隨機(jī)利率和死亡率下基于終止風(fēng)險(xiǎn)的DB養(yǎng)老金計(jì)劃保費(fèi)估值*

何學(xué)強(qiáng)，王傳玉，余 鑫

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理與金融學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

0 引 言

在養(yǎng)老金計(jì)劃的設(shè)計(jì)中，根據(jù)繳費(fèi)和支付方式的不同，可以分為確定給付(Defined Benefit，DB)型和確定繳費(fèi)(Defined Contribution，DC)型計(jì)劃。DB養(yǎng)老金計(jì)劃中養(yǎng)老基金是養(yǎng)老金支付的主要來(lái)源，養(yǎng)老金發(fā)起人在DB養(yǎng)老金計(jì)劃中有道德義務(wù)向養(yǎng)老金計(jì)劃提供支持。為了對(duì)沖投資風(fēng)險(xiǎn)， PBGC為DB養(yǎng)老金計(jì)劃提供擔(dān)保。 作為回報(bào)，養(yǎng)老金計(jì)劃發(fā)起人向PBGC支付基于風(fēng)險(xiǎn)的保費(fèi)。對(duì)養(yǎng)老基金和養(yǎng)老金計(jì)劃發(fā)起人資產(chǎn)分別定義了一個(gè)臨界值，如果養(yǎng)老基金低于其臨界值，DB養(yǎng)老金計(jì)劃就會(huì)發(fā)生提前終止；如果計(jì)劃發(fā)起人資產(chǎn)低于其臨界值，DB養(yǎng)老金計(jì)劃就會(huì)發(fā)生遇險(xiǎn)終止。一旦DB養(yǎng)老金計(jì)劃出現(xiàn)這兩種終止風(fēng)險(xiǎn)，員工退休時(shí)的收益就得不到保障。此時(shí)，PBGC的作用就得到體現(xiàn)。

PBGC是根據(jù)1974年的“雇員退休收入保障法”成立的美國(guó)政府機(jī)構(gòu)，以確保DB養(yǎng)老金計(jì)劃參與者的利益，同時(shí)規(guī)定PBGC隨時(shí)準(zhǔn)備彌補(bǔ)終止的養(yǎng)老基金的任何短缺。因?yàn)镻BGC是政府機(jī)構(gòu)，所以它的資產(chǎn)有保障，不會(huì)出現(xiàn)赤字情況。

關(guān)于PBGC保費(fèi)計(jì)算的一系列工作中，最早的工作可以追溯到Sharpe[1]。在文獻(xiàn)[1]中，假定PBGC是解決養(yǎng)老基金赤字的第一條途徑；Marcus[2]將PBGC的負(fù)債建模為遠(yuǎn)期合約，這使得PBGC能夠從終止的計(jì)劃中獲得盈余，然而這是不太現(xiàn)實(shí)的，因?yàn)榉刹辉试SPBGC的責(zé)任是消極的；Lewis[3]通過(guò)為公司的非養(yǎng)老金資產(chǎn)建立獨(dú)立的隨機(jī)過(guò)程來(lái)計(jì)算養(yǎng)老金保險(xiǎn)的理論保費(fèi)、非養(yǎng)老金債務(wù)、養(yǎng)老基金和養(yǎng)老金負(fù)債，并將PBGC的負(fù)債建模為看跌期權(quán)合約；Bodie[4]和Brown[5]的工作表明，從PBGC的角度來(lái)看，統(tǒng)一保費(fèi)是錯(cuò)誤的，而定價(jià)不當(dāng)?shù)酿B(yǎng)老保險(xiǎn)對(duì)計(jì)劃發(fā)起人是有害的；Stewart[6]提供了背后的經(jīng)濟(jì)理由和相關(guān)后果，經(jīng)濟(jì)理由是對(duì)有風(fēng)險(xiǎn)的公司來(lái)說(shuō)，收取固定的保費(fèi)會(huì)導(dǎo)致股票的市場(chǎng)價(jià)值增加，從而為贊助商提供更多風(fēng)險(xiǎn)和資金的激勵(lì)。

