外力驅(qū)動(dòng)下耦合彈簧振子的法諾共振

鄭子睿，盧思偉，廖晨昊，楊 坤，葛昱驊，高 華，黃昊翀

(1. 中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(北京) 信息工程學(xué)院，北京 100083；2.中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(北京) 數(shù)理學(xué)院，北京 100083)

法諾共振的概念起源于量子物理領(lǐng)域，最早是由意大利物理學(xué)家Fano在1961年提出，他早期在研究惰性氣體的吸收時(shí)，首次發(fā)現(xiàn)了非對(duì)稱的吸收譜，經(jīng)過數(shù)年的努力終于在1961年利用物理系統(tǒng)中分離態(tài)能級(jí)與連續(xù)態(tài)能帶之間的量子干涉成功進(jìn)行了解釋，并提出了法諾共振的概念[1].法諾共振在許多物理系統(tǒng)中都普遍存在，其物理本質(zhì)是兩個(gè)共振模式之間的相干耦合[2]，一般而言，一個(gè)共振模式譜線較寬，稱為亮模，一個(gè)共振模式譜線較窄，稱為暗模.當(dāng)兩個(gè)共振模式之間的位相差接近于π時(shí)，二者發(fā)生相消干涉產(chǎn)生一個(gè)明顯的干涉谷以及與谷相連的一個(gè)干涉峰，從而形成一個(gè)不對(duì)稱的共振線型，即法諾共振.法諾共振現(xiàn)象在各種研究領(lǐng)域中不斷被發(fā)現(xiàn)，比如早期的有光柵的導(dǎo)模共振[3]，微納光學(xué)中波導(dǎo)與微腔的耦合[4]，光子晶體微腔共振[5]，多納米顆粒組合[56]，金屬顆粒二聚體[7]，電磁誘導(dǎo)透明[8]等.近幾年，法諾共振逐漸被科研工作者所熟悉，各種各樣的法諾共振結(jié)構(gòu)被成功設(shè)計(jì)出來并應(yīng)用到傳感[9]、濾波[10]、光電調(diào)制[11]等各個(gè)方面，直到現(xiàn)在法諾共振仍是人們研究的熱點(diǎn).

但是，法諾共振如此重要的物理現(xiàn)象在大學(xué)物理課程以及教學(xué)體系中尚未有體現(xiàn)，即使是作為物理專業(yè)的學(xué)生，授課教材也幾乎沒有涉及到法諾共振.很多同學(xué)對(duì)法諾共振這一現(xiàn)象并不熟悉，比如它的微觀圖像是什么，激發(fā)法諾共振的要素是什么，共振時(shí)它的振幅和位相分布各有什么特點(diǎn)？其實(shí)，這些都是值得關(guān)注的問題.如上所述，法諾共振不僅存在于量子力學(xué)系統(tǒng)，也同樣存在于經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng)中，比如彈簧振子的共振.本文就以經(jīng)典力學(xué)中最簡(jiǎn)單的兩個(gè)彈簧振子的耦合為例，成功設(shè)計(jì)并類比了量子力學(xué)中的法諾共振現(xiàn)象.通過分析彈簧振子的動(dòng)力學(xué)方程，解析求解每個(gè)彈簧振子的振動(dòng)公式，明確在什么時(shí)候發(fā)生法諾共振，什么時(shí)候發(fā)生洛侖茲共振，使讀者能夠?qū)ΨㄖZ共振及其激發(fā)條件有個(gè)更深刻的了解.

1 雙耦合彈簧振子的動(dòng)力學(xué)分析

F1=Aeiωt

(1)

圖1 耦合彈簧振子系統(tǒng)

當(dāng)考慮兩個(gè)振子之間的相互作用時(shí)，每一個(gè)彈簧振子的動(dòng)力學(xué)方程均可寫出.對(duì)于振子1，在振動(dòng)過程中受到的力有外部驅(qū)動(dòng)力F1，左邊彈簧和右邊彈簧分別給它的彈力，為了不失一般性，我們還考慮其在振動(dòng)過程中受到的阻尼力，設(shè)其阻尼系數(shù)為γ1.振子1的動(dòng)力學(xué)方程為

(2)

同理，振子2的動(dòng)力學(xué)方程為

(3)

