2×2型博弈決策均衡的歸一化解法

李停

（銅陵學(xué)院經(jīng)濟學(xué)院，安徽銅陵244000）

0 引言

現(xiàn)實中生活中的企業(yè)決策，無論是產(chǎn)量、價格、廣告、研發(fā)都不再是孤立無關(guān)的，而是彼此間存在策略依存和策略互動。尤其是對生產(chǎn)日趨集中的寡占市場，企業(yè)任何行動都必須考慮其競爭對手的反應(yīng)，傳統(tǒng)決策理論和運籌學(xué)方法很難解決這類利益相互影響的決策均衡問題。博弈論正是研究在利益相互影響的局勢中，局中人如何選擇自己的策略才能使自身的收益最大化的均衡問題[1]。近半個世紀(jì)以來，博弈論的理論和方法激起管理學(xué)家的極大興趣，將決策理論的發(fā)展推向前所未有的新高峰。納什均衡是博弈論最核心的概念，由于戰(zhàn)略管理本質(zhì)上也是組織如何在相互影響的對局中尋求決策均衡的問題，所以本文不加區(qū)分地使用納什均衡和決策均衡的概念。

Nash（1950）[2]應(yīng)用數(shù)學(xué)上的不動點定理，證明了“任何有限的策略型博弈至少存在一個混合納什均衡”。隨后，Debreu（1952）[3]給出了“在n個局中人的策略型博弈中，滿足局中人策略空間Si是歐式空間的非空有界閉集、支付函數(shù)Ui(s)連續(xù)且對Si是擬凹函數(shù)，該博弈存在一個純策略納什均衡”。這是博弈論學(xué)科發(fā)展過程中的兩大理論基石，解決了均衡的存在性問題。國內(nèi)學(xué)者中，李正龍（2001）[4]、朱年磊等（2006）[5]對靜態(tài)博弈純策略納什均衡的存在性作了延伸性探討。但從實踐應(yīng)用角度看，如何尋求納什均衡同樣不容忽視?，F(xiàn)有文獻(xiàn)大致可梳理出博弈均衡的三種求解方法：相對優(yōu)勢劃線法、期望支付等值法和最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)法。這些方法不同程度地存在適用范圍有限、過程繁瑣等弊端。如何尋求一種歸一化解法，將復(fù)雜的納什均衡求解過程“簡單化、程序化和規(guī)范化”，正是本文的寫作目的。本文將在理論上證明，局中人的支付矩陣在局部變換下不改變博弈的均衡特征，并以納什均衡不變性定理為基礎(chǔ)，完成16種類型的2×2型博弈決策均衡的歸一化求解。

1 2×2型博弈構(gòu)成要素及均衡表述

1.1 2×2型博弈的構(gòu)成要素

對于完全信息的靜態(tài)博弈，策略型博弈模型是較為適當(dāng)?shù)谋硎?，而局中人、策略和支付是?gòu)成策略型博弈的三個基本要素。本文分析的2×2型博弈是指包含2個局中人，每個局中人只有2個策略的有限博弈。2×2型博弈構(gòu)成要素雖然簡單，但卻是分析N個局中人復(fù)雜博弈的基礎(chǔ)。從純粹數(shù)學(xué)意義上講，這無非是2維向量空間向N維向量空間的形式化推廣。

于是G=(2,S1,S2,u1,u2)為2×2型博弈的策略型表示，S1、S2分別是局中人1、2的策略空間。在2×2型博弈中，S1、S2都只含有2個元素，記

令s1、s2是局中人1、2具體的某個策略，s1∈S1，s2∈S2。u1、u2代表局中人1、2在各種策略組合下的支付。由于局中人和策略都是有限集，2×2型博弈的策略組合也是有限集，策略組合空間可表示為

由于分析的是完全信息靜態(tài)博弈，策略等同于行動。記局中人1的行動集為α={α1,α2}，局中人2的行動集為β={β1,β2}。再記u1(αi,βj)=aij，u2(αi,βj)=bij，i=1,2，j=1,2。該2×2型博弈的支付矩陣如表1所示：為下文分析方便，記表示局中人1、2的支付矩陣。

表1 2×2型博弈的支付矩陣

1.2 2×2型博弈的均衡表述

由于并非所有2×2型博弈都有純策略納什均衡，需引入混合納什均衡的概念。局中人1的混合策略X=[p,1-p]表示分別以概率p、1-p選擇行動α1、α2。局中人2的混合策略Y=[q,1-q]T表示分別以概率q、1-q選擇行動β1、β2。利用支付矩陣A和B，局中人1、2的期望支付的代數(shù)表示為E1(X,Y)=XAY、E2(X,Y)=XBY。這里X表示局中人1的混合策略行向量，Y表示局中人2的混合策略列向量?；旌喜呗?X*,Y*)為G的混合納什均衡，當(dāng)且僅當(dāng)X*AY*≥XAY*、X*BY*≥X*BY對任何X、Y同時成立。易知當(dāng)p=1或p=0時，局中人1的混合策略e1=(1,0)、e2=(0,1)退化成純策略α1、α2；同樣，當(dāng)q=1或q=0時，局中人2的混合策略e1=(1,0)、e2=(0,1)退化成純策略β1、β2。因而混合策略包含著純策略的含義，對二者的分析便可以統(tǒng)一起來。