Kalra[7]首先考慮了養(yǎng)老基金的提前終止，并研究了這類(lèi)非自愿終止的保費(fèi)評(píng)估問(wèn)題；Chen[8]在完備市場(chǎng)下討論了養(yǎng)老基金的提前終止，假設(shè)PBGC作為二級(jí)保險(xiǎn)擔(dān)保發(fā)揮作用，考慮到PBGC僅涵蓋養(yǎng)老基金的剩余赤字，并建立養(yǎng)老基金和發(fā)起人資產(chǎn)模型，該模型解釋了養(yǎng)老基金和發(fā)起人公司的資產(chǎn)聯(lián)合動(dòng)態(tài)，有效地確定PBGC提供的基于風(fēng)險(xiǎn)的養(yǎng)老金保險(xiǎn)的保費(fèi)，還用積分的方法得到這種基于提前終止風(fēng)險(xiǎn)的保費(fèi)的封閉定價(jià)公式；Chen[8]擴(kuò)展了Chen[8]的模型，并且在Chen[8]的基礎(chǔ)上建立了養(yǎng)老金擔(dān)保公司(PBGC)提供的基于風(fēng)險(xiǎn)的保險(xiǎn)費(fèi)計(jì)算模型，考慮到養(yǎng)老基金和計(jì)劃發(fā)起人的投資政策，還考慮到發(fā)起人資金不足引發(fā)的遇險(xiǎn)終止，實(shí)證地說(shuō)明了對(duì)100家最大的美國(guó)DB贊助公司的理論定價(jià)公式，同時(shí)還觀察到，在基于風(fēng)險(xiǎn)的保費(fèi)計(jì)算中，資金比率和杠桿是主要的風(fēng)險(xiǎn)因素；Qian[10]首次同時(shí)在提前終止和遇險(xiǎn)終止條件下研究PBGC為DB養(yǎng)老金計(jì)劃擔(dān)保所收取的保費(fèi)估值問(wèn)題，研究結(jié)果表明，同時(shí)考慮兩類(lèi)終止情況下的保費(fèi)比考慮單一終止情況下的保費(fèi)低，說(shuō)明Qian[10]同時(shí)考慮兩類(lèi)終止降低了DB養(yǎng)老金計(jì)劃發(fā)生赤字的概率，進(jìn)而PBGC對(duì)養(yǎng)老金計(jì)劃提供援助的概率就會(huì)降低，這樣PBGC收取的保費(fèi)自然就降低了。

文獻(xiàn)[1—10]逐步完善了PBGC為養(yǎng)老金計(jì)劃擔(dān)保的保費(fèi)計(jì)算問(wèn)題的研究，從最開(kāi)始不考慮養(yǎng)老金計(jì)劃終止的情況，到后來(lái)單獨(dú)考慮提前終止或遇險(xiǎn)終止，再到后來(lái)同時(shí)考慮兩種終止情況。雖然這些研究對(duì)養(yǎng)老金計(jì)劃?rùn)C(jī)制的完善提供了理論依據(jù)，但是之前的研究都是在理想的條件下進(jìn)行的，例如固定利率和死亡率以及無(wú)通貨膨脹，這就會(huì)導(dǎo)致研究結(jié)果與現(xiàn)實(shí)會(huì)有較大的差異，即這些研究結(jié)果的應(yīng)用伴隨著一定的風(fēng)險(xiǎn)。而在金融市場(chǎng)中，利率和死亡率是隨機(jī)變化的，因此，本文就在前人的基礎(chǔ)上引入隨機(jī)利率和隨機(jī)死亡率因素，這樣得出的結(jié)果會(huì)與現(xiàn)實(shí)更接近。

本文引用了Qian[10]中的隨機(jī)利率和死亡率模型，建立了養(yǎng)老金計(jì)劃受益人在退休時(shí)應(yīng)得養(yǎng)老金、養(yǎng)老基金資產(chǎn)和計(jì)劃發(fā)起人資產(chǎn)模型，得到了隨機(jī)利率和死亡率下基于終止風(fēng)險(xiǎn)的DB養(yǎng)老金計(jì)劃的保費(fèi)估值。通過(guò)數(shù)值模擬分析了隨機(jī)利率和死亡率對(duì)PBGC保費(fèi)的影響，并與Qian[10]的保費(fèi)估值進(jìn)行了比較。

