廣義集值映射Nash均衡點(diǎn)的存在性及Levitin-Polyak良定性*

劉 雷，林 志，彭再云，王衍程

(重慶交通大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400074)

0 引 言

一般認(rèn)為，1944年Morgenstern等[1]書的出版，標(biāo)志著系統(tǒng)化對(duì)策論的出現(xiàn)，他們主要研究了矩陣對(duì)策與合作對(duì)策。此后，在1950年[2]與1951年[3]，Nash在其基礎(chǔ)上相繼發(fā)表了關(guān)于非合作對(duì)策的兩篇重要文章，引入了非合作對(duì)策均衡點(diǎn)的概念(即Nash均衡點(diǎn))，從而完善了現(xiàn)代非合作對(duì)策理論。其中，很多學(xué)者圍繞Nash均衡點(diǎn)的存在性問題進(jìn)行了大量研究，也取得了很多成果。經(jīng)典對(duì)策問題的支付映射是單值的(一個(gè)數(shù)或一個(gè)向量)[4-6]，然而，受客觀條件和一些不確定因素的影響，要精確計(jì)算出其對(duì)應(yīng)值很困難，甚至不可能，通常只能得到這個(gè)值的大概范圍。此時(shí)，相應(yīng)對(duì)策問題的支付映射就變成了一個(gè)集值映射。因此，研究帶有集值支付映射的對(duì)策問題是非常必要且有實(shí)際意義的。

在此背景下，文獻(xiàn)[7]在支付映射為集值的條件下，討論了對(duì)策系統(tǒng)的Loose Nash均衡點(diǎn)的存在性；文獻(xiàn)[8]在Loose Nash均衡點(diǎn)的基礎(chǔ)上，重新刻畫了支付映射為集值時(shí)對(duì)策系統(tǒng)Nash均衡點(diǎn)的定義，并證明了其存在性，但是其均不帶約束條件，實(shí)際應(yīng)用時(shí)具有一定的局限性，且均未討論其均衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。

良定性(Well-posedness)是穩(wěn)定性理論和數(shù)值分析中的一個(gè)重要概念。1966年，Tykhonov[9]在近似解序列的基礎(chǔ)上提出了無約束優(yōu)化問題良定性的概念；在同一年，Levitin等[10]將Tykhonov定義的良定性推廣到了帶約束的優(yōu)化問題中，人們分別稱其為Tykhonov良定性和Levitin-Polyak良定性(簡稱為LP良定性)。近年來，有關(guān)帶約束優(yōu)化問題的LP良定性的研究愈加熱門[11-14]，但尚未有關(guān)于集值映射Nash均衡點(diǎn)的良定性分析。

本文將文獻(xiàn)[8]中無約束集值映射的Nash均衡點(diǎn)，推廣到了帶約束的廣義集值映射Nash均衡點(diǎn)，并證明了其存在性。它以通常的Nash均衡點(diǎn)[4-6]及集值映射的Loose Nash均衡點(diǎn)[7]為特例，應(yīng)用更加廣泛。此外，通過定義LP近似解序列，證明了LP良定性的充分和必要條件，并在此基礎(chǔ)上，得到了廣義集值映射Nash均衡點(diǎn)的LP良定性結(jié)果。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1 設(shè)Y是Hausdorff拓?fù)渚€性空間，C?Y是Y中的一個(gè)錐，C為凸錐，當(dāng)且僅當(dāng)C+C=C；C為尖錐，當(dāng)且僅當(dāng)C∩C={θ}，其中θ是Y中的零元。

定義2設(shè)Y是Hausdorff拓?fù)渚€性空間，對(duì)集合A,B?Y，數(shù)α∈R，記A+B={a+b:a∈A,b∈B}，αA={αa:a∈A}。

在本文中，除非特別說明，均定義如下：指標(biāo)集I={1,2,…,n}至少有兩個(gè)元素，對(duì)任何i∈I，Xi，Yi是Hausdorff拓?fù)渚€性空間，Ki是Xi中的一個(gè)非空緊凸子集，Ci是Yi中的一個(gè)閉凸尖錐且intCi≠?，記

其中，積空間X是一個(gè)Tychonoff乘積空間，對(duì)每個(gè)x∈K，記為x=(xi,x-i)。討論下面廣義集值映射Nash均衡問題：設(shè)指標(biāo)集I是局中人集合，對(duì)每個(gè)局中人i∈I，集值映射Fi:K→2Yi是局中人i的支付映射，集值映射Gi:K-i→2Ki是其可行約束對(duì)應(yīng)映射，尋找