2 納什均衡的不變性

2.1 納什均衡不變性定理

定理1：設(shè)G=(2,S1,S2,u1,u2)為某2×2型博弈，則納什均衡對任一局中人的支付函數(shù)的正仿射變換下不變。即對i∈{1,2}，令(s)=σiui(s)+εi，其中σi＞0。正仿射變換下的新2×2型博弈與G有相同的納什均衡。

定理2：納什均衡在支付函數(shù)的局部變換下不變。

2.2 納什均衡不變性定理的實質(zhì)

定理1和定理2使用嚴(yán)謹(jǐn)而又晦澀的數(shù)學(xué)語言詮釋納什均衡的不變性。事實上，借助局中人支付矩陣A和B對該定理簡化，有助于把握納什均衡不變性定理的實質(zhì)。

對G的支付函數(shù)作正仿射變換，相當(dāng)于對局中人1、2的支付矩陣A、B的每個元素乘以一個正數(shù)再加上一個常數(shù)。即A′=σ1A+ε1，B′=σ2B+ε2，其中，σ1,σ2＞0，εi是元素取值為常數(shù)的2階方陣。

對G的支付函數(shù)作局部變換，相當(dāng)于對A的某一列加一個常數(shù)，或者對B的某一行加一個常數(shù)。即或者

3 2×2型博弈的決策均衡

3.1 局中人支付矩陣的對角化

既然對支付函數(shù)的局部變換實質(zhì)是對局中人支付矩陣的列或行加某個常數(shù)，那么一個自然的想法是只要常數(shù)選取得當(dāng)，很容易將局中人的支付矩陣對角化。這將使得納什均衡求解過程得到簡化，以此為基礎(chǔ)可探討2×2型博弈決策均衡的歸一化解法，同時納什均衡不變性定理保證了這種探討的有效性。

對局中人1的支付矩陣A進(jìn)行列變換，將其變成對角陣A′，具體過程如式（3）所示；對局中人2支付矩陣B進(jìn)行行變換，將其變成對角陣B′，具體過程如式（4）所示：

由于任一2×2型博弈都可通過局部變換成對角陣，下文對其決策均衡的討論只需對支付矩陣是的2×2型博弈進(jìn)行。

3.2 局中人的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)

3.2.1 局中人1的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)

局中人1的混合策略為X=(p,1-p)，局中人2的混合策略為Y=(q,1-q)T。局中人1的最優(yōu)反應(yīng)是對不同的Y，選擇X最大化期望支付E1(p,q)。

（1）a1＞0，a2＜0。當(dāng)a1+a2＞0時，恒有此時，對?q∈[0,1]，p=1最大化期望支付E1；而當(dāng)a1+a2＜0時，顯然成立，從而也得到綜合起來，局中人1的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)：p(q)=1，?q∈[0,1]。

（2）a1＜0，a2＞0。類似情形（1），可得到此時恒有，故局中人1的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)：p(q)=0，?q∈[0,1]。

（3）a1＞0，a2＞0。當(dāng)時，恒成立。?p∈[0,1]，都能最大化期望支付E1；當(dāng)時，，局中人1的最優(yōu)反應(yīng)是p(q)=0；當(dāng)時，，局中人1的最優(yōu)反應(yīng)是p(q)=1。局中人1的反應(yīng)函數(shù)可用分段函數(shù)表示：

（4）a1＜0，a2＜0。類似情形（3），可得局中人1的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)：

3.2.2 局中人2的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)

局中人2的最優(yōu)反應(yīng)是對不同的X，選擇Y最大化期望支付E2(p,q)。

（1）b1＞0，b2＜0。局中人2的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)：q(p)=1，?p∈[0,1]。

（2）b1＜0，b2＞0。局中人2的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)：q(p)=0，?p∈[0,1]。

（3）b1＞0，b2＞0。局中人2的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)可用分段函數(shù)式（9）表示：

（4）b1＜0，b2＜0。局中人2的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)可用分段函數(shù)式（10）表示：

表2 2×2型博弈的決策均衡

3.3 決策均衡

由于局中人1和2的反應(yīng)函數(shù)都有4種情形，交叉組合后共有4×4=16種情形。上頁表2列出2×2型博弈在每種情形下的反應(yīng)函數(shù)圖形和決策均衡。表2中(ei,ej)是純策略納什均衡，如(e1,e2)表示[(1,0),(0,1)]，亦即純策略組合(α1,β2)。粗實線表示相應(yīng)的反應(yīng)函數(shù)曲線。