1 構(gòu)建模型

假設(shè)養(yǎng)老金計(jì)劃在0時(shí)刻向x歲的一名代表受益人發(fā)放，該福利在T時(shí)作為一筆一次性付款支付給R歲的該受益人，那么支付的時(shí)間為T(mén)=R-x。根據(jù)文獻(xiàn)[10]，可以假設(shè)雇主有義務(wù)支付給受益人的福利為

在上式中，jpx是x歲的代表受益人至少活了j年的概率，rt>0是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，F(xiàn)是規(guī)定的年度福利，具體取決于雇員服務(wù)年數(shù)、退休年齡、福利乘數(shù)和歷史收入。主要目標(biāo)是研究養(yǎng)老金計(jì)劃發(fā)起人和養(yǎng)老基金對(duì)PBGC保費(fèi)支付的影響。

假設(shè)所有過(guò)程和隨機(jī)變量都定義在帶流概率空間(Ω,F,{Ft}0≤t≤T,P)上，且滿足一般條件，其中P表示風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度。

首先假設(shè)隨機(jī)利率滿足Vasicek利率模型:

(2)

rt=r0e-kt+α(1-e-kt)+

然后假設(shè)隨機(jī)死亡率滿足如下模型:

(3)

然而完備的金融市場(chǎng)是由無(wú)風(fēng)險(xiǎn)金融資產(chǎn)(例如銀行存款)和有風(fēng)險(xiǎn)金融資產(chǎn)(例如股票)組成。

兩種資產(chǎn)的定價(jià)過(guò)程如下：

dBt=rtBtdt

(4)

現(xiàn)在假設(shè)，如果養(yǎng)老基金表現(xiàn)良好，那么所有福利都將由養(yǎng)老基金自己支付；如果養(yǎng)老基金不足，那么計(jì)劃發(fā)起人資產(chǎn)將是支付福利的潛在資源。計(jì)劃發(fā)起人資產(chǎn)At滿足下面的微分方程：

(5)

2 養(yǎng)老金計(jì)劃的資金提供與方案設(shè)計(jì)

本節(jié)將分析計(jì)劃發(fā)起人和PBGC對(duì)養(yǎng)老金計(jì)劃提供的資金情況。對(duì)于沒(méi)有提前終止和遇險(xiǎn)終止的情況下，無(wú)論是計(jì)劃發(fā)起人還是PBGC，都沒(méi)有義務(wù)對(duì)養(yǎng)老金計(jì)劃提供資金援助。本文研究的重點(diǎn)是DB養(yǎng)老金計(jì)劃的提前終止和遇險(xiǎn)終止。

因此，可以在養(yǎng)老基金第一次低于或越過(guò)臨界值時(shí)，得到提前終止時(shí)間如下:

(6)

遇險(xiǎn)終止與計(jì)劃發(fā)起人資產(chǎn)有關(guān)，通常來(lái)說(shuō)，計(jì)劃發(fā)起人會(huì)發(fā)布公司債務(wù)。假定計(jì)劃發(fā)起人公司有責(zé)任在t時(shí)償還的債務(wù)為θA0evt，0<θ<1是其初始杠桿率，v是反映公司債務(wù)增長(zhǎng)率的預(yù)定常數(shù)，A0是計(jì)劃發(fā)起人資產(chǎn)的初始價(jià)值。θA0是計(jì)劃發(fā)起人的初始債務(wù)水平?，F(xiàn)在，使用停止時(shí)間τ2來(lái)描述計(jì)劃發(fā)起人第一次未能支付債務(wù)和繼續(xù)經(jīng)營(yíng)。這種終止的臨界值被定義為ξA0evt，其中，ξ是一個(gè)比計(jì)劃發(fā)起人的杠桿比率θ更高的參數(shù)，假設(shè)計(jì)劃發(fā)起人有道德上的義務(wù)來(lái)彌補(bǔ)所要求的養(yǎng)老金福利的一些赤字。此外，還規(guī)定了ξ<1的技術(shù)條件，以確保發(fā)起人在0時(shí)刻不違約。因此，得到提前終止時(shí)間如下：

