關(guān)于累積剩余(r,s)熵的研究*

王甜甜, 汪加梅

(安徽工業(yè)大學(xué) 數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院,安徽 馬鞍山 243032)

0 引 言

在許多文獻(xiàn)中，以不同的方式概括了上式，Havrda等[1]推廣了Shannon熵的一種不可加形式:

當(dāng)r→1時(shí)，上面的測度趨于Shannon熵，雖然熵測量Hr(x)最初是由Havrda等在控制論的背景下首次提出的，但Tsallis發(fā)現(xiàn)了它的非廣延性的特征，并將其放在物理背景下研究，所以熵測度Hr(x)叫做Tsallis熵。1991年，Rathie等[2]引入了統(tǒng)一的(r,s)熵，它包含了許多經(jīng)典熵，其關(guān)于具有概率密度函數(shù)f(x)的非負(fù)隨機(jī)變量的形式為

在生命分析和生命測試中，系統(tǒng)的當(dāng)前年齡也應(yīng)考慮在內(nèi)。系統(tǒng)在t時(shí)刻仍在運(yùn)行時(shí)的剩余壽命為Xt={X-t|X>t}。1996年，Ebrahimi[3]提出剩余壽命Xt的熵為

2006年，Nanda等[4]提出了Tsallis剩余熵為

2004年，Rao等[5]提出了累積剩余熵的概念，定義為

累積剩余熵(CRE)是基于累積分布函數(shù)的一種廣義不確定性度量，相比Shannon提出的基于概率密度的測度，該測度具有更穩(wěn)定的性質(zhì)。累積剩余熵在連續(xù)域和離散域都有一致的定義，它可以很容易地從樣本數(shù)據(jù)中計(jì)算出結(jié)果且漸進(jìn)地收斂到真實(shí)值。Rao[6]，Wang和Vemuri[7]分別在2005年、2007年得出了該測度的若干性質(zhì)，并在可靠性工程和計(jì)算機(jī)視覺方面提供了一些應(yīng)用；2007年，Asadi等[8]考慮了累積剩余熵的動(dòng)態(tài)版本，定義為

已有學(xué)者對于累積剩余熵的參數(shù)化推廣進(jìn)行了嘗試。2010年，Abbasnejad等[9]提出了r階的動(dòng)態(tài)生存熵(DSE)，并解釋了其與平均剩余壽命函數(shù)的關(guān)系。通過考慮CRE與某一部件的平均剩余壽命之間的關(guān)系，2015 年，Mohan等[10]在Tsallis熵的基礎(chǔ)上提出了累積剩余Tsallis熵及其動(dòng)態(tài)版本：

Mohan刻畫了一些著名的壽命分布和概率模型。Kumar[11]在Mohan等的研究基礎(chǔ)上繼續(xù)研究了累積剩余Tsallis熵及其動(dòng)態(tài)版本的性質(zhì)。但是基于Renyi熵或者是Tsallis熵的累積剩余測度都是不含參數(shù)或者僅一個(gè)參數(shù)。針對前人的研究，將研究基于含有多參數(shù)的(r,s)熵定義的累積剩余測度的一些性質(zhì)與刻畫結(jié)果。

本篇文章的結(jié)構(gòu)如下：第一節(jié)中提出了累積剩余(r,s)熵，同時(shí)給出了一些特定分布的表達(dá)式；第二部分提出了動(dòng)態(tài)剩余(r,s)熵，研究了其性質(zhì)刻畫；第三部分中，利用平均剩余壽命函數(shù)和風(fēng)險(xiǎn)率函數(shù)與累積剩余(r,s)熵的關(guān)系來刻畫一些特定分布的性質(zhì)。

1 累積剩余(r,s)熵

r>0,r≠1,s>0

(1)

