“函數(shù)的單調(diào)性”的教學(xué)新設(shè)計(jì)

佛山順德羅定邦中學(xué)(528300) 黃俊湛

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2017年版》提出了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).希望通過數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí),學(xué)生能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力.

函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中最重要的概念,是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)語言和工具,在解決實(shí)際問題中發(fā)揮重要作用.函數(shù)是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線.通過本章的學(xué)習(xí),要使學(xué)生建立完整的函數(shù)概念,不僅要把函數(shù)理解為刻畫變量之間依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)語言和工具,也要把函數(shù)理解為實(shí)數(shù)集合之間的對應(yīng)關(guān)系,能用代數(shù)運(yùn)算和函數(shù)圖象揭示函數(shù)的主要性質(zhì).面對現(xiàn)實(shí)問題,能利用函數(shù)構(gòu)建模型、解決問題,最終提升數(shù)學(xué)抽象,直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

那么,如何把上述要求落到實(shí)處呢? 下面,就以“函數(shù)的單調(diào)性”這一課例的教學(xué)設(shè)計(jì)予以說明.

一、內(nèi)容分析

建立客觀世界中運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象的函數(shù)模型,目的是用數(shù)學(xué)知識和方法分析函數(shù)模型的性態(tài),由此發(fā)現(xiàn)事物的變化規(guī)律,進(jìn)而精確地“預(yù)測未來”.函數(shù)模型的性態(tài)就是事物的變化規(guī)律,把握了函數(shù)的性態(tài)就掌握了事物的變化規(guī)律.因此,了解函數(shù)性質(zhì)是非常重要的.研究函數(shù)的單調(diào)性,既是學(xué)習(xí)函數(shù)概念、圖象、表示方法等知識后的延續(xù)和拓展,又是后面研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等各類函數(shù)的基礎(chǔ);同時(shí)單調(diào)性在比較大小、解不等式、證明不等式、數(shù)列的性質(zhì)以及其它知識的綜合應(yīng)用中發(fā)揮著重要作用.所以,函數(shù)的單調(diào)性在高中數(shù)學(xué)中具有核心知識地位和承上啟下的重要作用.

二、學(xué)情分析

1.授課對象: 普通高中中等水平高一的學(xué)生;

2.認(rèn)知基礎(chǔ): 學(xué)生在初中從因變量隨自變量變化而變化的角度已學(xué)過一次、二次和反比例函數(shù),高中從集合的角度系統(tǒng)地又學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念,學(xué)生對函數(shù)的單調(diào)性已有了“形”的直觀感性認(rèn)識,知道“y隨x的增大而增大(減小)”可以用來描述圖像的上升(下降)趨勢,通過前面不等式的學(xué)習(xí),也具有一定的不等關(guān)系符號運(yùn)算能力.

3.認(rèn)知障礙: 如何將自然語言表述圖形特征的“y隨x增大而增大(減小)”來刻畫函數(shù)圖象從左到右的上升(下降)”描述轉(zhuǎn)化為精確化的形式定義“?x1,x2∈D,當(dāng)x1＜x2時(shí),f(x1)＜f(x2)(f(x1)＞f(x2))”,學(xué)生接受起來還比較困難.

三、教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能: (1)理解“任意”“都有”等關(guān)鍵詞的含義;(2)掌握函數(shù)的單調(diào)遞增、單調(diào)遞減區(qū)間等概念;(3)借助函數(shù)圖象,會用符號語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性;(4)會用函數(shù)單調(diào)性的定義,按一定的步驟證明函數(shù)的單調(diào)性.

2.過程與方法: (1)經(jīng)歷由函數(shù)圖象觀察函數(shù)的變化趨勢的過程,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力,發(fā)展由形思數(shù)的思維意識;(2)通過將自然語言抽象成符號語言的過程,培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力,發(fā)展抽象素養(yǎng).

3.情感態(tài)度與價(jià)值觀: (1)體驗(yàn)數(shù)學(xué)定義的嚴(yán)謹(jǐn)美; (2)欣賞數(shù)學(xué)符號的簡潔美;(3)感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)美.

四、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn) 理解函數(shù)單調(diào)性的符號化定義.難點(diǎn) 為什么要符號化? 符號化的結(jié)果為什么是這樣?

五、教學(xué)過程

(一)創(chuàng)設(shè)情境,引入學(xué)習(xí)

問題1 如圖,為某地某天24 小時(shí)內(nèi)的氣溫變化圖,觀察圖象,說說溫度是如何變化的?

師: 天氣是變化的,請同學(xué)們結(jié)合圖像說說溫度是如何變化的.

