非線性振動(dòng)中周期與振幅和能量關(guān)系的級(jí)數(shù)表達(dá)式

郝繼光，黃亦斌

(1. 南昌市灣里區(qū)第一中學(xué)，江西 南昌 330004；2. 江西師范大學(xué) 物理與通信電子學(xué)院，江西 南昌 330022)

通常對(duì)振動(dòng)的處理方式，是將勢(shì)能函數(shù)在極小值點(diǎn)處取到二次項(xiàng)，從而求出振動(dòng)的頻率和周期. 這等價(jià)于把該振動(dòng)視為簡(jiǎn)諧振動(dòng)處理. 若想考慮振動(dòng)頻率與振幅的可能關(guān)系，在這一階是不可能得到的，需考慮高階效應(yīng)，成為非線性振動(dòng)問(wèn)題. 這一關(guān)系一直是大家比較感興趣的問(wèn)題[1-7]，其中針對(duì)單擺的研究較多[4-7]. 這一關(guān)系一般難以存在有限表達(dá)式，故而我們可以就一般情形尋找其級(jí)數(shù)表達(dá)式. 由于計(jì)算量較大，我們使用了Mathematica 軟件，其中除常見(jiàn)簡(jiǎn)單命令外，我們還大量使用了Series(冪級(jí)數(shù)展開(kāi))、DSolve(解微分方程)，Collect(合并同類項(xiàng))等命令.

設(shè)振子的勢(shì)能在極小值點(diǎn)(取為x=0，且V(0)=0)附近的泰勒級(jí)數(shù)為

(1)

上式ω>0.

由能量守恒，有

(2)

將其對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得

(3)

設(shè)正向最遠(yuǎn)到達(dá)x=A處，取此時(shí)為初始時(shí)刻.茲使用微擾法求其級(jí)數(shù)解(在數(shù)學(xué)上類似的例子見(jiàn)參考文獻(xiàn)[8])，即設(shè)其解為

x=x0+x1+x2+x3+x4+…

(4)

1 精確到二階的結(jié)論

把式(4)代入方程(3)，精確到二階解x2，得方程組：

(5)

于是，使用DSolve命令，精確到二階的解為

(6)

注意其中有非周期項(xiàng)，而我們的振動(dòng)顯然是周期性的.其原因就在于2π/ω并非真正的周期.可令

ω=Ω+aA+bA2+…

(7)

即Ω為真正的圓頻率，其初級(jí)近似為ω，高階部分則表示為A的級(jí)數(shù).僅將上式代入式(6)中的三角函數(shù)中(其他位置的ω不做替換，因?yàn)槲覀円M量用原始的系數(shù)ω2、k1、k2、…來(lái)表示)，并利用Series命令展開(kāi)到A3項(xiàng)，令每一階的新非周期項(xiàng)的系數(shù)為0，即可確定式(7)中的系數(shù)a、b.這樣得到的T=2π/Ω才是真正的周期.由此可以確定ω、Ω的關(guān)系：

(8)

同時(shí)式(6)變?yōu)?/p>

(9)

它恰為式(6)去掉非周期項(xiàng)、并將所有三角函數(shù)內(nèi)的ω?fù)Q為Ω的結(jié)果.另外，由式(9)可以看到，平均位置(坐標(biāo)的時(shí)間平均值，即常數(shù)項(xiàng))為

(10)

設(shè)反向振幅為B，即反向最遠(yuǎn)到達(dá)-B處.由于初始條件x=A和x=-B不可區(qū)分(或平權(quán))，故以上各式若做替換A→-B，則應(yīng)該保持不變(其中式(6)和式(9)還需重新定義時(shí)間零點(diǎn)).這可稱為“雙向振幅交換不變性”.式(10)的交換不變性給出

(11)

由此得到A和B的相互關(guān)系為

(12)

由于式(11)只有兩項(xiàng)，所以式(12)也只能保留兩項(xiàng).

