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    外力驅(qū)動下耦合彈簧振子的法諾共振

    2021-12-29 02:00:54鄭子睿盧思偉廖晨昊葛昱驊黃昊翀
    大學物理 2021年1期
    關鍵詞:振動

    鄭子睿,盧思偉,廖晨昊,楊 坤,葛昱驊,高 華,黃昊翀

    (1. 中國地質(zhì)大學(北京) 信息工程學院,北京 100083;2.中國地質(zhì)大學(北京) 數(shù)理學院,北京 100083)

    法諾共振的概念起源于量子物理領域,最早是由意大利物理學家Fano在1961年提出,他早期在研究惰性氣體的吸收時,首次發(fā)現(xiàn)了非對稱的吸收譜,經(jīng)過數(shù)年的努力終于在1961年利用物理系統(tǒng)中分離態(tài)能級與連續(xù)態(tài)能帶之間的量子干涉成功進行了解釋,并提出了法諾共振的概念[1].法諾共振在許多物理系統(tǒng)中都普遍存在,其物理本質(zhì)是兩個共振模式之間的相干耦合[2],一般而言,一個共振模式譜線較寬,稱為亮模,一個共振模式譜線較窄,稱為暗模.當兩個共振模式之間的位相差接近于π時,二者發(fā)生相消干涉產(chǎn)生一個明顯的干涉谷以及與谷相連的一個干涉峰,從而形成一個不對稱的共振線型,即法諾共振.法諾共振現(xiàn)象在各種研究領域中不斷被發(fā)現(xiàn),比如早期的有光柵的導模共振[3],微納光學中波導與微腔的耦合[4],光子晶體微腔共振[5],多納米顆粒組合[56],金屬顆粒二聚體[7],電磁誘導透明[8]等.近幾年,法諾共振逐漸被科研工作者所熟悉,各種各樣的法諾共振結(jié)構(gòu)被成功設計出來并應用到傳感[9]、濾波[10]、光電調(diào)制[11]等各個方面,直到現(xiàn)在法諾共振仍是人們研究的熱點.

    但是,法諾共振如此重要的物理現(xiàn)象在大學物理課程以及教學體系中尚未有體現(xiàn),即使是作為物理專業(yè)的學生,授課教材也幾乎沒有涉及到法諾共振.很多同學對法諾共振這一現(xiàn)象并不熟悉,比如它的微觀圖像是什么,激發(fā)法諾共振的要素是什么,共振時它的振幅和位相分布各有什么特點?其實,這些都是值得關注的問題.如上所述,法諾共振不僅存在于量子力學系統(tǒng),也同樣存在于經(jīng)典力學系統(tǒng)中,比如彈簧振子的共振.本文就以經(jīng)典力學中最簡單的兩個彈簧振子的耦合為例,成功設計并類比了量子力學中的法諾共振現(xiàn)象.通過分析彈簧振子的動力學方程,解析求解每個彈簧振子的振動公式,明確在什么時候發(fā)生法諾共振,什么時候發(fā)生洛侖茲共振,使讀者能夠?qū)ΨㄖZ共振及其激發(fā)條件有個更深刻的了解.

    1 雙耦合彈簧振子的動力學分析

    F1=Aeiωt

    (1)

    圖1 耦合彈簧振子系統(tǒng)

    當考慮兩個振子之間的相互作用時,每一個彈簧振子的動力學方程均可寫出.對于振子1,在振動過程中受到的力有外部驅(qū)動力F1,左邊彈簧和右邊彈簧分別給它的彈力,為了不失一般性,我們還考慮其在振動過程中受到的阻尼力,設其阻尼系數(shù)為γ1.振子1的動力學方程為

    (2)

    同理,振子2的動力學方程為

    (3)

    其中γ2是彈簧振子2所受阻尼力的阻尼系數(shù).對于受迫振動,穩(wěn)態(tài)時,彈簧振子的振動頻率與外部驅(qū)動力的頻率相同,因此可以設其穩(wěn)態(tài)時的位移函數(shù)分別為:

    x1=C1eiωt

    (4)

    x2=C2eiωt

    (5)

    其中C1和C2可以是復數(shù),即兩彈簧振子的振動可以不同相.把式(4)和式(5)代入到式(2)和式(3)中可得

    A-iωγ1C1-k1C1+kC2-kC1=-m1C1ω2

    (6)

    -iωγ2C2-k2C2-kC2+kC1=-m2C2ω2

    (7)

    聯(lián)立式(6)、(7),可以得到C1,C2的二元一次方程組,求解可得

    (8)

    把式(8)代入式(6)可得

    (9)

    再把式(8)和式(9)分別代入到式(5)和式(4)中,則穩(wěn)態(tài)時兩個彈簧振子的位移隨外部驅(qū)動力頻率的分布函數(shù)就通過解析的方法求解了出來,整個過程沒有做任何的近似,其結(jié)果是準確的.接下來利用式(8)和式(9)繪制函數(shù)曲線來分析不同情況下彈簧振子的振動情況.

