再談“流浪地球”
——讓地球脫離太陽系最少需要做多大的功?

于鳳軍,田俊龍,湯振杰,鞠 林

(安陽師范學(xué)院 物理與電氣工程學(xué)院，河南 安陽 455000)

2019年春節(jié)期間, 國產(chǎn)科幻大片《流浪地球》在全國上映, 它設(shè)想在2075年, 太陽即將毀滅, 人類為謀求生存, 帶著地球奔向距太陽系最近的一顆恒星附近“安家”. 央視《焦點(diǎn)訪談》評論:“《流浪地球》的科幻熱，還帶動了科學(xué)熱”. 借助該影片在國內(nèi)外青少年中的巨大影響,文獻(xiàn)[1]進(jìn)行了教學(xué)討論：從其中的設(shè)想出發(fā), 針對設(shè)想的第一步——讓地球停止轉(zhuǎn)動, 計(jì)算為實(shí)現(xiàn)它最少需要做多大的功, 并從能源角度討論讓地球停轉(zhuǎn)的可行性問題. 這引起了學(xué)生濃厚的探討興趣. 該影片設(shè)想的第二步是, 建設(shè)10000個(gè)地球行星發(fā)動機(jī), 這些發(fā)動機(jī)朝恒星目標(biāo)方向的反方向噴射物質(zhì), 利用火箭反沖原理[2]讓地球朝目標(biāo)運(yùn)動(見圖1). 要實(shí)現(xiàn)朝目標(biāo)方向的運(yùn)動, 地球必須先擺脫太陽引力束縛. 本文假定第一步可以實(shí)現(xiàn), 計(jì)算在地球質(zhì)量能夠滿足生命存在需要的條件下, 讓地球剛好能擺脫太陽束縛, 最少需要做多大的功, 并從能源角度討論其可能性.

圖1

1 限定條件、近似說明和概念準(zhǔn)備

1.1 維持生命存在所需要的地球最小質(zhì)量

先說明為什么本文討論的前提條件是地球質(zhì)量能夠滿足生命存在的需要. 第一，人們經(jīng)過長期觀察發(fā)現(xiàn)，太陽系中，質(zhì)量較大的行星上有大氣，質(zhì)量較小的行星或衛(wèi)星上無大氣，如月球，在無大氣的天體上不能存在生命. 那么，在質(zhì)量多大的行星上才有可能存在大氣呢？對于這個(gè)問題，文獻(xiàn)[3]、[4]用定性和半定量的方法進(jìn)行過研究, 給出一個(gè)結(jié)論：地球維持生命存在所需要的質(zhì)量必須滿足：m>3.05×1023kg. 第二，帶著地球去“流浪”的目的，是為了生命生存. 然而，為了逃離太陽系，必須拋射物質(zhì)，這將導(dǎo)致地球質(zhì)量必然減少.根據(jù)上述結(jié)論，地球質(zhì)量不能太小, 太小不能滿足生命存在的需要. 基于以上兩點(diǎn)考慮，有了上述前提條件. 根據(jù)上述不等式可知，維持生命生存所需要的地球最小質(zhì)量值為m1=3.05×1023kg. 它與目前地球質(zhì)量m0=5.98×1024kg之比為

(1)

1.2 近似說明

“地球流浪”伴隨著復(fù)雜的物理過程，有多種因素影響計(jì)算的結(jié)果. 從本文后邊的推導(dǎo)結(jié)果將會看到，行星發(fā)動機(jī)做的功與地球的末質(zhì)量與初質(zhì)量之比有關(guān)，做的最小功與式(1)有關(guān). 而式(1)中m1是由文獻(xiàn)[3]、[4]用定性和半定量的物理方法估算得到的，一般只能在數(shù)量級上與實(shí)際一致，故本文的計(jì)算結(jié)果也屬于估算結(jié)果. 因此，沒有必要考慮每一種因素，當(dāng)某種因素對結(jié)果的影響較小時(shí)，就把它忽略掉. 下面作具體說明.

如圖2，太陽和地球都看作質(zhì)點(diǎn)，分別由S和E表示，rse表示地球軌道半徑. 我們設(shè)想的地球逃離方案是，讓行星發(fā)動機(jī)使地球在目前的軌道位置，沿運(yùn)動方向、即軌道的切線方向進(jìn)行加速，經(jīng)過不長的時(shí)間Δt，使其從目前的軌道速度v0達(dá)到脫離太陽系的最低速度——逃逸速度v2(圖中Δv=v2-v0)，之后關(guān)閉發(fā)動機(jī)，憑借慣性運(yùn)動到達(dá)距離太陽無限遠(yuǎn)的地方. 當(dāng)然這不是唯一的方案. 本方案的出發(fā)點(diǎn)：一是沿軌道切向加速可以節(jié)約發(fā)動機(jī)能量，原因是這可以最大限度地利用地球原有的速度或動能(這與沿赤道向東發(fā)射衛(wèi)星可節(jié)省能量的理由一樣)；二是能用低年級大學(xué)生知道的普通物理力學(xué)[2]知識、和較簡單的方法處理問題. 這種方案伴隨著兩個(gè)因素需要權(quán)衡和作近似處理. 一是慣性力，二是太陽引力.