2 精確到四階的結(jié)論

考慮四階效應(yīng)時(shí)，把式(4)代入方程(3)，得到的兩個(gè)新方程為

(13)

(14)

解x3,x4分別對(duì)應(yīng)A4,A5項(xiàng)，利用DSolve命令可得到結(jié)果，但比較冗長(zhǎng)，從略.它們中當(dāng)然也存在非周期項(xiàng)，如x3中的這些項(xiàng)：ωtsinωt,ωtsin 2ωt.為消去各階非周期項(xiàng)而需做的變換(與式(8)對(duì)應(yīng))是

(15)

而x3,x4用Ω可表示為

(16)

56064ω4k1k3-5760ω6k4)cosΩt+

1584ω4k1k3+1080ω6k4)cos 5Ωt]

(17)

式(9)、(16)、(17)之和就是方程(3)精確到4階的解. 容易得到，平均位置為

(18)

由式(15)，周期T=2π/Ω為

(19)

此外，由式(2)，能量與振幅A的關(guān)系為

(20)

以上各式應(yīng)該都具有“振幅交換不變性”. 具體地，由于E(A)=E(-B)，上式可以給出雙向振幅B與A的關(guān)系為

(21)

利用InverseSeries 命令反解式(20)，得到振幅A與能量的關(guān)系：

(22)

其中，能量含在A0中，

(23)

反向振幅B與能量的關(guān)系很容易由式(22)得到，只要作替換A→-B,A0→-A0即可，或作替換A→B且把k1,k3,k5、…添負(fù)號(hào)亦可.把式(22)代入式(19)，即可得到周期與能量的關(guān)系：

(24)

至于平均位置與能量的關(guān)系，可利用式(18)和(22)，得到

(25)

3 例證

例1：?jiǎn)螖[

單擺的勢(shì)能為V(θ)=mgL(1-cosθ).記x=Lθ，將勢(shì)能展開(kāi)到x6項(xiàng)，與式(1)對(duì)比，得

由前面所說(shuō)的一般程序，或由式(9)、(16)、(17)，得到解為

(26)

其中θ0=A/L為角度θ的振幅.而

(27)

故有

(28)

該結(jié)果與其用橢圓積分表示的精確結(jié)果展開(kāi)式的前5階相同，也與單擺周期的另一級(jí)數(shù)表達(dá)式

(29)

例2：平方反比引力場(chǎng)中的近圓軌道

平方反比引力場(chǎng)中粒子的徑向方程為[8]

(30)

其中m1為粒子質(zhì)量，m2為中心天體質(zhì)量，常數(shù)E和h分別是粒子的總能量和單位質(zhì)量的角動(dòng)量，而V(r)為徑向運(yùn)動(dòng)的等效勢(shì)能.V(r)存在極小值點(diǎn)r0=h2/Gm2，極小值為-(Gm2)2m1/2h2.r=r0即圓軌道.對(duì)于近圓軌道，令r=r0+x，將V(r)展開(kāi)到x6項(xiàng)，并與式(1)對(duì)比，得

(31)

其中e就是偏心率.于是，式(24)給出周期與能量的關(guān)系為

(32)

其中能量含在e中，且用到了r0的定義.式(25)給出平均半徑與能量的關(guān)系為

(33)

該結(jié)果式(32)、(33)是否正確？可以用嚴(yán)格結(jié)果檢驗(yàn).平方反比引力場(chǎng)中存在如下關(guān)系[9]：

(34)

其中a為半長(zhǎng)軸.前者就是開(kāi)普勒第三定律，后者是用軌道參數(shù)表達(dá)的能量.兩式消去a，將其中的E用e表示，并利用ω的定義，可得

(35)

其級(jí)數(shù)展開(kāi)正是式(32).另一方面，對(duì)平方反比引力場(chǎng)中的粒子，有[9]

(36)

前者是軌道方程，后者表示角動(dòng)量守恒. 由兩式可計(jì)算半徑的時(shí)間平均值為

將上面的周期表達(dá)式(35)代入，并利用ω,r0的定義，得到平均半徑為

(37)

其級(jí)數(shù)展開(kāi)正與式(33)相符.