其中γ2是彈簧振子2所受阻尼力的阻尼系數(shù).對(duì)于受迫振動(dòng)，穩(wěn)態(tài)時(shí)，彈簧振子的振動(dòng)頻率與外部驅(qū)動(dòng)力的頻率相同，因此可以設(shè)其穩(wěn)態(tài)時(shí)的位移函數(shù)分別為：

x1=C1eiωt

(4)

x2=C2eiωt

(5)

其中C1和C2可以是復(fù)數(shù)，即兩彈簧振子的振動(dòng)可以不同相.把式(4)和式(5)代入到式(2)和式(3)中可得

A-iωγ1C1-k1C1+kC2-kC1=-m1C1ω2

(6)

-iωγ2C2-k2C2-kC2+kC1=-m2C2ω2

(7)

聯(lián)立式(6)、(7)，可以得到C1，C2的二元一次方程組，求解可得

(8)

把式(8)代入式(6)可得

(9)

再把式(8)和式(9)分別代入到式(5)和式(4)中，則穩(wěn)態(tài)時(shí)兩個(gè)彈簧振子的位移隨外部驅(qū)動(dòng)力頻率的分布函數(shù)就通過解析的方法求解了出來，整個(gè)過程沒有做任何的近似，其結(jié)果是準(zhǔn)確的.接下來利用式(8)和式(9)繪制函數(shù)曲線來分析不同情況下彈簧振子的振動(dòng)情況.

2 彈簧振子的振動(dòng)情況分析

2.1 單個(gè)彈簧振子1做受迫振動(dòng)情況分析

由式(3)可知，圖2中的位相φC1為彈簧振子1在穩(wěn)態(tài)時(shí)其簡(jiǎn)諧振動(dòng)的初相，由于外部驅(qū)動(dòng)力F1的初相為0，因此φc1也可以理解為彈簧振子1的振動(dòng)與外部驅(qū)動(dòng)力之間的位相差.當(dāng)外部驅(qū)動(dòng)力的頻率遠(yuǎn)小于彈簧振子的固有頻率時(shí)，彈簧振子的初相為0，即與驅(qū)動(dòng)力同位相.當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的頻率逐漸增大時(shí)，其振幅逐漸增大，彈簧振子漸漸開始振動(dòng)起來，彈簧振子與驅(qū)動(dòng)力之間逐漸產(chǎn)生位相差異.在共振(振幅最大)時(shí)，二者之間形成π/2的位相差.當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的頻率繼續(xù)增大，彈簧振子的振動(dòng)與驅(qū)動(dòng)力之間的位相差也逐漸增大，直到二者完全反相，形成π的位相延遲.彈簧振子的振動(dòng)與驅(qū)動(dòng)力之間的位相差表明彈簧振子對(duì)外部驅(qū)動(dòng)力的作用有一個(gè)響應(yīng)過程，這是符合實(shí)際物理情景的.由圖2可知，對(duì)于一個(gè)完整的洛侖茲共振圖形，在整個(gè)洛侖茲共振分布中,彈簧振子的位相分布發(fā)生了π的位相變化.此外，彈簧振子與外部驅(qū)動(dòng)力之間的位相差決定著彈簧振子振動(dòng)過程中外部驅(qū)動(dòng)力做功的大小，當(dāng)二者之間位相差為0或π時(shí)，在一個(gè)完整的簡(jiǎn)諧振動(dòng)周期內(nèi)，外部驅(qū)動(dòng)力做功之和為0，由于彈簧振子初始態(tài)靜止，阻尼力不可能做正功，所以彈簧振子不可能振動(dòng)起來,它的振幅為0.而當(dāng)二者之間的位相差為π/2時(shí)，在整個(gè)振動(dòng)過程中，外部驅(qū)動(dòng)力全程做正功，所以其振動(dòng)的振幅最大.

圖2 k=0時(shí)，彈簧振子1的振幅以及初相隨著外部驅(qū)動(dòng)力頻率的變化曲線.

對(duì)于彈簧振子2，由于它與彈簧振子1之間沒有了相互作用，不會(huì)被驅(qū)動(dòng)，依然保持靜止不動(dòng)的狀態(tài)，所以，它的振幅和初相均始終保持為0，該結(jié)論可以由式(8)得出.當(dāng)k=0時(shí)，C2恒等于0，所以其振幅和初相均為0.