則x*被稱為廣義集值映射對(duì)策系統(tǒng)的一個(gè)Nash均衡點(diǎn)。一個(gè)廣義集值映射的對(duì)策系統(tǒng)通常被表示為(SVNGP)：Γ={Ki,Gi,Fi}i∈I。

注3 在不帶約束的情況下，此定義包含Loose Nash均衡點(diǎn)[7]作為一個(gè)特例，具體推論可見文獻(xiàn)[8]。同樣可證，當(dāng)文獻(xiàn)[8]中的錐Ci(x*)為固定錐時(shí)，上述定義中的x*也為文獻(xiàn)[8]中的Nash均衡點(diǎn)。

定義3X是一個(gè)Hausdorff拓?fù)淇臻g，Y是一個(gè)拓?fù)湎蛄靠臻g，K是X中的一個(gè)非空子集，C是Y中的一個(gè)閉凸尖錐，集值映射F:K→2Y。若對(duì)Y中零元θ的任何開零域V，存在x在K中的開零域U(x)，使得對(duì)任何x′∈U(x)，有F(x′)?F(x)+V+C，則稱F在x處是上半C-連續(xù)的；若F在K的每一點(diǎn)均是上半C-連續(xù)的，則稱F在K上是上半C-連續(xù)的；若-F在K上是上半C-連續(xù)的，則F在K上是上半-C連續(xù)的。

定義4[8]X和Y為Hausdorff拓?fù)渚€性空間，K是X中的一個(gè)非空子集，對(duì)任意x∈K，稱Fi(·,x-i):Ki→2Yi是Ci-廣義擬凹的，如果對(duì)任意yi∈2Yi，集合{ui∈Xi：存在zi∈Fi(ui,x-i)，zi∈yi+intCi}是凸集。

定義5[15]X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，K是X中的一個(gè)非空子集，F(xiàn):K→Y是K到Y(jié)的一個(gè)集值映射，若對(duì)任意x∈K，F(xiàn)(x)恒為Y的緊子集，則稱F為緊值映射。

引理1[15]X為拓?fù)淇臻g，Y為正則拓?fù)淇臻g，K是X中的一個(gè)非空子集，F(xiàn):K→2Y，若F在x0∈K處上半連續(xù)且閉值，則對(duì)任意xn→x0，對(duì)任意yn∈F(xn)且yn→y0，有y0∈F(x0)。

引理2[15]X和Y為拓?fù)淇臻g，K是X中的一個(gè)非空子集，且Y滿足第一可列公理，F(xiàn):K→2Y，若F在x0∈K處下半連續(xù)，則對(duì)任意xn→x0，對(duì)任意y0∈F(x0)，有n0使對(duì)任意n≥n0,存在yn∈F(xn)滿足yn→y0。

(i)Hi是緊值的；

則所有集合Hi(xi)(i∈I,xi∈Ki)有公共元素，即

2 存在性及其證明

定理1 設(shè)I是局中人的集合，對(duì)每個(gè)i∈I，Ki是Xi中的非空緊凸子集，集值映射Fi:Ki→2Yi，集值映射Gi:K-i→2Ki。考慮廣義集值映射的對(duì)策系統(tǒng)Γ，對(duì)?i∈I，如果

(i)?x-i∈K-i，Gi(x-i)是上半連續(xù)的且具非空凸緊值；

(ii)?x∈K，F(xiàn)i(·,·)是上半連續(xù)的且具非空緊值；

(iii)?x-i∈K-i，F(xiàn)i(·,x-i)是Ci-廣義擬凹的；

(iv)?x∈K，F(xiàn)i(ui,·)是下半連續(xù)的；

(v)?x∈K，存在yi∈Fi(x)，使(yi-Fi(x))∩(-intCi)=?。

證明對(duì)每個(gè)i∈I，作映射Hi:Gi(x-i)→2Gi(x-i)如下：

Hi(ui)={xi∈Gi(x-i):存在yi∈Fi(xi,x-i)，使(yi-Fi(ui,x-i))∩(-intCi)=?},?ui∈Gi(x-i)。

即有

因此x0∈Hi(ui)，從而Hi(ui)是閉集當(dāng)然也是緊集。

(2) 對(duì)任意的xi∈Gi(x-i)，由條件(iii)有

{ui∈Gi(x-i):xi?Hi(ui)}=

{ui∈Gi(x-i):?yi∈Fi(xi,x-i)，

?zi∈Fi(ui,x-i),zi∈yi+intCi}

是凸集。

證畢。

注4 當(dāng)集值映射F簡化為向量值函數(shù)時(shí)，應(yīng)用上述定理1，依然可得到廣義向量對(duì)策系統(tǒng)解的存在性結(jié)果。