圖2

當(dāng)?shù)厍蚣铀贂r(shí)，在地球參考系中，地球表面上的各種物質(zhì)如人、物品、空氣、海洋等都會受到慣性力的作用，在前方表面上的物體會超重，后方表面上的物體會失重.如果地球在太陽參考系中的切向加速度aτ超過重力加速度g，則慣性力大于地球引力，后方表面上的上述物質(zhì)會離開地球飛向太空，前方表面上的人類會感到非常不適. 因此我們假定發(fā)動機(jī)總功率可控，可以使aτ足夠小，小到它對包括空氣在內(nèi)的生活環(huán)境的影響可以被人們接受. 但aτ也不能太小，太小則需要加速的時(shí)間太長，太長會導(dǎo)致地球脫離原來的軌道太遠(yuǎn)，以致由原來軌道確定的逃逸速度不能適用，這是因?yàn)樘右菟俣扰crse有關(guān)(詳見1.3節(jié)的有關(guān)公式). 作者認(rèn)為，如果超重或失重部分為原重的3%，對人、空氣等都不會有太大的影響，故取aτ≈3%·g=0.294 m/s2，它約為民航客機(jī)起飛加速度的1/3. 經(jīng)計(jì)算知，地球從這個(gè)aτ開始運(yùn)動，達(dá)到逃逸速度時(shí)，產(chǎn)生的切向位移相對于太陽的張角Δφ<0.6° (見圖2)，rse的變化遠(yuǎn)小于軌道半徑，故原來確定的逃逸速度變化不大.

當(dāng)?shù)厍蚣铀贂r(shí)，地球不僅受反沖推力，還受太陽引力. 反沖推力正比于切向加速度aτ，太陽引力正比于軌道法向加速度an. 經(jīng)計(jì)算知，an=0.0059 m/s2，an/aτ=2%，故太陽引力遠(yuǎn)小于反沖推力，可忽略太陽引力的作用.

地球在加速時(shí)需要拋射物質(zhì), 其運(yùn)動與火箭一樣，屬變質(zhì)量物體的運(yùn)動, 以下簡稱“地球火箭”. 火箭運(yùn)動的處理方法[2]是，取物體和噴射的物質(zhì)dm為研究系統(tǒng)，如果不受外力，則系統(tǒng)動量守恒, 文獻(xiàn)[2]由此可以導(dǎo)出“火箭運(yùn)動的微分方程” (見1.4小節(jié)式(5)). 在工程問題中，絕對不受外力的系統(tǒng)是沒有的，比如重力不可回避. 通常，在工程問題中，當(dāng)內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力時(shí)，就認(rèn)為系統(tǒng)的動量守恒. 對于本文研究的“地球火箭”，反沖推力是地球與拋射物質(zhì)dm間的相互作用力，屬于內(nèi)力，太陽引力是外力，根據(jù)上段的討論，反沖推力遠(yuǎn)大于太陽引力，故可以忽略太陽引力、近似認(rèn)為動量守恒，從而可以使用火箭運(yùn)動的微分方程.

在使用動量守恒定律時(shí)還有一個(gè)規(guī)則：當(dāng)外力在某方向的投影為0時(shí)，則在該方向的動量守恒，如光滑水平面上的兩個(gè)小車碰撞問題，在水平方向動量守恒. 在圖2中，“地球火箭”在加速階段、即拋射物質(zhì)階段對應(yīng)的Δφ<0.6°，這意味著太陽引力方向與“地球火箭”的運(yùn)動方向幾乎垂直，即在運(yùn)動方向的投影幾乎為0 . 因此，即使太陽引力不能忽略，在軌道的切線方向，由地球與拋射物質(zhì)dm組成的系統(tǒng)的動量也幾乎守恒. 再加上太陽引力相對于內(nèi)力很小，應(yīng)用動量守恒和火箭運(yùn)動的微分方程引起的誤差幾乎可以不計(jì).

順便說明，基于上邊二段給出的同樣理由，可以得出：“地球火箭”在加速階段，太陽引力對由地球與拋射物質(zhì)dm組成的系統(tǒng)做的功也可忽略不計(jì).