生: 從0 點(diǎn)到4 點(diǎn)溫度緩慢下降,4 點(diǎn)到14 點(diǎn)溫度是逐漸升高的,14 點(diǎn)到24 點(diǎn)溫度又逐漸下降.

師: 同學(xué)們都描述非常準(zhǔn)確.隨著自變量的變化,函數(shù)值是變大還是變小,這是函數(shù)的重要性質(zhì),稱為函數(shù)的單調(diào)性.

設(shè)計(jì)意圖 從圖像直觀感知入手,引導(dǎo)學(xué)生用圖像語言描述函數(shù)的單調(diào)性,直觀描述增減函數(shù)的定義:“隨著自變量的變化,函數(shù)值是變大還是變小,這是函數(shù)的重要性質(zhì),稱為函數(shù)的單調(diào)性.”這符合學(xué)生的認(rèn)知水平,同時(shí)結(jié)合生活中數(shù)據(jù)的變化規(guī)律,使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用.

(二)溫故知新,直觀感知

問題2 剛才是生活中的例子,現(xiàn)在請同學(xué)們分別作出函數(shù)f(x)=x+2,f(x)=-x+2,f(x)=x2在(-∞,+∞)上的圖象,并觀察自變量變化時(shí),函數(shù)值的變化規(guī)律.并嘗試給增函數(shù)和減函數(shù)下定義.

學(xué)生活動(dòng): 動(dòng)手畫出三個(gè)函數(shù)的圖像

生1:f(x)=x+2 圖像呈逐漸上升趨勢,函數(shù)f(x)隨x的增大而增大.

生2:f(x)=-x+2 在圖像呈逐漸下降趨勢,函數(shù)f(x)隨x的增大而減小.

生3:f(x)=x2在區(qū)間(-∞,0)上圖像呈逐漸下降趨勢,函數(shù)f(x)隨x的增大而減小;在區(qū)間(0,+∞)上圖像呈逐漸上升趨勢,函數(shù)f(x)隨x的增大而增大.

師: 從函數(shù)f(x)=x2這個(gè)例子來看,函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言,是函數(shù)的局部性質(zhì).我們能否一起歸納增函數(shù)、減函數(shù)的定義呢?

若函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間上滿足: 函數(shù)值f(x)隨自變量x的增大而增大,則f(x)在該區(qū)間上為增函數(shù);

設(shè)計(jì)意圖 借助初中學(xué)過的三種常見的具體函數(shù),引導(dǎo)學(xué)生回顧函數(shù)單調(diào)性的直觀描述.同時(shí)通過二次函數(shù)的單調(diào)性向?qū)W生揭示函數(shù)的單調(diào)性是以區(qū)間為前提的.

(三)設(shè)置問題,形成沖突

問題3 由上面的定義,能否一眼判斷出函數(shù)f(x)=在(1,+∞)上是增函數(shù)還是減函數(shù)?

學(xué)生活動(dòng): 思考、討論并發(fā)表觀點(diǎn)(有點(diǎn)困難)

師: 為什么會有困難?

生: 因?yàn)椴粫嫼瘮?shù)的圖象.

師: 對的,我們沒辦法直觀描述增減函數(shù),那么,我們需要引入什么? 要進(jìn)行推理和計(jì)算,我們就必須用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言來刻畫定義,即需要把定義精確化.

設(shè)計(jì)意圖 通過設(shè)置問題,形成沖突.函數(shù)圖像雖然直觀,但是缺乏精確性,必須結(jié)合函數(shù)解析式,但僅憑函數(shù)解析式常常也難以判斷其單調(diào)性,以此得出“圖像不可靠,解析式不明朗”,自然而然地引出數(shù)學(xué)符號語言.若老師直接給出函數(shù)單調(diào)性的定義,學(xué)生可能會被動(dòng)接受,但不理解為什么要研究它,也就是“知其然而不知其所以然”.在初學(xué)階段可能會模仿例題解題,但過一段時(shí)間可能會遺忘,而且單純的模仿也不利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力的培養(yǎng).

(四)引導(dǎo)探索,構(gòu)建概念

師: 想一想: 如何刻畫“x的增大”?

學(xué)生乙: 這里意味著兩個(gè)量比較,可表示為“x1＜x2”,這樣“y隨著x的增大而增大”可表示為“當(dāng)x1＜x2時(shí),f(x1)＜f(x2)”.

追問: 這里的x1,x2有什么要求?

生: 這兩個(gè)量都大于1.

師:“若當(dāng)x1＜x2時(shí),f(x1)＜f(x2)”這句話嚴(yán)謹(jǐn)嗎?

(學(xué)生容易體會到x1,x2兩個(gè)量是怎么取值的交代不明確,可能取一組,可能取幾組,可能取無數(shù)組等等,因此,還要進(jìn)一步討論清楚.)

