新高考視域下高三數(shù)學(xué)微專題教學(xué)的實踐與思考
——以“同構(gòu)式之指對互化”教學(xué)為例

廣東省揭陽市揭陽第一中學(xué)(522000) 黃純潔

隨著《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》的貫徹實施,我國基礎(chǔ)教育正邁入更加注重培育核心素養(yǎng)的新時代!建立核心素養(yǎng)與課程教學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系,充分挖掘數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)在全面貫徹黨的教育方針、落實立德樹人根本任務(wù)的作用,使核心素養(yǎng)的培育融入課堂教學(xué)實際,是這一輪改革的重要任務(wù).在能力立意而非知識立意統(tǒng)領(lǐng)的高考命題制度下,如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)就變得尤為重要.關(guān)于核心素養(yǎng)的討論在當(dāng)下是一個熱點.高中數(shù)學(xué)要發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析六種核心素養(yǎng); 要讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界,用數(shù)學(xué)思維分析世界,用數(shù)學(xué)語言描述世界.

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課質(zhì)量的高低直接影響學(xué)生對數(shù)學(xué)知識與方法的深入理解、思維能力的提升及良好數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成.近年來,微專題復(fù)習(xí)課正成為大家廣泛認(rèn)同的一種有效的課型,它是落實核心素養(yǎng)的重要載體.所謂“微專題”,是指立足于具體的學(xué)情、教情和考情,選擇一些切入點小、角度新、針對性強的“微型”復(fù)習(xí)專題,力求解決復(fù)習(xí)中的真問題和實問題.利用同構(gòu)化思想解決導(dǎo)數(shù)壓軸問題是近年高考的一個熱點,本文結(jié)合“同構(gòu)式之指對互化”的教學(xué)實踐談?wù)剬Α拔ｎ}”復(fù)習(xí)的一些思考.

1 知識回顧,探究學(xué)習(xí)

1.1 設(shè)計同構(gòu)式之指對互化的“先行組織者”

奧蘇貝爾認(rèn)為,在有意義的接受學(xué)習(xí)中,新的學(xué)習(xí)總是建立在原先的學(xué)習(xí)之上,人們總是利用原先的學(xué)習(xí)來促進后繼的學(xué)習(xí),而后繼的學(xué)習(xí)又可以鞏固和加深原先的學(xué)習(xí).這里的原先學(xué)習(xí)是指學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗.在學(xué)生的學(xué)習(xí)中,已有知識和經(jīng)驗是新的認(rèn)識活動的必要基礎(chǔ),在引導(dǎo)學(xué)生從事新的學(xué)習(xí)活動中,教師應(yīng)該十分注意和幫助學(xué)生獲得必要的經(jīng)驗和預(yù)備知識,奧蘇貝爾稱這種必要的經(jīng)驗和預(yù)備知識為“先行組織者”.

微專題教學(xué)的本質(zhì)就是“為遷移而教”,為培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)而教.“為遷移而教”的實質(zhì)是塑造學(xué)生良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu).因此,微專題教學(xué)要重視學(xué)生原有的認(rèn)知基礎(chǔ),要從學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)出發(fā)設(shè)計問題,激活知識梳理,構(gòu)建起解決某一類問題較為清晰的“路線圖”,這樣既順應(yīng)了學(xué)生原有的認(rèn)知基礎(chǔ),又能逐步改變學(xué)生的認(rèn)知圖式,從而使學(xué)生在新情境的問題解決過程中形成結(jié)構(gòu)化的、具有高度認(rèn)知靈活性的圖式.

在教學(xué)中,由于原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)同構(gòu)式與指對互化存在著數(shù)學(xué)知識和邏輯知識上準(zhǔn)備不足的困難,因此,在教學(xué)的開始,我從具體的實例出發(fā),設(shè)計“先行組織者”,在學(xué)生的頭腦中植入下述知識“生長點”.

問題1同構(gòu)式是什么?

教師引導(dǎo)學(xué)生思考,然后在課件上呈現(xiàn)相關(guān)定義: 同構(gòu)式源于指對跨階問題,形如y= ex+x與y=x+lnx屬于跨階函數(shù),y= ex+lnx屬于跳階函數(shù);在解決指對跳階函數(shù)問題時,如已知等式恒成立求參數(shù)取值范圍或證明不等式,如果我們能構(gòu)造跨階函數(shù)的同構(gòu)式,則會大大簡化分析和計算,而找到這個函數(shù)模型的方法,就稱為同構(gòu)法.