下面的引理給出了累積剩余(r,s)熵有界的充分條件：

證明令X∈L1，則有E(x)<1，可以得到：

以下是非負(fù)隨機(jī)變量的一些不同單變量連續(xù)分布的測度表達(dá)。

推論1 (1)X服從參數(shù)為b>0的有限維分布，則

(2) 若X在(a,b),a

(3) 若X服從參數(shù)a>1的Pareto分布，則

(4) 若X服從參數(shù)λ>0的指數(shù)分布，則

2 動(dòng)態(tài)累積剩余(r,s)熵

2015年，Mohan等[10]給出了動(dòng)態(tài)累積剩余Tsallis熵測度的定義，相應(yīng)地，下面定義了動(dòng)態(tài)累積剩余(r,s)熵測度：

r>0,r≠1,s>0

(2)

X的平均剩余壽命定義為

引理2 當(dāng)t>0,s>0,r>1(0

證畢。

證明由式(2)得：

(3)

對式(3)關(guān)于t微分，有

即有

(4)

3 特定壽命分布的特征結(jié)果

在這一節(jié)中，利用平均剩余壽命函數(shù)和風(fēng)險(xiǎn)率函數(shù)來刻畫一些分布。平均剩余壽命和風(fēng)險(xiǎn)率函數(shù)的關(guān)系為

(5)

其中，λF(t)為風(fēng)險(xiǎn)率函數(shù)。

在給出定性結(jié)果前，先來證明下面的定理。

(6)

則有

證明充分性：若非負(fù)隨機(jī)變量X服從指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)、生存函數(shù)、平均剩余壽命分別是

f(t)=λe-λt,λ>0,t>0

因此，由定義式(2),有

若非負(fù)隨機(jī)變量X服從Pareto分布，其概率密度函數(shù)、生存函數(shù)、平均剩余壽命分別是

因此根據(jù)定義式(2)，簡化為

這里若r>1，則

若非負(fù)隨機(jī)變量X服從有限維分布，其概率密度函數(shù)、生存函數(shù)、平均剩余壽命分別是

f(t)=b(1-t)b-1,b>0,0

因此，經(jīng)過簡化得

這里若r>1,則

必要性：令式(6)成立，根據(jù)式(2)有

(7)

式(7)左右兩邊對t微分，得到

根據(jù)平均剩余壽命和風(fēng)險(xiǎn)率之間的關(guān)系：

λF(t)δF(t) = 1 +δF′(t)

(8)

則有

(9)

將式(9)兩邊同時(shí)對t在(0,x)上積分，得到

接下來，將結(jié)果推廣到一個(gè)更一般的情形，將k作為t的函數(shù)。

定理3 若X是非負(fù)連續(xù)隨機(jī)變量，滿足

(10)

那么

證明由式(2)，有

代入式(10)，得

也即

(11)

兩邊同時(shí)對t微分，得

代入式(5)和式(11),得

k′(t)δF(t) +sk(t)δF′(t)

(12)

簡化式(12),得

解這個(gè)非齊次線性微分方程，有

即證。

接下來，用風(fēng)險(xiǎn)率函數(shù)來描述動(dòng)態(tài)累積剩余(r,s)熵的壽命模型，有以下結(jié)果。

(13)

那么

證明假設(shè)式(13)成立，那么有

由此可得

(14)

式(14)可轉(zhuǎn)化為

等式兩邊同時(shí)對t微分，得

(9)

定理的唯一性易證。

4 結(jié) 論

將累積剩余熵推廣到參數(shù)更多的(r,s)熵，定義了其相關(guān)的累積剩余熵及其動(dòng)態(tài)版本，并研究了這些廣義信息測度的一些性質(zhì)和刻畫結(jié)果。值得注意的是，當(dāng)r≠1,s=1時(shí)，可由累積剩余(r,s)熵得到累積剩余Tsallis熵；當(dāng)r≠1,s=0時(shí)，可由累積剩余(r,s)熵得到累積剩余Renyi熵。根據(jù)r和s的其他不同取值也可得到相應(yīng)的基于其他熵的累積剩余熵，即累積剩余(r,s)熵涵蓋了其他多種基于單參數(shù)熵定義的累積剩余熵，具有重要參考意義。