行星發(fā)動機(jī)拋射的物質(zhì)要經(jīng)過大氣層，將受到空氣阻力，如同文獻(xiàn)[1]一樣，忽略它的作用. 此外，地球逃離太陽系是以質(zhì)量減少為代價(jià)的，這對山水、土壤、海洋等必然造成影響. 本文主要考慮力學(xué)范圍內(nèi)的問題，不考慮除保留大氣以外的其它環(huán)境科學(xué)問題，也不考慮發(fā)射物質(zhì)的開采、運(yùn)輸?shù)人泄こ碳夹g(shù)方面的難度問題和能耗問題。

1.3 逃逸速度

由于存在引力,某物體欲脫離某星球, 物體相對于星球的速度有一最小值, 這個(gè)最小速度叫逃逸速度. 本文涉及的逃逸速度有二種, 第一種與地球脫離太陽對應(yīng), 第二種與物體脫離地球?qū)?yīng).

(2)

Δv≥Δvm=v2-v0=12337 m/s

(3)

需要強(qiáng)調(diào)當(dāng)?shù)厍蛩俣冗_(dá)到v2時(shí), 它剛能脫離太陽引力束縛, 還不能向目標(biāo)恒星運(yùn)動.

(4)

總而言之, 欲使地球擺脫太陽引力, 須先使被拋物質(zhì)擺脫地球引力, 可見逃逸速度在本問題中的重要性.

1.4 有效反沖噴射速度

火箭的運(yùn)動原理是利用其尾部噴射物質(zhì)的反沖作用推動火箭向前運(yùn)動, 被噴射物質(zhì)相對于火箭的速度vr叫做噴射速度. 這是變質(zhì)量物體的運(yùn)動, 根據(jù)動量守恒可以推出火箭的運(yùn)動微分方程為[2]

dv=-vrdm/m

(5)

其中m是t時(shí)刻火箭的質(zhì)量, dv、dm分別是dt時(shí)間內(nèi)火箭的速度增量和質(zhì)量增量,v是火箭在某慣性系中的速度.

行星發(fā)動機(jī)使地球運(yùn)動的原理與火箭相同, 都是變質(zhì)量物體的運(yùn)動, 我們把“流浪”的地球看作一個(gè)巨大的火箭. 然而, 地球火箭與現(xiàn)有火箭有一點(diǎn)很大的不同: 在無阻尼情況下, 由式(5)可知, 現(xiàn)有火箭只要vr≠0,它就可持續(xù)加速運(yùn)動. 而地球火箭卻不一定. 關(guān)于這一點(diǎn), 上邊介紹地球的逃逸速度時(shí)曾指出,vr

選擇太陽參考系. 鑒于上述分析, 對于地球火箭, 應(yīng)該把方程 (5)中的噴射速度vr換成有效反沖噴射速度vr∞，得其運(yùn)動微分方程：

(6)

對上式兩邊積分, 可得地球火箭的速度增量：

(7)

其中m2是地球運(yùn)動速度為v2時(shí)的質(zhì)量. 根據(jù)式(3)可知, Δv=Δvm=12337 m/s時(shí)地球火箭剛好能擺脫太陽引力, 故由式(7)得

(8)

由上式看出, Δvm一定時(shí)，地球末質(zhì)量與初質(zhì)量之比m2/m0越小, 有效反沖噴射速度vr∞越小, 但該比值的最小值由式(1)決定:m2/m0=m1/m0=1/19.6, 由此計(jì)算出vr∞的最小值為4146 m/s, 這是對有效反沖噴射速度的限定條件.

1.5 目前人類可預(yù)期的地球上最大的可利用能量

目前人類可預(yù)期的地球上最大的可利用能量是海水中氘核的聚變能, 該能量數(shù)值由文獻(xiàn)[1]給出

ED=1.68×1031J

(9)

2 地球剛好能擺脫太陽引力需要做的功

先考慮t時(shí)刻附近、dt時(shí)間內(nèi)地球火箭噴射質(zhì)量為|dm|的質(zhì)元所需要的行星發(fā)動機(jī)做的功. 取此時(shí)質(zhì)量為m的地球和質(zhì)元|dm|為研究系統(tǒng). 在下面的討論中，如1.2節(jié)指出的那樣，太陽引力對系統(tǒng)做的功忽略不計(jì)，并忽略其它天體的作用. 行星發(fā)動機(jī)包含在地球m之內(nèi), 故它做的功是內(nèi)力做功. 內(nèi)力總是成對出現(xiàn)的, 做功與參考系無關(guān). 為方便起見, 取系統(tǒng)質(zhì)心參考系. 在質(zhì)心系中, |dm|被拋出發(fā)動機(jī)之前, |dm|和m合為一體, 速度、動量和動能都是0, 設(shè)|dm|拋出后在發(fā)動機(jī)出口處的速度為V2, 而此時(shí)m的速度為V1(見圖3) ,由動量守恒得

mV1+|dm|V2=0

(10)