問題2已知a ＞b ＞e,證明:alnb ＞blna.

證明原不等式可化為有相同的結(jié)構(gòu),令f(x)=則f′(x)=當(dāng)x ＞e時,f′(x)＜0,f(x)單調(diào)遞減,因為a,b ∈(e,+∞)且a ＞b,所以f(b)＞f(a),即

通過問題2 引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出同構(gòu)化的步驟: 對不等式進行變形,化成左右兩邊具有相同結(jié)構(gòu)的式子(即外函數(shù)相等),再通過單調(diào)性得出內(nèi)函數(shù)關(guān)系從而解出不等式.體驗如下的高考真題.

例1(2020年高考新課標(biāo)I 卷理科第12 題)若2a+log2a=4b+2 log4b,則( )

A.a ＞2bB.a ＜2bC.a ＞b2D.a ＜b2

分析因為4b+2log4b=22b+log4b2=22b+log2b=22b+log22b-1,所以2a+log2a= 22b+log22b-1.設(shè)f(x)=2x+log2x,利用作差法結(jié)合f(x)的單調(diào)性即可得到答案.

解析因為4b+2log4b=22b+log4b2=22b+log2b=22b+ log22b -1,所以2a+ log2a= 22b+ log22b -1,故2a+log2a ＜22b+log22b.設(shè)f(x)=2x+log2x,則f(x)為增函數(shù),所以f(a)＜f(2b),所以a ＜2b.

例2(2020年高考新課標(biāo)II 卷理科第11 題)若2x-2y ＜3-x-3-y,則( ).

A.ln(y-x+1)＞0 B.ln(y-x+1)＜0

C.ln|x-y|＞0 D.ln|x-y|＜0

分析將已知2x-2y ＜3-x-3-y按照“左右形式相當(dāng),一邊一個變量”的目的變形,然后逆用函數(shù)的單調(diào)性.

解析由2x-2y ＜3-x-3-y移項變形為2x-3-x ＜2y-3-y.設(shè)f(x)=2x-3-x易知f(x)是定義在R 上的增函數(shù),故由2x-3-x ＜2y -3-y,可得x ＜y,由y-x ＞0,得到y(tǒng)-x+1＞1,從而ln(y-x+1)＞0,故選A.

1.2 構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)

(1)三大基本初等函數(shù)

(3)四大常見的同構(gòu)函數(shù)

(4)四大同構(gòu)函數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)化

設(shè)計意圖: 由舊知引出問題,既復(fù)習(xí)了舊知,又啟發(fā)學(xué)生思考,引出本專題的學(xué)習(xí).從自然語言、圖形語言和符號語言三方面進行精加工編碼,幫助學(xué)生建立四大同構(gòu)函數(shù)良好的圖式.

2 知識應(yīng)用深度剖析

2.1 典型例題

設(shè)實數(shù)k ＞0,若對任意的x ∈(0,+∞),不等式≥0 恒成立,則k的取值范圍是____.

解析ekx -≥0?kekx≥lnx ?kx ·ekx≥xlnx= elnx ·lnx.設(shè)f(x)=xex,則f(kx)≥f(lnx),所以kx≥lnx,所以k≥

2.2 變式訓(xùn)練

對于?x ＞0,不等式ax≥loga x(a ＞0 且a ＞1)恒成立,則a的取值范圍是____.

解析由ax≥loga x,有exlna≥xlna·exlna≥xlnx= elnxlnx,設(shè)f(x)=xex,則由于f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增及f(xlna)＞f(lnx),推知xlna≥lnx,所以所以

2.3 高考鏈接

例3(2020年山東卷第21 題)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)當(dāng)a= e 時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;

(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.

解法1由aex-1+≥1,可得

所以lna≥0,所以a≥1.