3 良定性及其證明

定義廣義集值映射對(duì)策系統(tǒng)(SVNGP)的Nash均衡點(diǎn)的解集為S，其中

S={x=(xi,x-i)∈K:?i∈I,xi∈Gi(x-i)}

且存在yi∈Fi(xi,x-i)，使yi-zi?-intCi,?zi∈Fi(ui,x-i),?ui∈Gi(x-i)。

定義7如果存在唯一的(SVNGP)解x*，且每一個(gè)近似解序列都收斂到x*，則稱(SVNGP)為LP良定的；如果(SVNGP)的解集是一個(gè)集合且每一個(gè)近似解序列都有收斂子序列收斂到解集中的某點(diǎn)，則稱(SVNGP)為廣義LP良定的(簡稱為GLP良定的)。

注5如果(SVNGP)是GLP良定的，那么其解集一定是非空緊值的。

為了刻畫良定性問題，下面引入(SVNGP)近似解集的概念：對(duì)ε∈R+，(SVNGP)的LP近似解集為

且存在yi∈Fi(xi,x-i)，使yi-zi+εei?-intCi,?zi∈Fi(ui,x-i),?ui∈Gi(x-i)。

引理4對(duì)每個(gè)i∈I，若集值映射Gi:K-i→2Ki在K-i上上半連續(xù)且具緊值，序列{εn}?R+，{xn}?K，使得對(duì)每個(gè)i∈I，有

定理2考慮(SVNGP)Γ={Ki,Gi,Fi}i∈I，對(duì)每個(gè)i∈I，如果

(i)?x-i∈K-i，Gi(x-i) 是上半連續(xù)的且具非空凸緊值；

(ii)?x∈K，F(xiàn)i(·,·)是連續(xù)的且具有非空緊值；

(iii)?x-i∈K-i，F(xiàn)i(·,x-i)是Ci-廣義擬凹的；

(iv)?x∈K，存在yi∈Fi(x)，使(yi-Fi(x))∩(-intCi)=?。

則意味著存在ε0>0，使得

即意味著存在ε0>0,使得

-intCi0-Ci0∈-intCi0

由定理2及定理3，即可得到(SVNGP)的GLP良定性。

定理4對(duì)(SVNGP)，Γ={Ki,Gi,Fi}i∈I，假設(shè)定理2的條件(i)-(iv)全部滿足，則(SVNGP)是GLP良定的。

(1)G1(x2)，G2(x1)在[1,2]上均是連續(xù)且具非空凸緊值；

(2)F1(x1,x2)，F(xiàn)2(x1,x2)在[1,2]×[1,2]上均是連續(xù)的；

(3) 對(duì)任何x2∈[1,2]，F(xiàn)1(·,x2)是C1-廣義擬凹的，x1∈[1,2]，F(xiàn)2(x1,·)是C2-廣義擬凹的；

(4) ?xi∈[1,2]，i=1,2，存在0∈Fi(x1,x2)，使得(0-Fi(x1,x2))∩(-intCi)=?。

同樣定理2的條件均被滿足，因此可使用定理4得出上述例子的Nash均衡點(diǎn)是GLP良定的。

注6 當(dāng)集值映射F簡化為向量值函數(shù)時(shí)，應(yīng)用上述定理4，依然可得到廣義向量對(duì)策系統(tǒng)解的良定性結(jié)果。

4 結(jié)論與討論

本文討論了帶有約束條件的廣義集值映射Nash均衡點(diǎn)的存在性與良定性的相關(guān)性質(zhì)，其在支付映射或者約束對(duì)應(yīng)映射具有非線性擾動(dòng)或難以精確計(jì)算時(shí)也可適用。此外，證明了Levitin-Polyak良定性的充分和必要條件，在此基礎(chǔ)上，得到了廣義集值映射Nash均衡點(diǎn)的Levitin-Polyak良定性結(jié)果，得出了大多數(shù)情況下廣義集值映射Nash均衡點(diǎn)具有良定性的穩(wěn)定結(jié)論，進(jìn)一步加強(qiáng)了其實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，豐富了其穩(wěn)定性的研究內(nèi)容。接下來，非緊性條件下的廣義集值映射Nash均衡點(diǎn)的存在性及其他穩(wěn)定性將是下一步的研究方向。