外力驅(qū)動下耦合彈簧振子的法諾共振

鄭子睿，盧思偉，廖晨昊，楊 坤，葛昱驊，高 華，黃昊翀

(1. 中國地質(zhì)大學(北京) 信息工程學院，北京 100083；2.中國地質(zhì)大學(北京) 數(shù)理學院，北京 100083)

法諾共振的概念起源于量子物理領(lǐng)域，最早是由意大利物理學家Fano在1961年提出，他早期在研究惰性氣體的吸收時，首次發(fā)現(xiàn)了非對稱的吸收譜，經(jīng)過數(shù)年的努力終于在1961年利用物理系統(tǒng)中分離態(tài)能級與連續(xù)態(tài)能帶之間的量子干涉成功進行了解釋，并提出了法諾共振的概念[1].法諾共振在許多物理系統(tǒng)中都普遍存在，其物理本質(zhì)是兩個共振模式之間的相干耦合[2]，一般而言，一個共振模式譜線較寬，稱為亮模，一個共振模式譜線較窄，稱為暗模.當兩個共振模式之間的位相差接近于π時，二者發(fā)生相消干涉產(chǎn)生一個明顯的干涉谷以及與谷相連的一個干涉峰，從而形成一個不對稱的共振線型，即法諾共振.法諾共振現(xiàn)象在各種研究領(lǐng)域中不斷被發(fā)現(xiàn)，比如早期的有光柵的導模共振[3]，微納光學中波導與微腔的耦合[4]，光子晶體微腔共振[5]，多納米顆粒組合[56]，金屬顆粒二聚體[7]，電磁誘導透明[8]等.近幾年，法諾共振逐漸被科研工作者所熟悉，各種各樣的法諾共振結(jié)構(gòu)被成功設(shè)計出來并應(yīng)用到傳感[9]、濾波[10]、光電調(diào)制[11]等各個方面，直到現(xiàn)在法諾共振仍是人們研究的熱點.

但是，法諾共振如此重要的物理現(xiàn)象在大學物理課程以及教學體系中尚未有體現(xiàn)，即使是作為物理專業(yè)的學生，授課教材也幾乎沒有涉及到法諾共振.很多同學對法諾共振這一現(xiàn)象并不熟悉，比如它的微觀圖像是什么，激發(fā)法諾共振的要素是什么，共振時它的振幅和位相分布各有什么特點？其實，這些都是值得關(guān)注的問題.如上所述，法諾共振不僅存在于量子力學系統(tǒng)，也同樣存在于經(jīng)典力學系統(tǒng)中，比如彈簧振子的共振.本文就以經(jīng)典力學中最簡單的兩個彈簧振子的耦合為例，成功設(shè)計并類比了量子力學中的法諾共振現(xiàn)象.通過分析彈簧振子的動力學方程，解析求解每個彈簧振子的振動公式，明確在什么時候發(fā)生法諾共振，什么時候發(fā)生洛侖茲共振，使讀者能夠?qū)ΨㄖZ共振及其激發(fā)條件有個更深刻的了解.

1 雙耦合彈簧振子的動力學分析

F1=Aeiωt

(1)

圖1 耦合彈簧振子系統(tǒng)

當考慮兩個振子之間的相互作用時，每一個彈簧振子的動力學方程均可寫出.對于振子1，在振動過程中受到的力有外部驅(qū)動力F1，左邊彈簧和右邊彈簧分別給它的彈力，為了不失一般性，我們還考慮其在振動過程中受到的阻尼力，設(shè)其阻尼系數(shù)為γ1.振子1的動力學方程為

(2)

同理，振子2的動力學方程為

(3)

其中γ2是彈簧振子2所受阻尼力的阻尼系數(shù).對于受迫振動，穩(wěn)態(tài)時，彈簧振子的振動頻率與外部驅(qū)動力的頻率相同，因此可以設(shè)其穩(wěn)態(tài)時的位移函數(shù)分別為：

x1=C1eiωt

(4)

x2=C2eiωt

(5)

其中C1和C2可以是復數(shù)，即兩彈簧振子的振動可以不同相.把式(4)和式(5)代入到式(2)和式(3)中可得

A-iωγ1C1-k1C1+kC2-kC1=-m1C1ω2

(6)

-iωγ2C2-k2C2-kC2+kC1=-m2C2ω2

(7)

聯(lián)立式(6)、(7)，可以得到C1，C2的二元一次方程組，求解可得

(8)

把式(8)代入式(6)可得

(9)

再把式(8)和式(9)分別代入到式(5)和式(4)中，則穩(wěn)態(tài)時兩個彈簧振子的位移隨外部驅(qū)動力頻率的分布函數(shù)就通過解析的方法求解了出來，整個過程沒有做任何的近似，其結(jié)果是準確的.接下來利用式(8)和式(9)繪制函數(shù)曲線來分析不同情況下彈簧振子的振動情況.