圖3

|dm|被拋出前后系統(tǒng)的動能增量

(11)

|dm|相對于地球的速度為vr=V2-V1, 將此式與式(10)聯(lián)立求解，得到V1、V2后，代入式(11)化簡, 同時(shí)考慮|dm|→0, 得

(12)

由于太陽和其他天體的引力做功可以忽略, 故由質(zhì)點(diǎn)系的動能定理[2]可知, 系統(tǒng)動能的增量等于內(nèi)力所做的功. 本問題中的內(nèi)力包括行星發(fā)動機(jī)提供的推力、以及|dm|與m之間的引力.從|dm|在發(fā)動機(jī)內(nèi)開始加速處到拋出在發(fā)動機(jī)出口處的這段位移中, 推力遠(yuǎn)大于內(nèi)部引力, 內(nèi)部引力做功可以忽略不計(jì), 故系統(tǒng)動能的增量dEk等于行星發(fā)動機(jī)所做的元功dA. 考慮到上式中的vr由式(4)決定, 可得

(13)

對上式積分, 同時(shí)考慮到R=R0(m/m0)1/3和式(8), 可得行星發(fā)動機(jī)所做的總功

(14)

將m0=5.986×1024Kg,R0=6371000 m,G=6.672×10-11Jm/(kg)2, Δvm=12337 m/s代入上式, 再以m2/m0為橫軸,A為縱軸畫出A隨m2/m0變化的曲線, 見圖4. 可以看m2/m0越小,A越小.但m2/m0最小值由式(1)決定：m2/m0=m1/m0=1/19.6,由此計(jì)算A的最小值

Am=0.49×1032+2.23×1032=

2.72×1032(J)

(15)

圖4

這就是在地球質(zhì)量能夠滿足生命存在需要的條件下, 讓地球剛好能擺脫太陽束縛, 行星發(fā)動機(jī)最少需要做的功.

3 討論

1) 由式(9)和式(15)可知, 目前人類可預(yù)期的地球上最大的可利用能量僅為1.68×1031J, 即使它100%可以轉(zhuǎn)化為機(jī)械功仍比Am小1個(gè)數(shù)量級, 何況能量轉(zhuǎn)換效率小于100%. 所以, 就目前已探明的能源狀況, 人類讓地球脫離太陽系是不可能的——如同悟空逃不出如來手掌, 更談不上帶著地球“流浪”到其它恒星附近“安家”.

2) 從式(14)、式(15)可以看出, 第一項(xiàng)含有地球的速度增量Δvm，表明此項(xiàng)對應(yīng)讓地球加速需要做的功；第二項(xiàng)含有引力常數(shù)和地球質(zhì)量，表明它是因地球引力存在而需要做的功，其大小為2.23×1032J, 占總功的82%.因此對于本文研究的問題，“地球火箭”所耗費(fèi)能量的絕大部分用于被拋物質(zhì)擺脫地球的引力，這是地球火箭的特別之處.

4 結(jié)語

本文是文獻(xiàn)[1]的姊妹篇, 從科普作品《流浪地球》中讓地球“流浪”的話題出發(fā), 結(jié)合其中涉及到的力學(xué)概念、定律、定理進(jìn)行教學(xué)討論. 在太陽參考系中研究“地球火箭”這樣一個(gè)特殊的變質(zhì)量物體的運(yùn)動, 特別是引入有效反沖噴射速度的概念，這是本文的主要創(chuàng)新點(diǎn);在質(zhì)心系應(yīng)用動量守恒定律和動能定理, 導(dǎo)出行星發(fā)動機(jī)噴射質(zhì)元|dm|時(shí)所做的元功, 積分計(jì)算總功,并指出“地球火箭”在能耗方面的特殊性.最后從能源角度分析得出結(jié)論: 就目前已探明的能源狀況, 人類讓地球脫離太陽系是不可能的. 本文和文獻(xiàn)[1]在處理問題時(shí), 抓住學(xué)生感興趣的話題，應(yīng)用了多個(gè)力學(xué)定律、定理、概念以及其它物理學(xué)知識, 不僅能拓展學(xué)生的想象空間，也是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用多種物理知識綜合分析、解決問題能力的教學(xué)案例.