注重邏輯分析 提升運算素養(yǎng)
——一道解析幾何題評講引發(fā)的思考

廣東省深圳市布吉高級中學(518114)李福蓮

《普通高中數(shù)學課程標準》指出:“數(shù)學運算是指在明晰運算對象的基礎上,依據(jù)法則解決數(shù)學問題的素養(yǎng).主要包括: 理解運算對象,掌握運算法則,探究運算思路,選擇運算方法,設計運算程序,求得運算結果等.”數(shù)學運算是課程目標要求的學科核心素養(yǎng)之一,而且是最基本的素養(yǎng),通過運算可以促進數(shù)學思維的發(fā)展,養(yǎng)成規(guī)范化思考的良好習慣.

在教學中我們發(fā)現(xiàn)學生對數(shù)式變量運算感到最棘手的是解析幾何問題,他們有兩大困惑: 一是遇到比較新穎的問題時找不到解題思路;二是感覺有解題思路,但是得不到最終結果.更有甚者,有的同學嫌運算量大直接放棄第二小問.解析幾何的本質是用代數(shù)方法研究幾何圖形的性質,也就是說我們要用坐標和方程表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉化為代數(shù)問題,然后通過代數(shù)運算,將運算結果翻譯成幾何結論.因此,在這一章節(jié)的教學中,教師需要引導學生注重思維邏輯分析,選擇用最簡潔、最恰當?shù)姆绞絹肀硎編缀螆D形的特征,進而優(yōu)化運算.筆者就以一道解析幾何題目為例,談談自己的做法.

1 問題呈現(xiàn)

題目已知橢圓C:= 1(a ＞ b ＞0),右頂點A(2,0),上頂點為B,左右焦點分別為F1,F2,且∠F1BF2=60°,過點A作斜率為k(k /=0)的直線交橢圓于點D,交y軸于點E.

(I)求橢圓C的方程.

(II)設P為AD的中點,過點E且與OP垂直的直線交OP于點G,是否存在定點Q對于任意的k(k /=0)都有GQ是定值? 若存在,求出點Q;若不存在,請說明理由.

學生基本能做對第(I)問,第(II)問雖然是一道常規(guī)的圓錐曲線存在性問題,但在考試中學生的得分很低.

絕大多數(shù)學生是求出P點的坐標后就直接去計算G點的坐標,看到運算復雜就放棄了;還有一部分學生解出了G點的坐標后就沒有思路,根本想不到G點的軌跡與圓有關,當然也就找不到定點Q了.

2 問題分析

下面從不同思維角度分析和探究第(II)問.

解法1設直線AD:y=k(x-2)(k /= 0),令x= 0,則y=-2k,所以E(0,-2k).

又因為EG⊥OP,所以

點評解法1 是學生最常用的方法,按照解析幾何大題求解的基本流程逐步進行.求出P的坐標后,學生看到這個坐標這么復雜,接下來還要求G的坐標,就有點望而卻步了.運算功底好一點的同學接下來會列方程組解得G的坐標,但是卻無法找到定點Q.在課堂上同學們也陷入了深思,G是一個運動的點,怎么能找到一個定點Q使GQ為定值呢? 聯(lián)想到圓的定義,說明點G的軌跡應該是一個圓或是圓的一部分,因此要用消參法求出點G的軌跡方程,進而知道定點Q為圓心.在這個求解過程中想到消去k去求點G的軌跡方程,充分體現(xiàn)了運算過程中的思維邏輯分析的重要性.

解法2同解法1 得xD=因為P為AD的中點,所以xP=則yP=k(xP -所以P的坐標為則設G(x,y),則

又因為EG⊥OP,所以

由③④式消去k得x2+y2-=0,下同解法1.

點評解法2 中關注到點P為AD的中點,可知點P也滿足直線AD的方程,因此只需求出點D的橫坐標,再求出點P的橫坐標,進而求出點P的縱坐標.還關注到我們其實并不需要求出點G的坐標,而只要求出點G的軌跡方程即可,因此可以通過③④兩式直接消去k,使運算更簡捷.

解法3設直線AD:x=ty+2(t /= 0),令x= 0,則所以消去x得(3t2+4)y2+12ty=0,由韋達定理,知0+yD=解得yD=因為P為AD的中點,則yP=則xP=t×所以P的坐標為則kOP=設G(x,y),則

又因為EG⊥OP,所以

由⑤⑥式消去t得x2+y2-=0,下同解法1.