    2 彈簧振子的振動情況分析

    2.1 單個彈簧振子1做受迫振動情況分析

    由式(3)可知,圖2中的位相φC1為彈簧振子1在穩(wěn)態(tài)時其簡諧振動的初相,由于外部驅(qū)動力F1的初相為0,因此φc1也可以理解為彈簧振子1的振動與外部驅(qū)動力之間的位相差.當外部驅(qū)動力的頻率遠小于彈簧振子的固有頻率時,彈簧振子的初相為0,即與驅(qū)動力同位相.當驅(qū)動力的頻率逐漸增大時,其振幅逐漸增大,彈簧振子漸漸開始振動起來,彈簧振子與驅(qū)動力之間逐漸產(chǎn)生位相差異.在共振(振幅最大)時,二者之間形成π/2的位相差.當驅(qū)動力的頻率繼續(xù)增大,彈簧振子的振動與驅(qū)動力之間的位相差也逐漸增大,直到二者完全反相,形成π的位相延遲.彈簧振子的振動與驅(qū)動力之間的位相差表明彈簧振子對外部驅(qū)動力的作用有一個響應過程,這是符合實際物理情景的.由圖2可知,對于一個完整的洛侖茲共振圖形,在整個洛侖茲共振分布中,彈簧振子的位相分布發(fā)生了π的位相變化.此外,彈簧振子與外部驅(qū)動力之間的位相差決定著彈簧振子振動過程中外部驅(qū)動力做功的大小,當二者之間位相差為0或π時,在一個完整的簡諧振動周期內(nèi),外部驅(qū)動力做功之和為0,由于彈簧振子初始態(tài)靜止,阻尼力不可能做正功,所以彈簧振子不可能振動起來,它的振幅為0.而當二者之間的位相差為π/2時,在整個振動過程中,外部驅(qū)動力全程做正功,所以其振動的振幅最大.

    圖2 k=0時,彈簧振子1的振幅以及初相隨著外部驅(qū)動力頻率的變化曲線.

    對于彈簧振子2,由于它與彈簧振子1之間沒有了相互作用,不會被驅(qū)動,依然保持靜止不動的狀態(tài),所以,它的振幅和初相均始終保持為0,該結(jié)論可以由式(8)得出.當k=0時,C2恒等于0,所以其振幅和初相均為0.

    2.2 兩個彈簧振子耦合振動情況分析

    接下來,我們考慮兩個彈簧振子之間存在相互作用的情形. 這里取k=0.1 N/m,保持圖2中其他的參數(shù)不變.由前面推導的式(8)和式(9)可知,當其振幅的分母接近于零時,振幅最大,彈簧振子發(fā)生共振.通過求解可知,C1、C2均存在兩個極值(共振峰),且兩個彈簧振子出現(xiàn)極值的位置相同,分別出現(xiàn)在處.圖3給出了由式(8)和式(9)計算所得的兩個彈簧振子1,2的振幅和位相隨驅(qū)動力頻率的變化曲線.通過比較可以發(fā)現(xiàn),兩個彈簧振子確實分別出現(xiàn)了兩個共振峰,且其共振發(fā)生的位置完全相同.對于振子1,仔細觀察這兩個共振,發(fā)現(xiàn)其對稱性明顯不同,第一個共振是對稱的洛侖茲線型,而第二個共振是非對稱的法諾線型.從它的位相分布可以看出,洛侖茲共振的位相分布與單個彈簧振子的完全相似,初相逐漸發(fā)生變化,對于整個洛侖茲共振圖形,初相分布變化了π,即發(fā)生了反相.對于非對稱的法諾共振,其初相在共振的過程中發(fā)生了兩次劇烈變化,由共振前與外部驅(qū)動力之間的位相延遲π,急劇上升,直到接近于與外部驅(qū)動力同相,然后再次減小,共振結(jié)束再次與驅(qū)動力形成了π的位相差.