讓學(xué)生討論問題: 由符號語言能否得到f(x)=在(1,+∞)上單調(diào)遞增,若不能,可否舉出反例? (x,y)的選取有可能選多少組?······

討論過后,學(xué)生展示:

生: 可能取一組,可能取幾組,可能取無數(shù)組等等,經(jīng)過討論,學(xué)生體會出這個(gè)問題比較抽象,可以畫圖直觀感受.通過畫圖發(fā)現(xiàn)取一組不行,取兩組行嗎? 取幾組也不行,取無數(shù)組行不行? 即“當(dāng)x1＜x2＜x3＜··· ＜xn ＜···,有y1＜y2＜y3＜··· ＜yn ＜···”通過作圖發(fā)現(xiàn)取無數(shù)組也不能說明f(x)=f(x)=在(1,+∞)上單調(diào)遞增.

師: 根據(jù)大家剛才的探究,符合語言應(yīng)該如何敘述呢?

學(xué)生丙: 任取x1＜x2＜x3＜··· ＜xn ＜···,當(dāng)x1＜x2時(shí)f(x1)＜f(x2).

師: 非常好! 這個(gè)描述太精彩了,這么困難的問題大家都能解決,還有什么能難到大家呢!!!

師: 能否把結(jié)論放到一般的函數(shù)? (引出函數(shù)單調(diào)性的精確化定義)

一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮,區(qū)間D ?I:

(1)如果?x1,x2∈D,當(dāng)x1＜x2時(shí),都有f(x1)＜f(x2),那么就稱函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞增.相應(yīng)的,區(qū)間D則稱為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.

特別的,當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí),我們就稱它是增函數(shù).

(2)如果?x1,x2∈D,當(dāng)x1＜x2時(shí),都有f(x1)＞f(x2),那么就稱函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞減.相應(yīng)的,區(qū)間D則稱為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.

特別的,當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時(shí),我們就稱它是減函數(shù).

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.

類比單調(diào)增函數(shù),給出函數(shù)單調(diào)減的定義.單調(diào)性定義完成后,引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合二次函數(shù)的例子進(jìn)一步理解單調(diào)性是一個(gè)局部概念,在定義域上可能不具有單調(diào)性,當(dāng)然有的函數(shù)沒有單調(diào)區(qū)間.

設(shè)計(jì)意圖《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出,數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)該要揭示數(shù)學(xué)概念的形成過程,從思維角度來設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)教學(xué),是一種貼近學(xué)生思維“最近發(fā)展區(qū)”的自然有效的方式.數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不僅要學(xué)好相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識,而且更重要的是要在學(xué)習(xí)過程中發(fā)展數(shù)學(xué)思維.學(xué)生在此處學(xué)習(xí)單調(diào)性是要理解“任意”二字,不僅僅是本節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn),也為后面更好地研究函數(shù)的奇偶性,學(xué)習(xí)立體幾何中線面平行和垂直作鋪墊,同時(shí)發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力.

按照概念的理解,講解前一天做的自主自測,再一次加深理解定義.

(五)固化概念,回味辨析

下面的說法正確嗎?

(1)若函數(shù)f(x)滿足f(2)＜f(3),則函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,3]上為增函數(shù).

(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x2對任意的x1,x2,且x1＜x2,都有f(x1)＜f(x2),所以f(x)是單調(diào)遞增函數(shù).

(3)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=在區(qū)間(-∞,0)和(0,+∞)都是減函數(shù),所以函數(shù)f(x)=在區(qū)間(-∞,0)∪(0,+∞)上是減函數(shù).

1.函數(shù)的單調(diào)性是在某個(gè)區(qū)間上的局部性質(zhì),區(qū)間是前提.

2.x1,x2必須是同一區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)任意的數(shù).

設(shè)計(jì)意圖 通過這幾個(gè)容易讓學(xué)生出現(xiàn)概念“盲點(diǎn)”的問題,引導(dǎo)學(xué)生辨析,加深學(xué)生對概念內(nèi)涵和外延的認(rèn)識.引導(dǎo)學(xué)生思考: 定義函數(shù)單調(diào)性時(shí),要注意哪些問題?

師: 我們小結(jié)一下,研究函數(shù)單調(diào)性的方法:

生: 方法1: 畫出函數(shù)的圖象,根據(jù)圖象觀察函數(shù)的單調(diào)性;

方法2: 根據(jù)函數(shù)的解析式,從單調(diào)性的定義證明.

(六)學(xué)以致用,鞏固提高

例1 下圖是定義在區(qū)間[-5,5]上的函數(shù)y=f(x),根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,以及在每個(gè)區(qū)間上,它是增函數(shù)還是減函數(shù)?