點評一般來講,若直線l經過x軸上的一定點時,可以設出直線l的反截距式,聯(lián)立曲線消去x得到一個y的二次方程.解法3 是通過設不同的直線方程減少運算量.

解法4同解法3 得P的坐標為設存在H(x0,y0)使得OP⊥EH,則= 0,所以= 0,即4x0-3ty0-6 = 0對任意的t /= 0 都成立,所以所以x0=,y0= 0,所以存在使得OP⊥EH,所以存在使得

點評解法4 的成功解決表明,充分利用過動點E的直線EG⊥OP,抓住垂直這個重要信息,要找到一個定點Q使GQ為定值,聯(lián)想到圓的定義,說明點G的軌跡應該是一個圓或是圓的一部分.因此只有動直線EG過一個定點H時,才可以得到點G的軌跡是以OH為直徑的圓.接下來只需研究動直線EG過定點的問題了,這樣使消元和尋找等量關系目標更加明確,運算簡捷.

考慮到這個題目的實際背景,我們還可以利用下面的方法進行作答.

解法5設直線AD:y=k(x -2)(k /= 0),令x= 0,則y=-2k,所以E(0,-2k).設A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),所以=1,兩式相減可得= 0,因為P為AD的中點,所以= 0,又因為kAD==k,則有= 0,即kOP=設存在H(x0,y0)使得OP⊥EH,則kOP kEH==-1,所以4kx0-3y0-6k=0,即k(4x0-6)-3y0= 0 對任意的k /= 0 都成立,所以所以x0=y0= 0,所以存在使得OP⊥EH,所以存在使得

點評解法5 的特殊之處是在于充分利用橢圓中點弦的“垂徑定理”kOP kAD=這一經典結論,使得計算OP的斜率更具有邏輯性,更自然可操作.

3 教學反思

解決數(shù)學問題,離不開運算.要優(yōu)化運算,就需要運用邏輯分析進行理性的思考.解析幾何大題中大量的運算是不可能避免的,需要通過圖形特征的分析,選擇用最簡潔、最恰當?shù)姆绞絹肀硎編缀翁卣?如何選擇最優(yōu)方案呢? 教師應該授之以漁,在教學中特別強調要“示以學生思維之道”.解析幾何問題的運算要教會學生關注: 有什么—知識邏輯;算什么—目標意識;如何算—方法意識;求突破—思維邏輯[2].要不斷引導學生注重數(shù)學內在的知識邏輯和思維邏輯,這樣學生才可以打通思路,再從中選擇一個好的解題思路,提前進行設計和規(guī)劃,經過優(yōu)化的運算后得到結果.因此,作為數(shù)學運算的教學要關注以下幾個方面.

3.1 注重基本的解題流程,為數(shù)學運算提供邏輯支撐

解析幾何會出現(xiàn)許多靈活的綜合性問題,但它還是隱藏著一些重要的解題規(guī)律.在這一章節(jié)習題課的教學中,要注重解析幾何大題的基本解題程序的教學,即通性通法的教學.直線與圓錐曲線的位置關系這一類問題的基本解題流程有:(1)設參兩途徑.在解析幾何當中,運動和變化是一個很重要的數(shù)學思想,運動的過程往往通過一些參數(shù)來體現(xiàn).比如直線在運動,一般選擇斜率和截距做為參數(shù).實際解決過程中,直線方程形式的設定有斜截式(缺少斜率不存在的情況)和反斜截式(缺少斜率為0 的情況).其實運動的直線還可以設點的坐標做為參數(shù),因為點的運動會導致直線的運動.(2)消元兩選擇.一般聯(lián)立斜截式直線方程與曲線方程是消去y,聯(lián)立反斜截式直線方程與曲線方程是消去x.(3)條件坐標化.不僅要將題目的已知條件用坐標表示,還要將我們要解決的問題用坐標表示.(4)消參三步曲.運算過程中會涉及到很多字母和參數(shù),許多同學就會迷失方向,消去參數(shù)時層次性不強,因此教師讓學生知道消元的節(jié)奏,不能混亂.比如聯(lián)立斜截式直線方程與曲線方程解決問題時,先消y1,y2,再消去x1,x2,最后消去其余的參數(shù).學生只有掌握了基本流程之后才不會懼怕解析幾何中的運算,逐步建立研究解析幾何綜合問題的信心.因此教師要舍得花時間在基本解題流程的教學上,為后期的優(yōu)化數(shù)學運算提供有力的邏輯支撐.