2 彈簧振子的振動情況分析

2.1 單個彈簧振子1做受迫振動情況分析

由式(3)可知，圖2中的位相φC1為彈簧振子1在穩(wěn)態(tài)時其簡諧振動的初相，由于外部驅(qū)動力F1的初相為0，因此φc1也可以理解為彈簧振子1的振動與外部驅(qū)動力之間的位相差.當外部驅(qū)動力的頻率遠小于彈簧振子的固有頻率時，彈簧振子的初相為0，即與驅(qū)動力同位相.當驅(qū)動力的頻率逐漸增大時，其振幅逐漸增大，彈簧振子漸漸開始振動起來，彈簧振子與驅(qū)動力之間逐漸產(chǎn)生位相差異.在共振(振幅最大)時，二者之間形成π/2的位相差.當驅(qū)動力的頻率繼續(xù)增大，彈簧振子的振動與驅(qū)動力之間的位相差也逐漸增大，直到二者完全反相，形成π的位相延遲.彈簧振子的振動與驅(qū)動力之間的位相差表明彈簧振子對外部驅(qū)動力的作用有一個響應(yīng)過程，這是符合實際物理情景的.由圖2可知，對于一個完整的洛侖茲共振圖形，在整個洛侖茲共振分布中,彈簧振子的位相分布發(fā)生了π的位相變化.此外，彈簧振子與外部驅(qū)動力之間的位相差決定著彈簧振子振動過程中外部驅(qū)動力做功的大小，當二者之間位相差為0或π時，在一個完整的簡諧振動周期內(nèi)，外部驅(qū)動力做功之和為0，由于彈簧振子初始態(tài)靜止，阻尼力不可能做正功，所以彈簧振子不可能振動起來,它的振幅為0.而當二者之間的位相差為π/2時，在整個振動過程中，外部驅(qū)動力全程做正功，所以其振動的振幅最大.

圖2 k=0時，彈簧振子1的振幅以及初相隨著外部驅(qū)動力頻率的變化曲線.

對于彈簧振子2，由于它與彈簧振子1之間沒有了相互作用，不會被驅(qū)動，依然保持靜止不動的狀態(tài)，所以，它的振幅和初相均始終保持為0，該結(jié)論可以由式(8)得出.當k=0時，C2恒等于0，所以其振幅和初相均為0.

2.2 兩個彈簧振子耦合振動情況分析

接下來，我們考慮兩個彈簧振子之間存在相互作用的情形. 這里取k=0.1 N/m，保持圖2中其他的參數(shù)不變.由前面推導的式(8)和式(9)可知，當其振幅的分母接近于零時，振幅最大，彈簧振子發(fā)生共振.通過求解可知，C1、C2均存在兩個極值(共振峰)，且兩個彈簧振子出現(xiàn)極值的位置相同，分別出現(xiàn)在處.圖3給出了由式(8)和式(9)計算所得的兩個彈簧振子1,2的振幅和位相隨驅(qū)動力頻率的變化曲線.通過比較可以發(fā)現(xiàn)，兩個彈簧振子確實分別出現(xiàn)了兩個共振峰，且其共振發(fā)生的位置完全相同.對于振子1，仔細觀察這兩個共振，發(fā)現(xiàn)其對稱性明顯不同，第一個共振是對稱的洛侖茲線型，而第二個共振是非對稱的法諾線型.從它的位相分布可以看出，洛侖茲共振的位相分布與單個彈簧振子的完全相似，初相逐漸發(fā)生變化，對于整個洛侖茲共振圖形，初相分布變化了π，即發(fā)生了反相.對于非對稱的法諾共振，其初相在共振的過程中發(fā)生了兩次劇烈變化，由共振前與外部驅(qū)動力之間的位相延遲π，急劇上升，直到接近于與外部驅(qū)動力同相，然后再次減小，共振結(jié)束再次與驅(qū)動力形成了π的位相差.