例2 根據(jù)定義,研究函數(shù)f(x)=kx+b(k /=0)的單調(diào)性.

從例2 歸納出用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟: 上任取兩個(gè)數(shù),確定大小后,作差,變形,判斷正負(fù).

師: 這兩個(gè)方法都很好,但我們在具體處理時(shí),要比較方法的優(yōu)劣,遇到基本初等函數(shù),我們熟悉它們的圖象,就可以直接畫圖處理.但如果遇到解析式比較復(fù)雜,作圖比較麻煩時(shí),我們可以利用單調(diào)性的定義作差計(jì)算.應(yīng)用定義算出單調(diào)性,進(jìn)一步體會符號語言刻畫單調(diào)性后解決問題的便利.另一方面,這兩題讓學(xué)生分別從“形”和“數(shù)”兩個(gè)方面理解單調(diào)性,進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想.

例3.根據(jù)定義證明函數(shù)f(x)=在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增.

通過講解例3,歸納作差后變形的處理,有三個(gè)方向,一分解因式,二配方,三根式有理化.

(七)課堂小結(jié)

1.經(jīng)歷單調(diào)性的定義的探究過程,特別是符號語言的描述這一難點(diǎn).

2.函數(shù)單調(diào)性的定義,并完成了三種語言(圖象、自然語言、數(shù)學(xué)符號)的表述,同時(shí)體會到使用數(shù)學(xué)符號的優(yōu)點(diǎn).

3.證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟是怎么樣的?

嚴(yán)格遵循設(shè)元、作差變形、定號、結(jié)論的步驟,特別在變形上,一定要注意因式分解、配方等技巧的運(yùn)用,直到符號判定水到渠成才即可.

4.這節(jié)課你學(xué)到了什么數(shù)學(xué)思想方法?

數(shù)形結(jié)合思想、類比思想,經(jīng)歷了由圖象直觀感知到自然語言描述,再到數(shù)學(xué)符號語言描述的,從感性到理性的認(rèn)知過程.

5.函數(shù)除了單調(diào)性還有什么性質(zhì)? 我們后面再學(xué)習(xí).

(通過函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)引出整個(gè)單元的內(nèi)容,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情)

(八)作業(yè)

理解性作業(yè) 畫出下列函數(shù)的圖象,并根據(jù)圖象說出函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間及在每一單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性.

(1)y=x2-5x-6. (2)y=9-x2.

應(yīng)用性作業(yè) 判斷函數(shù)f(x)=在(0,+∞)上的單調(diào)性.

拓展性作業(yè) 如何說明一個(gè)函數(shù)不具有單調(diào)性?

六、教學(xué)反思

深刻理解教材,重視概念形成過程.李邦河院士認(rèn)為“數(shù)學(xué)根本上是玩概念,不是玩技巧的,技巧不足道也.”數(shù)學(xué)概念是人腦對現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式,即一種數(shù)學(xué)的思維形式.正確理解并靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)概念是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和運(yùn)算技能、發(fā)展邏輯論證和空間想象能力的前提.一節(jié)好的數(shù)學(xué)概念課不能僅僅滿足學(xué)生能在表面上理解概念,首先要關(guān)注為什么要引入這個(gè)概念? 讓學(xué)生明白引入的必要性,這樣在遇到具體問題時(shí)才能靈活應(yīng)用;其次,要引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)建概念,讓學(xué)生體會概念的合理性,在這過程中蘊(yùn)含了大量的數(shù)學(xué)思維,只有引導(dǎo)學(xué)生不斷探索,形成概念,才能體驗(yàn)成功的快樂,從而能激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣;最后,在概念形成后要進(jìn)行有針對性的練習(xí),讓學(xué)生體驗(yàn)概念在具體問題中的應(yīng)用以及它自身的價(jià)值.

函數(shù)的單調(diào)性的認(rèn)知經(jīng)歷三個(gè)階段: ①經(jīng)驗(yàn)感知階段,知道一個(gè)量隨另一個(gè)量的變化而變化,如: 隨著年齡的增長,我的知識越來越多.②形象描述階段,變量說.y隨著x的增大而增大(或減小).③抽象概括階段,高中函數(shù)單調(diào)性的定義.逐層推進(jìn),螺旋式上升,是一個(gè)有機(jī)的整體.按照概念同化的教學(xué)方式,在充分利用學(xué)生已有的數(shù)學(xué)和非數(shù)學(xué)的知識經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上,使其掌握函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)屬性,體會蘊(yùn)含于其中的數(shù)學(xué)思想方法,在獲得知識的前提下發(fā)展思維能力,并將一般科學(xué)研究方法滲透到數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過程中.