τ2=inf{t|At≤ξA0evt}

2.1 計(jì)劃發(fā)起人對(duì)DB養(yǎng)老金計(jì)劃提供的資金

對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)終止，PBGC不提供任何資金，因此，集中研究其他兩種情況：τ1>τ2和τ1≤τ2。

如果τ1>τ2，則計(jì)劃發(fā)起人公司破產(chǎn)，并將首先觸發(fā)遇險(xiǎn)終止。此外，還可將情況τ1>τ2分成兩個(gè)子情況：τ2≤T和τ2>T。

此時(shí)養(yǎng)老基金的可能結(jié)果是：

這意味著養(yǎng)老基金資產(chǎn)的價(jià)值大于所承諾的養(yǎng)老金福利付款的貼現(xiàn)值。這種情況下，計(jì)劃發(fā)起人和PBGC都不要提供資金。

因此，這種情況下發(fā)起人將能夠填補(bǔ)在此情況下養(yǎng)老基金的不足。另一種情況是，當(dāng)遇險(xiǎn)終止發(fā)生時(shí)，發(fā)起人在清償?shù)狡趥鶆?wù)后沒(méi)有剩余多少資金，此時(shí)提供的資金是(ξ-θ)A0evτ2。

(2) 發(fā)起人資金低于臨界值在時(shí)刻T之后，即τ2>T。

這意味著XT>ηBR且AT>ξA0evT成立。當(dāng)τ2≥T時(shí)，養(yǎng)老基金在到期日T自然關(guān)閉。值得注意的是，如果XT≥BR,那么無(wú)論是計(jì)劃發(fā)起人還是PBGC都不需要介入并負(fù)責(zé)養(yǎng)老金的支付，因此，將專(zhuān)注于XT

Ss(T)=(BR-XT)I(0ηBR)×

I(AT>ξA0evT)+(AT-θA0evT)I(BR-XT≥AT-θA0evT)I(XT>ηBR)×

I(AT>ξA0evT)

如果τ1≤τ2，提前終止將在遇險(xiǎn)終止之前觸發(fā)。此時(shí)，也考慮兩種情況：τ1≤T和τ1>T。

(3) 養(yǎng)老基金T時(shí)刻前資金不足，即τ1≤T。

基于以上分析，可以從發(fā)起人獲得資金如下：

Ss(τ1)=(Aτ1-θA0evτ1)×

I(Aτ1>ξA0evτ1)

(4) 養(yǎng)老基金低于臨界值的時(shí)間不早于時(shí)刻T，即τ1>T,此時(shí)有XT>ηBR和AT>ξA0evT成立。當(dāng)τ1>T時(shí)，養(yǎng)老基金在到期日T自然關(guān)閉。只需要關(guān)注XT

因此，可以得出:

Ss(T)=(BR-XT)I(0ηBR)×

I(AT>ξA0evT)+(AT-θA0evT)I(BR-XT≥AT-θA0evT)I(XT>ηBR)×

I(AT>ξA0evT)

綜合上述4種情況，計(jì)劃發(fā)起人提供的全部資金為

SS=[Ss(τ2)I(τ2≤T)+Ss(T)I(τ2>T)]I(τ2<τ1)+

[Ss(τ1)I(τ1≤T)+Ss(T)I(τ1>T)]I(τ2≥τ1)

2.2 PBGC對(duì)DB養(yǎng)老金計(jì)劃提供的資金

與Chen[10]和Chen[11]相一致，PBGC是養(yǎng)老金支付過(guò)程中的第三條途徑,它涵蓋了養(yǎng)老基金和計(jì)劃發(fā)起人資產(chǎn)無(wú)法支付的赤字。因此，PBGC按4種情況分別提供的資金：

(1) 如果τ2<τ1且τ2≤T，即養(yǎng)老金計(jì)劃發(fā)生遇險(xiǎn)終止，則

(7)

(2) 如果τ2<τ1且τ2>T,即養(yǎng)老基金在到期日T自然關(guān)閉，則

SP(T)=(BR-XT-(AT-θA0evT))×

I(BR-XT≥AT-θA0evT)I(XT>ηBR)I(AT>ξA0evT)

(8)

(3) 如果τ1≤τ2且τ1≤T,即養(yǎng)老金計(jì)劃發(fā)生提前終止，則

(4) 如果τ1≤τ2且τ1>T，即養(yǎng)老基金在到期日T自然關(guān)閉，則

SP(T)=(BR-XT-(AT-θA0evT))×

I(BR-XT≥AT-θA0evT)I(XT>ηBR)I(AT>ξA0evT)

結(jié)合以上4種情況，得出PBGC提供的資金為

SP=[SP(τ2)I(τ2≤T)+SP(T)I(τ2>T)]I(τ2<τ1)+

[SP(τ1)I(τ1≤T)+SP(T)I(τ1>T)]I(τ2≥τ1)

3 PBGC為DB養(yǎng)老金計(jì)劃擔(dān)保的保費(fèi)估值

在本節(jié)中，推導(dǎo)隨機(jī)利率和死亡率下基于終止風(fēng)險(xiǎn)的DB養(yǎng)老金計(jì)劃的保費(fèi)估值P?；陲L(fēng)險(xiǎn)的保費(fèi)定義為SP的貼現(xiàn)值的期望，如式(5)所示:

(9)

引理1 (Z1,Z2，t)服從二元正態(tài)分布，且滿足：

Z1t，Z2t，(Z1,Z2,t)密度函數(shù)分別為

其中t∈[0,T]，

證明由伊藤公式可以得到式(4)和式(5)的解如下：

通過(guò)回顧布朗運(yùn)動(dòng)的一些基本性質(zhì)，可以立即得到所需的結(jié)果。因此，在這里省略了其余證明過(guò)程。

引理2在隨機(jī)利率和死亡率以及兩種終止風(fēng)險(xiǎn)的條件下，設(shè)g1(t)和g2(t)分別表示τ1和τ2的密度函數(shù)，則

其中,φ(·)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)，t∈[0,T]。

證明

由Harrison[12]可知:

(10)

其中Φ(·)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的累積分布函數(shù)。

式(10)對(duì)t求導(dǎo)，有

同理可得:

其中,

為了得出兩種終止情況下的保費(fèi)，將式(9)分解成4個(gè)部分，即

① 養(yǎng)老金計(jì)劃遇險(xiǎn)終止時(shí)，DB養(yǎng)老金計(jì)劃的保費(fèi)估值：

② 養(yǎng)老金計(jì)劃在計(jì)劃到期日T自然終止時(shí)，DB養(yǎng)老金計(jì)劃的保費(fèi)估值：

③ 養(yǎng)老金計(jì)劃提前終止時(shí)，DB養(yǎng)老金計(jì)劃的保費(fèi)估值：

④ 養(yǎng)老金計(jì)劃在計(jì)劃到期日T自然終止時(shí)，DB養(yǎng)老金計(jì)劃的保費(fèi)估值：

定理1 在隨機(jī)利率式(1)和死亡率式(2)的條件下,考慮提前終止和遇險(xiǎn)終止兩種風(fēng)險(xiǎn)，則DB養(yǎng)老金計(jì)劃的保費(fèi)估值為

P=P1+P2+P3+P4

其中,

f1(Z1,t2)g(t1,t2)dZ1dt1dt2

(BR+θA0evT-X0eZ1-A0eZ2)×

f(Z1,Z2,T)g(t1,t2)dZ2dZ1dt1dt2

f2(Z2,t1)g(t1,t2)dZ2dt2dt1

(BR+θA0evT-X0eZ1-A0eZ2)×

f(Z1,Z2,T)g(t1,t2)dZ2dZ1dt2dt1

其中,

n3=lnξevT

n4=lnξevt1

其中,τ1的取值范圍滿足以下不等式：

ln(A0(ξ-θ))+vτ1

τ2的取值范圍滿足以下不等式：

ln(A0(ξ-θ))+vτ2

證明

由式(9)可知：

P=P1+P2+P3+P4

由式(7)，得

(11)

(12)

先對(duì)式(12)兩邊取自然對(duì)數(shù)，得

ln(A0(ξ-θ))+vτ2<

再將式中積分展開(kāi)，得

ln(A0(ξ-θ))+vτ2<

然后對(duì)兩邊取期望，得

ln(A0(ξ-θ))+vτ2<

最后化簡(jiǎn)，得

ln(A0(ξ-θ))+vτ2<

(13)

先把式(13)先除以X0,然后兩邊取自然對(duì)數(shù)得到Z1τ2的定義域如下：

下面令

則有

f1(Z1,t2)g(t1,t2)dZ1dt1dt2

現(xiàn)在繼續(xù)計(jì)算P2，由式(8)，得

I(BR-XT≥AT-θA0evT)I(XT>ηBR)×

I(AT>ξA0evT)I(τ2>T)I(τ2<τ1)]

(14)

為了讓式(14)為正值，必須滿足下不等式:

BR-ηBR>BR-XT>AT-θA0evT≥

ξA0evT-θA0evT

從ηBR

(BR+θA0evT-X0eZ1-A0eZ2)×

f(Z1,Z2,T)g(t1,t2)dZ2dZ1dt1dt2

遵循同樣的想法，可以推導(dǎo)出P4的表達(dá)式如下:

(BR+θA0evT-X0eZ1-A0eZ2)×

f(Z1,Z2,T)g(t1,t2)dZ2dZ1dt2dt1

關(guān)于P3，知道

Aτ1-θA0evτ1)×

P3的計(jì)算和P1相似，為了讓P3為正值，下列不等式必須是成立的：

Aτ1-θA0evτ1>(ξ-θ)A0evτ1

從上式可以得出

(ξ-θ)A0evτ1<

先將式(13)兩邊取自然對(duì)數(shù)得：

ln(A0(ξ-θ))+vτ1<

再積分展開(kāi)得：

ln(A0(ξ-θ))+v1<

ln(BR(1-η))-

然后對(duì)兩邊取期望得：

ln(A0(ξ-θ))+vτ1<

最后對(duì)上不等式化簡(jiǎn)得：

ln(A0(ξ-θ))+vτ1<

先把上式除以A0,然后兩邊取自然對(duì)數(shù)，得到Z2τ1的定義域如下：

lnξevτ1

f2(Z2,t1)g(t1,t2)dZ2dt2dt1

而隨機(jī)利率和死亡率下基于終止風(fēng)險(xiǎn)的DB養(yǎng)老金計(jì)劃的保費(fèi)估值P=P1+P2+P3+P4。

所以定理得證。

4 數(shù)值模擬與實(shí)例分析

這一部分將進(jìn)行數(shù)值分析，以便更直觀地表示出隨機(jī)利率和死亡率對(duì)DB養(yǎng)老金計(jì)劃保費(fèi)估值的影響。數(shù)值分析使用的參數(shù)值來(lái)自Qian[10]和Qian[11]，如下所示：

分別作出：

(1) 隨機(jī)利率的波動(dòng)率對(duì)保費(fèi)的影響圖(圖1)；

圖1 隨機(jī)利率的波動(dòng)率對(duì)保費(fèi)的影響

(2) 死亡率的波動(dòng)率對(duì)保費(fèi)的影響圖(圖2)；

圖2 死亡率的波動(dòng)率對(duì)保費(fèi)的影響

(3) 養(yǎng)老基金的波動(dòng)率和計(jì)劃發(fā)起人資產(chǎn)的波動(dòng)率共同對(duì)保費(fèi)的影響圖(圖3)；

圖3 養(yǎng)老基金和計(jì)劃發(fā)起人資產(chǎn)的波動(dòng)率共同對(duì)保費(fèi)的影響

(4) 利率和死亡率共同對(duì)保費(fèi)的影響圖(圖4)；

圖4 利率和死亡率共同對(duì)保費(fèi)的影響

(5) 模型利率與Qian[10]模型利率相同、死亡率隨機(jī)時(shí)，本文模型與Qian[10]模型的保費(fèi)比較圖(圖5)；

圖5 本文模型與Qian[10]模型的保費(fèi)比較(本文模型利率不變、死亡率隨機(jī))

(6) 模型死亡率不變、利率隨機(jī)時(shí)，本文模型與Qian[10]模型的保費(fèi)比較圖(圖6)；

圖6 本文模型與Qian[10]模型的保費(fèi)比較(本文模型死亡率不變、利率隨機(jī))

(7) 模型死亡率和利率都隨機(jī)時(shí)，本文模型與Qian[10]模型的保費(fèi)比較圖(圖7)。

圖7 本文模型與Qian[10]模型的保費(fèi)比較(本文模型死亡率和利率都隨機(jī))

圖1是說(shuō)明保費(fèi)如何隨著隨機(jī)利率的波動(dòng)率的變化而變化的。從圖中可以看出，隨著波動(dòng)率的增加，DB養(yǎng)老金計(jì)劃的保費(fèi)開(kāi)始逐漸增加。保費(fèi)增加可能是因?yàn)椴▌?dòng)率越大，導(dǎo)致DB養(yǎng)老金計(jì)劃面臨的風(fēng)險(xiǎn)越大，進(jìn)而導(dǎo)致DB養(yǎng)老金計(jì)劃出現(xiàn)資金不足的概率就越大。

圖2說(shuō)明保費(fèi)如何隨著死亡率波動(dòng)率的變化而變化的。從圖中可以看出，隨著波動(dòng)率的增加，DB養(yǎng)老金計(jì)劃的保費(fèi)開(kāi)始逐漸增加。保費(fèi)增加可能是因?yàn)殡S機(jī)死亡率波動(dòng)率越大，導(dǎo)致在養(yǎng)老金計(jì)劃的受益人數(shù)的不確定性就越大，進(jìn)而需要支付給受益人的養(yǎng)老金就越多，DB養(yǎng)老金計(jì)劃出現(xiàn)資金赤字的概率就越大。

圖3說(shuō)明養(yǎng)老基金的波動(dòng)率和計(jì)劃發(fā)起人資產(chǎn)的波動(dòng)率共同對(duì)保費(fèi)的影響。從圖中可以看出，隨著養(yǎng)老基金資產(chǎn)的波動(dòng)率和計(jì)劃發(fā)起人資產(chǎn)的波動(dòng)率的增加，保費(fèi)在逐漸增加。導(dǎo)致這樣結(jié)果的原因可能是因?yàn)轲B(yǎng)老基金的波動(dòng)率和計(jì)劃發(fā)起人資產(chǎn)的波動(dòng)率越大，給養(yǎng)老基金和計(jì)劃發(fā)起人資產(chǎn)帶來(lái)的不確定性就會(huì)增加，進(jìn)而DB養(yǎng)老金計(jì)劃承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)就會(huì)變大，資產(chǎn)赤字的缺口可能就會(huì)越大，PBGC提供的資金就會(huì)越大，所以DB養(yǎng)老金計(jì)劃的保費(fèi)增加。

圖4是說(shuō)明利率和死亡率共同對(duì)保費(fèi)的影響。從圖中可以看出，隨著死亡率和利率的增加，保費(fèi)在逐漸減少。利率增加導(dǎo)致養(yǎng)老基金投資無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益增加，進(jìn)而養(yǎng)老基金總資產(chǎn)就會(huì)增加；而死亡率增加導(dǎo)致需要付給受益人的總福利就會(huì)減少，因此DB養(yǎng)老金計(jì)劃出現(xiàn)資金不足的概率減小，所以DB養(yǎng)老金計(jì)劃的保費(fèi)就會(huì)減少。