2.2 兩個(gè)彈簧振子耦合振動(dòng)情況分析

接下來，我們考慮兩個(gè)彈簧振子之間存在相互作用的情形. 這里取k=0.1 N/m，保持圖2中其他的參數(shù)不變.由前面推導(dǎo)的式(8)和式(9)可知，當(dāng)其振幅的分母接近于零時(shí)，振幅最大，彈簧振子發(fā)生共振.通過求解可知，C1、C2均存在兩個(gè)極值(共振峰)，且兩個(gè)彈簧振子出現(xiàn)極值的位置相同，分別出現(xiàn)在處.圖3給出了由式(8)和式(9)計(jì)算所得的兩個(gè)彈簧振子1,2的振幅和位相隨驅(qū)動(dòng)力頻率的變化曲線.通過比較可以發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)彈簧振子確實(shí)分別出現(xiàn)了兩個(gè)共振峰，且其共振發(fā)生的位置完全相同.對(duì)于振子1，仔細(xì)觀察這兩個(gè)共振，發(fā)現(xiàn)其對(duì)稱性明顯不同，第一個(gè)共振是對(duì)稱的洛侖茲線型，而第二個(gè)共振是非對(duì)稱的法諾線型.從它的位相分布可以看出，洛侖茲共振的位相分布與單個(gè)彈簧振子的完全相似，初相逐漸發(fā)生變化，對(duì)于整個(gè)洛侖茲共振圖形，初相分布變化了π，即發(fā)生了反相.對(duì)于非對(duì)稱的法諾共振，其初相在共振的過程中發(fā)生了兩次劇烈變化，由共振前與外部驅(qū)動(dòng)力之間的位相延遲π，急劇上升，直到接近于與外部驅(qū)動(dòng)力同相，然后再次減小，共振結(jié)束再次與驅(qū)動(dòng)力形成了π的位相差.

(10)

振子1的振幅隨外部驅(qū)動(dòng)力的頻率變化發(fā)生法諾共振從物理上分析是可能的.當(dāng)其僅在驅(qū)動(dòng)力的作用下，發(fā)生受迫振動(dòng)，該振動(dòng)可以看作法諾共振的一個(gè)相干態(tài).當(dāng)振子1與振子2之間存在相互作用的時(shí)候，振子1在受迫振動(dòng)的同時(shí)又受到振子2對(duì)它的擾動(dòng).這個(gè)擾動(dòng)在某些特定的情況下達(dá)到最大，又一次形成共振，該共振可以看作振子1所經(jīng)歷的另一個(gè)相干態(tài).這兩個(gè)相干態(tài)分別與外部驅(qū)動(dòng)力以及振子2對(duì)振子1的作用力息息相關(guān).當(dāng)這兩個(gè)力同向(相)時(shí)，相當(dāng)于相干加強(qiáng)，反向(相)時(shí)，相當(dāng)于相干減弱.法諾共振的發(fā)生由參與耦合的兩個(gè)共振態(tài)之間的相干相消形成谷值，而由其相干加強(qiáng)而形成峰值.由前面的分析可知一個(gè)完整的洛倫茲共振分布其位相變化為π，通常情況下由于暗模共振極窄，所以在暗模附近可以緊密地實(shí)現(xiàn)亮模與暗模之間的相干減弱和相干加強(qiáng)從而形成法諾共振，法諾共振發(fā)生的位置主要由暗模來決定.由圖3結(jié)合式(9)可知，振子1法諾共振的谷值(振幅為0)出現(xiàn)在振子2的固有頻率ω=ω2處(圖中虛線的位置)，我們把該頻率帶入到前面的公式可以算出振子2對(duì)振子1的作用力為

F21(ω2)=k(x2-x1)=-Aeiω2t

(11)

正好與振子1受到的外部驅(qū)動(dòng)力大小相等，方向相反，相當(dāng)于相消干涉，所以在ω=ω2處出現(xiàn)了法諾共振的谷值.而此時(shí)的頻率正好是振子2的固有頻率，所以它對(duì)振子1的擾動(dòng)達(dá)到了最大.此時(shí)振子1同時(shí)經(jīng)歷著受外部驅(qū)動(dòng)力的受迫振動(dòng)和振子2對(duì)它的擾動(dòng)兩個(gè)共振，這兩個(gè)共振中振子1的受迫振動(dòng)相當(dāng)于亮模，而振子2對(duì)它的擾動(dòng)相當(dāng)于暗模，二者相干疊加即形成法諾共振.振子1第一個(gè)共振沒有形成法諾共振的主要原因是振子2對(duì)它擾動(dòng)的共振沒有形成，振子1的主要運(yùn)動(dòng)形式還是由于受到外部驅(qū)動(dòng)力的作用而發(fā)生的受迫振動(dòng)，所以其振幅和位相的分布都與圖2非常相似.