4 算例分析及方法比較

以企業(yè)管理中著名的“協(xié)調(diào)”博弈為例，闡述不同決策均衡求解過程并進(jìn)行方法比較。企業(yè)1和企業(yè)2是相關(guān)行業(yè)內(nèi)的兩個廠商，都具備生產(chǎn)產(chǎn)品甲和乙的技術(shù)條件。比較而言，廠商1在產(chǎn)品甲生產(chǎn)上有比較優(yōu)勢，廠商2在產(chǎn)品乙生產(chǎn)上有比較優(yōu)勢。但由于生產(chǎn)過程中的技術(shù)互補的原因，兩家企業(yè)生產(chǎn)同一種產(chǎn)品更容易獲得外部規(guī)模經(jīng)濟?，F(xiàn)在的問題是，兩家企業(yè)如何協(xié)調(diào)，實現(xiàn)產(chǎn)品選擇決策均衡。表3列出各種策略組合下的支付。

表3 產(chǎn)品選擇“協(xié)調(diào)”博弈

4.1 相對優(yōu)勢劃線法

相對優(yōu)勢劃線法的基本思想是：對每個局中人在對手各種確定的策略情形下尋求其最優(yōu)策略，并在該局中人相應(yīng)的支付下面劃一短線。等兩個局中人都分析完成后，每個局中人支付下面都有短線的策略組合就是納什均衡。

對于企業(yè)1而言，給定企業(yè)2選擇產(chǎn)品甲，選擇產(chǎn)品甲支付是3，選擇乙支付是-1，于是在(3,2)中局中人1的支付3下面劃線。類似這樣的討論對所有局中人的全部策略，劃線結(jié)果也在表3中同時給出。通過相對優(yōu)勢劃線法，容易得到該產(chǎn)品選擇“協(xié)調(diào)”博弈的決策均衡是（產(chǎn)品甲，產(chǎn)品甲）、（產(chǎn)品乙，產(chǎn)品乙）。

相對優(yōu)勢劃線法的優(yōu)點是簡單易行，但只適用于純策略納什均衡的求解。

4.2 期望支付等值法

期望支付相等是混合納什均衡的一個重要性質(zhì)。如果(X*,Y*)是博弈G的一個納什均衡，這里X=[p,1-p]表示局中人1以概率p、1-p選擇行動α1、α2，Y=[q,1-q]T表示分局中人2以概率q、1-q選擇行動β1、β2，那么E1(X*,Y*)=E1(X,Y*)、E2(X*,Y*)=E2(X*,Y)對任意X、Y都成立。給定某局中人選擇均衡策略，另一局中人無論選擇什么混合策略都不改變其支付。在混合納什均衡點上，局中人的期望支付與另一局中人的策略選擇無關(guān)。這當(dāng)然也包括兩種純策略，由此引入求解2×2型博弈混合納什均衡的一種簡便方法——期望支付等值法。

仍以產(chǎn)品選擇“協(xié)調(diào)”博弈為例，說明期望支付等值法的求解過程。對于企業(yè)1而言，當(dāng)企業(yè)2選擇混合策略(q,1-q)時，其選擇純策略產(chǎn)品甲和產(chǎn)品乙的期望支付相等，即：

4.3 歸一化解法

相對優(yōu)勢劃線法和期望支付等值法分別在求解2×2型博弈的純策略納什均衡和混合策略納什均衡方面有各自優(yōu)勢，但缺陷是適用范圍有限，容易造成解得遺漏。一個自然的想法是如何將兩種方法歸一化，探求對2×2型博弈的一般性求解方法。

歸一化解法基于最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)法，能有效減輕該方法在使用過程中的計算量。由表3，產(chǎn)品選擇“協(xié)調(diào)”博弈中局中人1、2的支付矩陣是：經(jīng)局部變換后的對角陣分別是：于是a1=4、a2=1、b1=1、b2=4，。查閱表2知該2×2型博弈有三個納什均衡：，分別是純策略納什均衡（產(chǎn)品甲，產(chǎn)品甲）、（產(chǎn)品乙，產(chǎn)品乙）和混合納什均衡

通過方法比較后不難發(fā)現(xiàn)，2×2型博弈決策均衡的歸一化解法利用納什均衡不變性定理，可將復(fù)雜的求解過程“簡單化、程序化和規(guī)范化”，具有普適性特征，且很好地解決了其他方法解的遺漏問題。

[1]王文舉.經(jīng)濟博弈論基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社,2010.

[2]Nash J.Equilibrium Points in n-person Games[J].Proceedings of the National Academy of Science,1950,(36).

[3]Debreu D A.Social Equilibrium Existence Theorem[J].Proceedings of the National Academy of Science,1952,(38).

[4]李正龍.雙人靜態(tài)博弈純戰(zhàn)略納什均衡存在性判別[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)與計算機學(xué)學(xué)報,2001,15(1).

[5]朱年磊,李榮生.靜態(tài)博弈純戰(zhàn)略均衡存在性判別法[J].曲阜師范大學(xué)學(xué)報,2006，32(1).