氦原子能級(jí)的變分微擾計(jì)算

白占武，閻占元

(華北電力大學(xué) 數(shù)理系，河北 保定 071003)

氦原子能級(jí)結(jié)構(gòu)是多電子原子能級(jí)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ), 因而一直是人們感興趣的研究對(duì)象.計(jì)算主要采用變分法和微擾法.變分法求解的關(guān)鍵是選取合適的試探波函數(shù).因此大量研究通過設(shè)計(jì)試探波函數(shù)并增加變分參數(shù)的個(gè)數(shù)來提高計(jì)算精度.例如,文獻(xiàn)[1]結(jié)合物理圖像提出二參數(shù)變分法并計(jì)算出類氦原子的基態(tài)能量.計(jì)算得到的基態(tài)能量與實(shí)驗(yàn)值的相對(duì)誤差為0.95 %.文獻(xiàn)[2]基于Hylleraas 變分波函數(shù)得到氦原子的基態(tài)能量.利用 Mathematica 軟件的符號(hào)計(jì)算功能求積分和解行列式方程,采用11項(xiàng)展開的Hylleraas波函數(shù)進(jìn)行計(jì)算,得到的基態(tài)能量的理論值和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差小于0.04 ‰.文獻(xiàn)[3]通過顯式考慮電子間關(guān)聯(lián)效應(yīng),用變分法計(jì)算了氦原子和類氦離子的基態(tài)能量,氦原子基態(tài)能量的理論值和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差為0.42 %.文獻(xiàn)[4]用九個(gè)類氫原子波函數(shù)組合成試探波函數(shù),用變分法近似計(jì)算了氮原子基態(tài)及第一激發(fā)態(tài)的能級(jí);1S2S兩個(gè)能級(jí)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差分別為2.4 %和4.8 %.文獻(xiàn)[5]基于拉卡方法,用兩參數(shù)變分法計(jì)算了氦原子低激發(fā)態(tài)(電子組態(tài)為 1s2s, 1s2p 等)的能量;1S2S兩個(gè)能級(jí)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差分別為0.52 %和1.04 %.

與變分法不同,微擾法求解的關(guān)鍵是微擾項(xiàng)要足夠小.在處理類氦原子問題時(shí),通常將電子間的相互作用能看作微擾項(xiàng),但是實(shí)際上該相互作用能并非很小.在實(shí)際應(yīng)用中,變分法用得比微擾法廣泛得多，主要是因?yàn)槲_法計(jì)算上的困難.在進(jìn)行能量的二級(jí)或更高級(jí)的微擾修正的計(jì)算中,必須計(jì)算遍及無窮個(gè)不連續(xù)態(tài)的求和以及遍及所有連續(xù)態(tài)的積分, 而這些計(jì)算是非常困難甚至是不可能的.但是,微擾法規(guī)范的計(jì)算可以系統(tǒng)地改進(jìn)計(jì)算結(jié)果.文獻(xiàn)[6]用微擾法計(jì)算的基態(tài)能量與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差為5.3 %.文獻(xiàn)[7]將變分法與微擾法相結(jié)合,利用低級(jí)微擾的能量和波函數(shù),用變分方法得到了下一級(jí)微擾的能量和波函數(shù).

本文將變分法與微擾法相結(jié)合.首先用變分法計(jì)算氦原子第一激發(fā)態(tài)1S2S的兩個(gè)能級(jí),再進(jìn)行微擾計(jì)算.由于變分法是用帶參數(shù)的可解哈密頓量本征函數(shù)去逼近原哈密頓量的本征函數(shù),再將剩余哈密頓量的矩陣元看做微擾將是一個(gè)好的近似.我們給出了微擾矩陣元的解析表達(dá)式,輔助以matlab數(shù)值計(jì)算,得到了二級(jí)微擾近似下的能量.

1 變分法計(jì)算

考慮到氦原子中另外一個(gè)電子的屏蔽作用，將核電荷數(shù)λ作為一個(gè)變分參數(shù).哈密頓量的可解部分取為(原子單位)

(1)

總哈密頓量：

(2)

其中

(3)

考慮到1S2S態(tài)自旋波函數(shù)有對(duì)稱(正氦)、反對(duì)稱(仲氦)兩種形式,相應(yīng)的空間波函數(shù)有反對(duì)稱、對(duì)稱兩種形式.

(4)

(5)

λ1=1.8497，λ2=1.8145

及

(6)

上述變分法的結(jié)果已包含了能量的一級(jí)微擾修正.

2 變分微擾計(jì)算

下面計(jì)算能量的二級(jí)微擾修正.將徑向波函數(shù)寫成如下形式

(7)

其中

ξ1=2λr1/m,ξ2=2λr2/n

C(ml,i)是合流超幾何函數(shù)F(-m,2l+2,ξ1)的展開系數(shù)【8】,C(nl,j)類似.這樣

R10(r1)=N10e-mξ1/2,

(8)

對(duì)于未對(duì)稱化的波函數(shù),微擾矩陣元的解析表達(dá)式為

(9)

(10)

(11)

其中dk(a,k)=a(a-1)...(a-k).

考慮波函數(shù)的對(duì)稱性,當(dāng)m≠n時(shí),有

(12)

(13)

(14)

當(dāng)m=n時(shí),

(15)

能量的二級(jí)微擾修正為

(16)

(17)

3 總結(jié)