而對(duì)于振子2，它的共振系統(tǒng)始終只受到F12一個(gè)外部作用力，振子2在該作用力的作用下做受迫振動(dòng)，不會(huì)發(fā)生法諾共振，所以它的兩個(gè)共振均為對(duì)稱的洛倫茲共振.但是這個(gè)共振峰并沒有出現(xiàn)在它的固有頻率的位置，這是因?yàn)樗艿降淖饔昧12并不是一個(gè)振幅不變的周期性外力，F(xiàn)12對(duì)它作用力振幅的大小也與外部驅(qū)動(dòng)力的頻率有關(guān)，也是隨ω共振的，F(xiàn)12振幅最大的地方│C2│也最大，即振子2共振峰的位置所在.

2.3 阻尼力對(duì)彈簧振子振動(dòng)的影響

在以上的分析中我們考慮了系統(tǒng)的阻尼力，實(shí)際上阻尼系數(shù)的大小只影響共振的質(zhì)量，阻尼系數(shù)越大，共振的寬度越寬，共振的品質(zhì)因數(shù)越低.阻尼系數(shù)的大小不影響共振發(fā)生的位置，也不影響共振的對(duì)稱性，當(dāng)阻尼系數(shù)接近于0時(shí)，其對(duì)稱特性依然會(huì)保持.如圖4所示，它與圖3的計(jì)算參數(shù)完全相同，只是把兩個(gè)阻尼系數(shù)γ1、γ2均減小為0.0001 Ns/m.由圖可以看出，與圖3相比，振子1和2共振的位置沒有發(fā)生任何變化，其共振的線型也沒有變化，振子1前一個(gè)共振是洛倫茲共振，后一個(gè)共振是法諾共振，而振子2兩個(gè)共振均為洛倫茲共振.所不同的是，由于阻尼系數(shù)的減小，共振的質(zhì)量好很多，尤其是二者的第一個(gè)共振，峰值高度可以高達(dá)幾千，這里為了突出共振的對(duì)稱性特點(diǎn)，圖中沒有完全顯示.至于二者的初相分布，與圖3相比，也幾乎完全一致，稍有不同的是圖4中，由于阻尼力非常小，其對(duì)共振的位相影響幾乎可以忽略不計(jì)，所以其初相分布更為規(guī)整.

圖3 兩個(gè)彈簧振子之間存在相互作用時(shí)(k=0.1 N/m)，各自的振幅與初相隨外部驅(qū)動(dòng)力頻率的分布曲線.

圖4 阻尼力趨近于0時(shí)，兩個(gè)彈簧振子各自的振幅與初相隨外部驅(qū)動(dòng)力頻率的分布曲線.

3 結(jié)論

由以上的分析可知，外力驅(qū)動(dòng)下的兩個(gè)彈簧振子的耦合可以發(fā)生法諾共振，但不是所有的共振均為法諾共振，而是需要特定的條件.其具體條件及法諾共振產(chǎn)生機(jī)理為：一個(gè)彈簧振子同時(shí)經(jīng)歷著兩個(gè)洛侖茲共振，且兩個(gè)共振的共振寬度存在著較為明顯的差異，相當(dāng)于法諾共振的亮模和暗模.由于每一個(gè)洛侖茲共振的位相分布均發(fā)生π的位相變化，當(dāng)二者耦合時(shí)，亮模的帶寬較寬，位相變化慢，暗模的帶寬較窄，在較窄的范圍內(nèi)位相變化了π，所以在暗模共振的附近兩個(gè)模式將同時(shí)發(fā)生相干加強(qiáng)和相干減弱，從而形成非對(duì)稱的法諾共振.