3.2 引領學生分析題目,理解問題內涵

問題表征是學生在解決問題時所使用的一種認知結構,因數(shù)學問題具有多元化的表征形態(tài),使得問題解決的方法多樣.不同的理解和分析直接影響問題解決的途徑,還會導致運算上的差異很大,比如上面例題的解答過程中,不同運算邏輯對學生的思維能力要求是不同的.因此,教師不僅要引領學生分析題目的已知條件,將已知條件合理表征,還要分析題目到底要解決什么問題,即目標問題.當然,學生想要分析題目中已知與待求之間的差異,再進行化歸和消除這些差異,都必須建立在能夠對問題進行多元表征的基礎上.

3.3 關注學生思維動態(tài),適當激發(fā)思維

不同學生的思維有差異,分析問題的角度不一樣,對題目的理解也是不一樣.教師不能只用一個最常用的思路方法和運算途徑來解決一類題,那樣就不能滿足不同學生的思維要求.雖然我們最終目標是朝優(yōu)化運算前進,但是畢竟學生思維能力差異明顯.我們不能只照顧到那些基礎較好的學生,而是要舍得花時間跟學生一起分析題目,關注學生的思維動態(tài),在學生的常見的邏輯思維分析下,尋找題目的各種解法,一起探討各種解法的運算量.在運算過程中出現(xiàn)瓶頸時,教師再設置小組探究或者師生探究,進行思維碰撞,最終讓學生掌握常見的代數(shù)變換的方法和必要的消元技巧,并讓學生明白其中的算理,即為何要這樣算會更簡捷.

3.4 引導學生進行反思,提升運算品質

引導學生進行運算解題后的反思,是進一步優(yōu)化數(shù)學思維品質,培養(yǎng)數(shù)學素養(yǎng)的重要途徑.只有通過反思,學生才會明白,在解決解析幾何問題時,代數(shù)化表征問題的方式的選擇是非常重要的,如果選擇不好,就會增加計算量,甚至影響到問題的解決.通過反思,學生會深刻地體會到解析幾何中最大的難題不是如何消元,而是要找到最合理的代數(shù)化方法來表征題目的已知條件和要解決的問題.因此教師可以在這些需要進行代數(shù)化表征處設置問題節(jié)點,與同學們一起做探討,并讓學生歸納總結,幫助學生積累經驗.只有這樣,學生才能在諸多代數(shù)化表征問題的方式中選擇最優(yōu)方案,進而層層推進,步步深化,培養(yǎng)思維邏輯能力,提升數(shù)學運算素養(yǎng).

3.5 滲透數(shù)學學科觀點,探尋學科的本質

課堂教學應該遵循學科的觀點,引導學生探尋學科的本質.如何有效地將曲線的圖形特征代數(shù)化是教學最為關鍵的任務,然而依據(jù)幾何學的知識邏輯,對于幾何元素進行代數(shù)化不是一蹴而就的,必須要在明確曲線的幾何特征前提下進行代數(shù)化.因此教師要引領學生在“曲線與方程”的觀點下看幾何對象,要明確了動點運動的幾何規(guī)律之后再進行代數(shù)化.對于直線與曲線這樣兩個或兩個以上幾何對象的研究,就要先明確它們之間在幾何上的位置關系,接下來才能用代數(shù)方法去解決問題.因此,在解析幾何的教學中,就要依據(jù)幾何學的學科知識的內在邏輯,讓學生親自去體會、感受所學知識與知識所處的學科的邏輯關系,讓學生領悟出解析幾何的基本思想,掌握研究解析幾何問題的一般方法.數(shù)學離不開運算,運算則更需要邏輯分析的基礎上對問題進行深刻認識,減少運算量.

結語總之,教師要把培養(yǎng)學生的運算能力列為明確的教學目標,輔之以有典型例題的教學設計,把注重邏輯分析,優(yōu)化數(shù)學運算,進而提升學生運算素養(yǎng)滲透到每一節(jié)課中,落實到每一道題目的解決過程之中,并且細化到每道題目運算的每個步驟.