(10)

振子1的振幅隨外部驅(qū)動力的頻率變化發(fā)生法諾共振從物理上分析是可能的.當其僅在驅(qū)動力的作用下，發(fā)生受迫振動，該振動可以看作法諾共振的一個相干態(tài).當振子1與振子2之間存在相互作用的時候，振子1在受迫振動的同時又受到振子2對它的擾動.這個擾動在某些特定的情況下達到最大，又一次形成共振，該共振可以看作振子1所經(jīng)歷的另一個相干態(tài).這兩個相干態(tài)分別與外部驅(qū)動力以及振子2對振子1的作用力息息相關(guān).當這兩個力同向(相)時，相當于相干加強，反向(相)時，相當于相干減弱.法諾共振的發(fā)生由參與耦合的兩個共振態(tài)之間的相干相消形成谷值，而由其相干加強而形成峰值.由前面的分析可知一個完整的洛倫茲共振分布其位相變化為π，通常情況下由于暗模共振極窄，所以在暗模附近可以緊密地實現(xiàn)亮模與暗模之間的相干減弱和相干加強從而形成法諾共振，法諾共振發(fā)生的位置主要由暗模來決定.由圖3結(jié)合式(9)可知，振子1法諾共振的谷值(振幅為0)出現(xiàn)在振子2的固有頻率ω=ω2處(圖中虛線的位置)，我們把該頻率帶入到前面的公式可以算出振子2對振子1的作用力為

F21(ω2)=k(x2-x1)=-Aeiω2t

(11)

正好與振子1受到的外部驅(qū)動力大小相等，方向相反，相當于相消干涉，所以在ω=ω2處出現(xiàn)了法諾共振的谷值.而此時的頻率正好是振子2的固有頻率，所以它對振子1的擾動達到了最大.此時振子1同時經(jīng)歷著受外部驅(qū)動力的受迫振動和振子2對它的擾動兩個共振，這兩個共振中振子1的受迫振動相當于亮模，而振子2對它的擾動相當于暗模，二者相干疊加即形成法諾共振.振子1第一個共振沒有形成法諾共振的主要原因是振子2對它擾動的共振沒有形成，振子1的主要運動形式還是由于受到外部驅(qū)動力的作用而發(fā)生的受迫振動，所以其振幅和位相的分布都與圖2非常相似.

而對于振子2，它的共振系統(tǒng)始終只受到F12一個外部作用力，振子2在該作用力的作用下做受迫振動，不會發(fā)生法諾共振，所以它的兩個共振均為對稱的洛倫茲共振.但是這個共振峰并沒有出現(xiàn)在它的固有頻率的位置，這是因為它受到的作用力F12并不是一個振幅不變的周期性外力，F(xiàn)12對它作用力振幅的大小也與外部驅(qū)動力的頻率有關(guān)，也是隨ω共振的，F(xiàn)12振幅最大的地方│C2│也最大，即振子2共振峰的位置所在.

2.3 阻尼力對彈簧振子振動的影響

在以上的分析中我們考慮了系統(tǒng)的阻尼力，實際上阻尼系數(shù)的大小只影響共振的質(zhì)量，阻尼系數(shù)越大，共振的寬度越寬，共振的品質(zhì)因數(shù)越低.阻尼系數(shù)的大小不影響共振發(fā)生的位置，也不影響共振的對稱性，當阻尼系數(shù)接近于0時，其對稱特性依然會保持.如圖4所示，它與圖3的計算參數(shù)完全相同，只是把兩個阻尼系數(shù)γ1、γ2均減小為0.0001 Ns/m.由圖可以看出，與圖3相比，振子1和2共振的位置沒有發(fā)生任何變化，其共振的線型也沒有變化，振子1前一個共振是洛倫茲共振，后一個共振是法諾共振，而振子2兩個共振均為洛倫茲共振.所不同的是，由于阻尼系數(shù)的減小，共振的質(zhì)量好很多，尤其是二者的第一個共振，峰值高度可以高達幾千，這里為了突出共振的對稱性特點，圖中沒有完全顯示.至于二者的初相分布，與圖3相比，也幾乎完全一致，稍有不同的是圖4中，由于阻尼力非常小，其對共振的位相影響幾乎可以忽略不計，所以其初相分布更為規(guī)整.

圖3 兩個彈簧振子之間存在相互作用時(k=0.1 N/m)，各自的振幅與初相隨外部驅(qū)動力頻率的分布曲線.

圖4 阻尼力趨近于0時，兩個彈簧振子各自的振幅與初相隨外部驅(qū)動力頻率的分布曲線.

3 結(jié)論

由以上的分析可知，外力驅(qū)動下的兩個彈簧振子的耦合可以發(fā)生法諾共振，但不是所有的共振均為法諾共振，而是需要特定的條件.其具體條件及法諾共振產(chǎn)生機理為：一個彈簧振子同時經(jīng)歷著兩個洛侖茲共振，且兩個共振的共振寬度存在著較為明顯的差異，相當于法諾共振的亮模和暗模.由于每一個洛侖茲共振的位相分布均發(fā)生π的位相變化，當二者耦合時，亮模的帶寬較寬，位相變化慢，暗模的帶寬較窄，在較窄的范圍內(nèi)位相變化了π，所以在暗模共振的附近兩個模式將同時發(fā)生相干加強和相干減弱，從而形成非對稱的法諾共振.