)的概念辨析,可以提出以下幾個(gè)問(wèn)題:

(1)函數(shù)g(x)=x(x ∈[-1,2])是奇函數(shù)嗎? 判斷函數(shù)奇偶性應(yīng)先檢驗(yàn)什么?

(2)有不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的函數(shù)嗎? 舉例說(shuō)明;有沒(méi)有既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)?

辨析的過(guò)程是由表到里,由淺到深的思維過(guò)程,通過(guò)多角度、多層面的分析,跨領(lǐng)域的聯(lián)系,引導(dǎo)學(xué)生思考辨析概念,讓學(xué)生經(jīng)歷了邏輯推理的思維過(guò)程,引導(dǎo)學(xué)生持續(xù)深入學(xué)習(xí).

五、遷移——應(yīng)用概念,解決問(wèn)題

檢驗(yàn)學(xué)習(xí)效果最好的途徑就是應(yīng)用知識(shí)去解決問(wèn)題.這一過(guò)程就是遷移,靈活應(yīng)用概念去解決問(wèn)題,舉一反三.從另一個(gè)角度來(lái)說(shuō)遷移本身就是一種新的概括,一種創(chuàng)新,而這種創(chuàng)新就是深度學(xué)習(xí)中“深度”的應(yīng)有之義[3].針對(duì)本節(jié)課需要掌握的技能就是會(huì)判斷函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)奇偶性的應(yīng)用,設(shè)置了以下例題和變式練習(xí)題:

例1判斷下列函數(shù)的奇偶性

(1)f(x)=x+(2)f(x)=|x+1|+|x-1|; (3)f(x)=

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)例題深度學(xué)習(xí)對(duì)函數(shù)奇偶性概念的理解,明確判斷函數(shù)奇偶性的方法,并歸納判斷函數(shù)奇偶性的步驟.

例2已知函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù),以及它在y軸右邊的圖像,你能畫(huà)出它在y軸左邊的圖像嗎?

變式練習(xí)(1)若條件改為函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)呢?

(2)已知函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù),f(2)=4,求f(-2)值.

(3)已知函數(shù)y=f(x)是定義域?yàn)镽 的奇函數(shù),當(dāng)x ＞0時(shí)f(x)=x2,求函數(shù)f(x)的解析式.

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)例題和變式練習(xí)讓學(xué)生掌握函數(shù)奇偶性的應(yīng)用——畫(huà)圖和求值問(wèn)題.

六、反思——設(shè)計(jì)反思問(wèn)題,完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)

反思性問(wèn)題可以從知識(shí)間聯(lián)系、學(xué)習(xí)過(guò)程、學(xué)習(xí)結(jié)果三個(gè)角度去設(shè)計(jì),幫助學(xué)生不僅梳理概念形成一個(gè)有機(jī)整體同時(shí),幫助學(xué)生總結(jié)概念學(xué)習(xí)的方法,幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)由“學(xué)會(huì)”向“會(huì)學(xué)”的轉(zhuǎn)變,從而有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).為此設(shè)計(jì)了以下幾個(gè)反思性問(wèn)題作為本節(jié)課的課堂小結(jié):

(1)這節(jié)課我們研究了哪些問(wèn)題? 請(qǐng)用思維導(dǎo)圖展現(xiàn)本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容.

(2)我們的研究運(yùn)用了怎樣的方法?

(3)還有什么問(wèn)題沒(méi)有弄懂? 有哪些方法沒(méi)有學(xué)會(huì)?

總之,數(shù)學(xué)概念的深度學(xué)習(xí)是強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的思考,學(xué)習(xí)后要會(huì)利用數(shù)學(xué)概念去解決問(wèn)題和創(chuàng)新,最終形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)來(lái)影響學(xué)習(xí)者的終身發(fā)展.本人認(rèn)為基于深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)策略包括課前教學(xué)準(zhǔn)備策略和課堂教學(xué)策略,課前領(lǐng)悟教材,學(xué)情分析,確定高階目標(biāo);課堂通過(guò)激活、聯(lián)結(jié)、辨析、遷移、反思四個(gè)環(huán)節(jié)協(xié)助學(xué)生深度學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念,落實(shí)學(xué)生“四基”,提高數(shù)學(xué)能力,促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng).