具有時(shí)間相關(guān)系數(shù)和雙參數(shù)擾動(dòng)的捕食者-食餌模型分析*

魏 寧

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院, 南京 210023)

0 引 言

在種群生態(tài)學(xué)的研究中, 捕食者和食餌之間的動(dòng)力學(xué)關(guān)系是生物數(shù)學(xué)界研究的重要課題之一。近年來, 許多學(xué)者都致力于研究具有各種功能反應(yīng)的捕食者-食餌模型, 其中具有Holling Ⅱ型功能反應(yīng)的捕食者-食餌模型受到了廣泛關(guān)注[1-3]。如2003年，Aziz-Alaoui等[2]討論了具有改進(jìn)的Leslie-Gower和Holling-II型方案的隨機(jī)捕食者-食餌模型解的存在性和全局穩(wěn)定性的動(dòng)力學(xué)行為;2017年，Nosrati等[3]通過分?jǐn)?shù)演算和經(jīng)濟(jì)理論, 擴(kuò)展了一個(gè)更現(xiàn)實(shí)的捕食者-獵物模型: 具有Holling II型功能響應(yīng)的分?jǐn)?shù)階奇異捕食者-被捕食模型, 并從局部穩(wěn)定性的角度研究了該模型的動(dòng)力學(xué)行為。

上述文獻(xiàn)討論的都是確定性的捕食者-食餌模型, 但在實(shí)際的生態(tài)系統(tǒng)中, 環(huán)境干擾是種群系統(tǒng)中不可忽略的重要組成部分。對(duì)此, 許多學(xué)者將隨機(jī)擾動(dòng)引入到確定性模型中來探究環(huán)境擾動(dòng)對(duì)種群系統(tǒng)的影響。如2005年，Jiang等[4]考察了在增長(zhǎng)率上具有隨機(jī)噪聲的單種群模型, 證明了該模型具有唯一的全局解, 并給出了解的顯示表達(dá); 2015年，Liu等[5]討論了一類具有隨機(jī)擾動(dòng)的三種群捕食系統(tǒng),分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定性并給出了滅絕的充分條件；Liu[6]考慮了環(huán)境波動(dòng)對(duì)內(nèi)稟增長(zhǎng)率和死亡率的影響, 提到了下列帶有隨機(jī)擾動(dòng)的Holling II捕食者-食餌種群模型:

(1)

其中,x(t)和y(t)分別表示在t時(shí)刻食餌和捕食者種群的數(shù)量;ri,bi,ci(i=1,2)都是正常數(shù),r1表示種群x(t)的內(nèi)稟增長(zhǎng)率,r2表示種群y(t)的死亡率,b1和b2分別表示x(t)和y(t)的密度制約系數(shù)，c1和c2分別表示捕食者的捕食率和其營(yíng)養(yǎng)物轉(zhuǎn)化為繁殖率的轉(zhuǎn)化率。

目前, 在研究隨機(jī)生物數(shù)學(xué)模型時(shí), 大部分文章只討論了環(huán)境噪聲對(duì)其中某一類參數(shù)的影響[4-6]。然而, 在生態(tài)系統(tǒng)中, 環(huán)境擾動(dòng)會(huì)對(duì)種群的捕食率、種內(nèi)和種間競(jìng)爭(zhēng)系數(shù)等多種參數(shù)同時(shí)產(chǎn)生影響。因此,為了使模型更貼合實(shí)際并能更準(zhǔn)確地掌握種群數(shù)量變化規(guī)律, 本文在模型式(1)的基礎(chǔ)上又考慮了環(huán)境波動(dòng)對(duì)種群密度制約系數(shù)b1和b2的影響, 并用以下方式表示:

-b1→-b1+σ12dB2(t)

-b2→-b2+σ22dB4(t)

另一方面, 在實(shí)際情形中, 受季節(jié)變化的影響, 生態(tài)系統(tǒng)中的溫度和濕度等機(jī)制會(huì)隨之發(fā)生改變, 進(jìn)而導(dǎo)致種群的繁殖率和死亡率等參數(shù)會(huì)隨時(shí)間的變化而變化。 例如: 某些鳥類動(dòng)物的卵在孵化時(shí), 在最適的溫度下繁殖率最高, 離開了最適溫度，繁殖強(qiáng)度就會(huì)下降, 甚至停止繁殖。對(duì)此, 可引入與時(shí)間t相關(guān)的系數(shù)來描述這一現(xiàn)象。針對(duì)具有時(shí)間相關(guān)系數(shù)的種群模型已有大量的研究[7-8]。但文獻(xiàn)[7-8]僅僅是針對(duì)具有單個(gè)隨機(jī)擾動(dòng)的模型系統(tǒng), 而對(duì)于具有雙參數(shù)擾動(dòng)的Holling II捕食者-食餌模型的研究幾乎都假設(shè)種群出生率等參數(shù)與時(shí)間t無關(guān)。對(duì)此, 為了使模型更具有現(xiàn)實(shí)意義, 得出更精確的結(jié)論, 本文還把與時(shí)間t相關(guān)的系數(shù)引入到模型式(1)中, 進(jìn)而建立了下列具有可變系數(shù)的雙參數(shù)擾動(dòng)隨機(jī)模型:

(2)

其中，Bi(t)(i=1,2,3,4)是定義在完備概率空間(Ω,F,{Ft}t≥0,P)上相互獨(dú)立的布朗運(yùn)動(dòng)；σij(t)>0(i,j=1,2)表示白噪聲強(qiáng)度；ri(t),bi(t),ci(t),σij(t)(i,j=1,2)是R+:=[0,+∞)上非負(fù)且有界的連續(xù)函數(shù)。定義:

同樣的符號(hào)也應(yīng)用于bi(t),ci(t),σij(t)(i,j=1,2)。

接下來的章節(jié)依次研究了式(2)正解的存在唯一性、隨機(jī)最終有界性、一致連續(xù)性、隨機(jī)持久性和滅絕的充分性條件。

1 解的存在唯一性和隨機(jī)最終有界性

為了研究式(2)的長(zhǎng)時(shí)間動(dòng)力學(xué)行為, 首先要證明式(2)具有唯一的全局正解。

證明類似于文獻(xiàn)[4]中定理1的證明方法, 容易得到定理1成立。

對(duì)隨機(jī)種群系統(tǒng)的研究中, 通常不滿足于其非爆炸性質(zhì), 因此, 本節(jié)進(jìn)一步研究了其隨機(jī)最終有界性。

證明定義函數(shù)U(x)=etxp, 其中p∈(0,1), 利用It公式可得：

d(etxp)=etxp{1+p[r1(t)-b1(t)x)-

σ12(t)petxp+1dB2(t)

(3)

利用Young’s不等式, 有

(4)

xp(0)+etL1(p)

因此,

(5)

同理可得:

(6)

根據(jù)式(5)和式(6), 以及基本不等式(x(t)+y(t))0.5p≤20.5p(x(t)+y(t)), 有

20.5p(L1(p)+L2(p)):=L(p)

P{|X|≥H}≤H-pE|X|p

2 一致H?lder連續(xù)和隨機(jī)持久性

在種群動(dòng)力學(xué)行為研究中, 一致連續(xù)性和隨機(jī)持久性是研究的重要性質(zhì)之一, 對(duì)物種保護(hù)等方面具有重要意義。一致連續(xù)性表示種群會(huì)以適度方式繁殖, 在任何時(shí)刻都不會(huì)激增; 隨機(jī)持久性表示種群會(huì)永久持續(xù)生存。本節(jié)首先討論了式(2)正解的一致H?lder連續(xù)性。