    (10)

    振子1的振幅隨外部驅(qū)動力的頻率變化發(fā)生法諾共振從物理上分析是可能的.當其僅在驅(qū)動力的作用下,發(fā)生受迫振動,該振動可以看作法諾共振的一個相干態(tài).當振子1與振子2之間存在相互作用的時候,振子1在受迫振動的同時又受到振子2對它的擾動.這個擾動在某些特定的情況下達到最大,又一次形成共振,該共振可以看作振子1所經(jīng)歷的另一個相干態(tài).這兩個相干態(tài)分別與外部驅(qū)動力以及振子2對振子1的作用力息息相關.當這兩個力同向(相)時,相當于相干加強,反向(相)時,相當于相干減弱.法諾共振的發(fā)生由參與耦合的兩個共振態(tài)之間的相干相消形成谷值,而由其相干加強而形成峰值.由前面的分析可知一個完整的洛倫茲共振分布其位相變化為π,通常情況下由于暗模共振極窄,所以在暗模附近可以緊密地實現(xiàn)亮模與暗模之間的相干減弱和相干加強從而形成法諾共振,法諾共振發(fā)生的位置主要由暗模來決定.由圖3結(jié)合式(9)可知,振子1法諾共振的谷值(振幅為0)出現(xiàn)在振子2的固有頻率ω=ω2處(圖中虛線的位置),我們把該頻率帶入到前面的公式可以算出振子2對振子1的作用力為

    F21(ω2)=k(x2-x1)=-Aeiω2t

    (11)

    正好與振子1受到的外部驅(qū)動力大小相等,方向相反,相當于相消干涉,所以在ω=ω2處出現(xiàn)了法諾共振的谷值.而此時的頻率正好是振子2的固有頻率,所以它對振子1的擾動達到了最大.此時振子1同時經(jīng)歷著受外部驅(qū)動力的受迫振動和振子2對它的擾動兩個共振,這兩個共振中振子1的受迫振動相當于亮模,而振子2對它的擾動相當于暗模,二者相干疊加即形成法諾共振.振子1第一個共振沒有形成法諾共振的主要原因是振子2對它擾動的共振沒有形成,振子1的主要運動形式還是由于受到外部驅(qū)動力的作用而發(fā)生的受迫振動,所以其振幅和位相的分布都與圖2非常相似.

    而對于振子2,它的共振系統(tǒng)始終只受到F12一個外部作用力,振子2在該作用力的作用下做受迫振動,不會發(fā)生法諾共振,所以它的兩個共振均為對稱的洛倫茲共振.但是這個共振峰并沒有出現(xiàn)在它的固有頻率的位置,這是因為它受到的作用力F12并不是一個振幅不變的周期性外力,F(xiàn)12對它作用力振幅的大小也與外部驅(qū)動力的頻率有關,也是隨ω共振的,F(xiàn)12振幅最大的地方│C2│也最大,即振子2共振峰的位置所在.

    2.3 阻尼力對彈簧振子振動的影響

    在以上的分析中我們考慮了系統(tǒng)的阻尼力,實際上阻尼系數(shù)的大小只影響共振的質(zhì)量,阻尼系數(shù)越大,共振的寬度越寬,共振的品質(zhì)因數(shù)越低.阻尼系數(shù)的大小不影響共振發(fā)生的位置,也不影響共振的對稱性,當阻尼系數(shù)接近于0時,其對稱特性依然會保持.如圖4所示,它與圖3的計算參數(shù)完全相同,只是把兩個阻尼系數(shù)γ1、γ2均減小為0.0001 Ns/m.由圖可以看出,與圖3相比,振子1和2共振的位置沒有發(fā)生任何變化,其共振的線型也沒有變化,振子1前一個共振是洛倫茲共振,后一個共振是法諾共振,而振子2兩個共振均為洛倫茲共振.所不同的是,由于阻尼系數(shù)的減小,共振的質(zhì)量好很多,尤其是二者的第一個共振,峰值高度可以高達幾千,這里為了突出共振的對稱性特點,圖中沒有完全顯示.至于二者的初相分布,與圖3相比,也幾乎完全一致,稍有不同的是圖4中,由于阻尼力非常小,其對共振的位相影響幾乎可以忽略不計,所以其初相分布更為規(guī)整.

    圖3 兩個彈簧振子之間存在相互作用時(k=0.1 N/m),各自的振幅與初相隨外部驅(qū)動力頻率的分布曲線.

    圖4 阻尼力趨近于0時,兩個彈簧振子各自的振幅與初相隨外部驅(qū)動力頻率的分布曲線.

    3 結(jié)論

    由以上的分析可知,外力驅(qū)動下的兩個彈簧振子的耦合可以發(fā)生法諾共振,但不是所有的共振均為法諾共振,而是需要特定的條件.其具體條件及法諾共振產(chǎn)生機理為:一個彈簧振子同時經(jīng)歷著兩個洛侖茲共振,且兩個共振的共振寬度存在著較為明顯的差異,相當于法諾共振的亮模和暗模.由于每一個洛侖茲共振的位相分布均發(fā)生π的位相變化,當二者耦合時,亮模的帶寬較寬,位相變化慢,暗模的帶寬較窄,在較窄的范圍內(nèi)位相變化了π,所以在暗模共振的附近兩個模式將同時發(fā)生相干加強和相干減弱,從而形成非對稱的法諾共振.

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