圖5，圖6和圖7都是說(shuō)明保費(fèi)如何隨著養(yǎng)老基金投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)比例的變化而變化的。通過(guò)兩條曲線將本文模型和Qian[10]的模型進(jìn)行比較。圖5中本文模型利率不變、死亡率改變，其保費(fèi)要高于Qian[10]模型的保費(fèi)，出現(xiàn)這樣的結(jié)果是因?yàn)楸疚哪Ｐ椭兴劳雎室蛩氐母淖兘o養(yǎng)老金計(jì)劃需要支付給受益人的總養(yǎng)老金增加了不確定性，即DB養(yǎng)老金計(jì)劃增加了風(fēng)險(xiǎn)，導(dǎo)致DB養(yǎng)老金計(jì)劃的保費(fèi)增加。圖6中本文模型死亡率不變、利率改變，其保費(fèi)要高于Qian[10]模型的保費(fèi)，出現(xiàn)這樣的結(jié)果是因?yàn)楸疚哪Ｐ椭须S機(jī)利率因素給養(yǎng)老基金和發(fā)起人公司資產(chǎn)增加了不確定性，即DB養(yǎng)老金計(jì)劃增加了風(fēng)險(xiǎn)，導(dǎo)致DB養(yǎng)老金計(jì)劃的保費(fèi)增加。圖7中本文模型死亡率和利率都改變，其保費(fèi)要高于Qian[10]模型的保費(fèi)，并且圖7中本文模型的保費(fèi)要高于圖5和圖6，出現(xiàn)這樣的結(jié)果是因?yàn)楸疚哪Ｐ椭须S機(jī)利率和死亡率因素的共同影響給DB養(yǎng)老金計(jì)劃增加了更大的風(fēng)險(xiǎn)，導(dǎo)致DB養(yǎng)老金計(jì)劃的保費(fèi)增加。而在圖5，圖6和圖7中，隨著養(yǎng)老基金投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)比例的增加，DB養(yǎng)老金計(jì)劃的保費(fèi)逐漸減少，其原因可能是養(yǎng)老基金投資的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)越多，收益也越多，導(dǎo)致養(yǎng)老基金資產(chǎn)越多，DB養(yǎng)老金計(jì)劃出現(xiàn)資金不足的概率就越小，這樣DB養(yǎng)老金計(jì)劃的保費(fèi)自然就減少了。

5 結(jié) 論

研究了在隨機(jī)利率和死亡率條件下，PBGC為基于提前終止和遇險(xiǎn)終止風(fēng)險(xiǎn)的DB養(yǎng)老金計(jì)劃提供擔(dān)保的保費(fèi)估值問(wèn)題。建立了養(yǎng)老金計(jì)劃受益人在退休時(shí)應(yīng)得養(yǎng)老金、養(yǎng)老基金資產(chǎn)和計(jì)劃發(fā)起人資產(chǎn)模型，并且使用期望的方法得到了隨機(jī)利率和死亡率下基于終止風(fēng)險(xiǎn)的DB養(yǎng)老金計(jì)劃的保費(fèi)估值。通過(guò)數(shù)值模擬分析了隨機(jī)利率和死亡率對(duì)PBGC保費(fèi)的影響，并與Qian[10]的保費(fèi)估值進(jìn)行比較。結(jié)果表明：隨機(jī)利率和死亡率的引入使得保費(fèi)相較于Qian[10]的保費(fèi)有所增加，雖然這一結(jié)果給計(jì)劃發(fā)起人增加了負(fù)擔(dān)，但是卻降低了PBGC所承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)。

本文主要的貢獻(xiàn)在于同時(shí)考慮了養(yǎng)老基金的提前終止和發(fā)起人資產(chǎn)遇險(xiǎn)終止的情況下增加隨機(jī)利率和死亡率因素來(lái)得到保費(fèi)估值。此外，本文模型還可以進(jìn)行深一步拓展，比如考慮文中假設(shè)的各布朗運(yùn)動(dòng)之間的相關(guān)性以及通脹問(wèn)題。