定理3 設(shè)X(t)是式(2)對(duì)于任意正的初值X(0)=(x(0),y(0))的正解, 那么X(t)的幾乎所有樣本路徑都是一致H?lder連續(xù)的。

證明參照文獻(xiàn)[10]中定理6.3的證明方法,式(2)中第一個(gè)方程可以轉(zhuǎn)換為下列隨機(jī)積分方程:

由式(5)和定理2, 以及離散H?lder不等式[9], 可得:

22p-2L1(2p):=L11(p)

且有

利用矩不等式[9], 有

其中，0≤t1≤t2, 且p>2。因此, 利用離散H?lder不等式, 有

E|x(t2)-x(t1)|p≤

接下來證明式(2)的隨機(jī)持久性。

定理4 式(2)是隨機(jī)持久的。

證明受文獻(xiàn)[12]中證明方法的啟發(fā)，取某一正常數(shù)η<1, 定義函數(shù):

Z(X)=η-1(1+x-1)η+η-1(1+y-1)η

(7)

其中,

顯然H1<+∞, 對(duì)式(7)兩邊從0到t積分并取期望, 有

E[F(X)]=eμtE[Z(X)]≤

η-1(1+x-1(0))η+η-1(1+y-1(0))η+

μ-1H1(eμt-1)

因此,

μ-1ηH1=H

同理可得:

則有

進(jìn)一步得到:

3 滅絕性

本節(jié)討論式(2)滅絕的充分性條件。

證明受文獻(xiàn)[13]中證明的啟發(fā)， 令u(x(t))=lnx(t), 利用It公式, 有

σ11(t)dB1(t)+σ12(t)x(t)dB2(t)

對(duì)上式兩邊從0到t積分, 得

lnx(t)-lnx(0)=

(8)

由Borel-Cantelli引理[9]可知, 存在Ω0?Ω滿足P(Ω0)=1, 使得對(duì)任意ω∈Ω0, 都存在整數(shù)T0=T0(ω)>0, 當(dāng)T≥T0且0≤t≤T時(shí), 有

M1(t)≤2lnT+0.5〈M1(t),M1(t)〉=

(9)

把式(9)代入式(8)并取上極限，得

由定理5得到的種群滅絕的充分性條件可知, 模型式(2)中的種群滅絕與參數(shù)σ12(t)和σ22(t)無關(guān), 這表明環(huán)境噪聲對(duì)種群密度制約系數(shù)的影響不會(huì)導(dǎo)致模型式(2)中的種群滅絕。

4 數(shù)值模擬

本節(jié)利用Milstein方法[14]對(duì)式(2)進(jìn)行數(shù)值模擬, 來驗(yàn)證理論分析結(jié)果。選取步長(zhǎng)為Δt=0.001, 初值為(x(0),y(0))=(0.3, 0.5),r1=1.2+sin(t),r2=0.1+cos(t),b1=0.9,b2=0.7,c1=0.8,c2=0.7,通過只改變隨機(jī)擾動(dòng)系數(shù)σ11(t),σ12(t),σ21(t)和σ22(t)的取值來觀察種群數(shù)量的變化情況, 得到如圖1所示的結(jié)果。

(a)σ11(t)=σ12(t)=σ21(t)=σ22(t)=0

5 結(jié)束語(yǔ)

在具有一個(gè)環(huán)境噪聲的Holling II捕食者-食餌模型的基礎(chǔ)上, 考慮了具有兩個(gè)環(huán)境噪聲且模型系數(shù)與時(shí)間有關(guān)的Holling II捕食-食餌模型, 使模型系統(tǒng)更貼合實(shí)際。證得了模型正解的存在唯一性和隨機(jī)有界性, 探究了模型的持續(xù)性和隨機(jī)持久性, 并給出了模型中種群滅絕的充分性條件, 從而掌握了更準(zhǔn)確的種群數(shù)量變化規(guī)律, 對(duì)物種保護(hù)、利用和管理具有重要意義。