解法2由f(x)=aex-1-lnx+ lna≥1,移項得:aex-1+lna≥?lnx+1,即elna+x-1+lna≥lnx+1,兩邊同時加(x-1)得elna+x-1+x+lna-1 ≥lnx+x,即elna+x-1+(x+lna-1)≥lnx+elnx.設(shè)g(x)=x+ex,則g′(x)=1+ex ＞0,所以g(x)單調(diào)遞增,所以lna+x-1 ≥lnx,即x-lnx+lna-1 ≥0.設(shè)h(x)=x-lnx+lna-1,則h′(x)= 1-所以h(x)在(0,1)單調(diào)遞減,在(1,+∞)單調(diào)遞增,所以h(x)min=h(1)=lna-1 ≥0,所以a≥1.

設(shè)計意圖: 通過典型例題和變式訓(xùn)練,鞏固和提升學(xué)生對同構(gòu)式的理解,以及利用指對互化解決恒成立求解參數(shù)范圍問題,培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

3 課后訓(xùn)練專題小結(jié)

3.1 強化訓(xùn)練

(1)已知xex≥axalnx對?x ＞1 恒成立,則a的取值范圍是____.

(2)函數(shù)f(x)=xex-x-lnx的最小值為____.

(3)設(shè)實數(shù)m ＞0,若對任意的x≥ e,若不等式恒成立,則m的最大值為____.

(4)已知關(guān)于x的不等式-x-alnx≥1 對任意x ∈(1,+∞)恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為____.

3.2 專題小結(jié)

解決導(dǎo)數(shù)中的指對跳階問題方法步驟:

(1)利用同構(gòu)思想,對原不等式進行同構(gòu)變形;

(2)通過指對互化,找到相應(yīng)的同構(gòu)函數(shù);

(3)利用同構(gòu)函數(shù)的單調(diào)性和最值,解決恒成立求解參數(shù)范圍問題.

設(shè)計意圖: 感受數(shù)學(xué)的簡潔美,對稱美,統(tǒng)一美;體會同構(gòu)化的思想;設(shè)計課后訓(xùn)練,以強化學(xué)習(xí)的知識,培養(yǎng)學(xué)生獨立解決問題的能力,體會同構(gòu)式之指對互化在解決導(dǎo)數(shù)壓軸題中的重要作用.

4 教學(xué)思考

4.1 重基礎(chǔ),構(gòu)建微專題復(fù)習(xí)的知識體系

高三數(shù)學(xué)微專題是以知識點為中心,同時具備專題性和綜合性的特征,作為數(shù)學(xué)教師,應(yīng)理清各個知識點之間的內(nèi)在聯(lián)系,進行相關(guān)內(nèi)容的合理設(shè)計.微專題教學(xué)的本質(zhì)就是“為遷移而教”,為培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)而教.“為遷移而教”的實質(zhì)是塑造學(xué)生良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu).因此,微專題教學(xué)要重視學(xué)生原有的認(rèn)知基礎(chǔ),要從學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)出發(fā)設(shè)計問題,激活知識梳理,構(gòu)建起解決某一類問題較為清晰的“路線圖”.

4.2 重過程,促進深度學(xué)習(xí)與微專題復(fù)習(xí)的有機融合

核心素養(yǎng)是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中逐漸形成的正確價值觀、必備品質(zhì)和關(guān)鍵能力,是知識、能力、思維、方法、情感和價值觀的有機統(tǒng)一,核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和發(fā)展不是一蹴而就的,培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng),一定要關(guān)注教學(xué)過程.高三數(shù)學(xué)微專題復(fù)習(xí)主要針對一輪復(fù)習(xí)效果的提高,關(guān)注對問題的深度學(xué)習(xí)和思考,從學(xué)生核心素養(yǎng)形成的視角出發(fā),進行數(shù)學(xué)微專題的設(shè)計.

4.3 重反思,優(yōu)化數(shù)學(xué)知識與思想方法的整合

有效運用微專題中設(shè)計的數(shù)學(xué)基本概念和基本原理進行解題,注重數(shù)學(xué)知識與思想方法的融合與統(tǒng)一,可以幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識與思想方法體系,進而提升他們解決問題的綜合能力.微專題教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生對認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的一些解法進行反思和提煉,讓學(xué)生認(rèn)識到知識方法之間的聯(lián)系,幫助學(xué)生建立起對一類問題的整體認(rèn)知,進而生成處理一類問題的基本方法,這樣才能做到舉一反三,觸類旁通.