從解題到研究
——“計(jì)算物理”案例式在線教學(xué)舉例

陸愛江

(東華大學(xué)理學(xué)院 應(yīng)用物理系，上海 201620)

“計(jì)算物理”課程長期以來缺乏統(tǒng)一的授課標(biāo)準(zhǔn)，而且針對不同學(xué)校的生源和學(xué)校的特色、學(xué)科發(fā)展規(guī)劃，需要講授的內(nèi)容也不盡相同，這一點(diǎn)從查閱到的教材情況可見一斑[1-7]. 但是筆者認(rèn)為，這門課程開設(shè)的主要目的之一，也是普遍達(dá)成共識的教學(xué)目標(biāo)之一，就是把學(xué)生從之前理論課程的學(xué)習(xí)過程中較為單一的解題、計(jì)算訓(xùn)練逐漸引導(dǎo)到對物理問題的研究討論中來，通過系統(tǒng)的訓(xùn)練初步掌握計(jì)算物理的一些典型方法. 而這門課的成功開設(shè)，對學(xué)生的邏輯思維能力、數(shù)值分析能力都頗有裨益，在大學(xué)生學(xué)術(shù)競賽(CUPT)等賽事中也非常實(shí)用.

隨著在線教育的不斷推廣，“計(jì)算物理”課程因其特殊性，完全適應(yīng)在線教育，老師只要在線提出問題，讓同學(xué)們針對問題展開討論和調(diào)研研究，就可以很好地開展教學(xué)活動. 同時(shí)，經(jīng)過三輪的授課摸索，筆者發(fā)現(xiàn)該課程非常適合進(jìn)行案例式授課. 在數(shù)值計(jì)算方法和算法的內(nèi)容講授完成之后，需要鍛煉同學(xué)們思考、解決一些較為實(shí)際的問題. 這些問題不要過于高深、抽象，而是要貼近生活，讓大家覺得有趣，同時(shí)又值得挖掘. 所以本學(xué)期筆者就嘗試了案例式在線教學(xué)，在這里舉一個(gè)運(yùn)動學(xué)的例子加以說明.

首先通過在線展示一些圖片或者播放視頻片段介紹公路自行車運(yùn)動，然后提出開放性問題：研究自行車運(yùn)動員的速度和時(shí)間的關(guān)系，接下來的工作分為四個(gè)階段進(jìn)行.

1 學(xué)習(xí)調(diào)研查證，找到動力學(xué)條件

同學(xué)們可能會覺得不可思議，這里沒有任何數(shù)據(jù)或其他量化條件，好像無從下手. 那么可以給出一些條件，比如出發(fā)時(shí)運(yùn)動員速率為4 m/s，運(yùn)動員體重70 kg[7]. 那么是不是有了這些條件就可以了呢？常識告訴我們，運(yùn)動員會在一定時(shí)間段內(nèi)加速，達(dá)到一個(gè)較高的速度來完成比賽，那么加速度是多大呢？

讓學(xué)生在線做出討論——是什么決定自行車運(yùn)動員的速度變化呢？以下是課堂的部分記錄：學(xué)生A說是運(yùn)動員蹬踏，驅(qū)動自行車前進(jìn)，所以這里應(yīng)該考慮運(yùn)動員作用在自行車上的力，而這個(gè)力就是產(chǎn)生加速度的原因；學(xué)生B說自行車前進(jìn)是因?yàn)榈孛娴哪Σ亮Γ@和我們走路是一個(gè)原理；學(xué)生C說是因?yàn)檫\(yùn)動員蹬踏，讓輪軸轉(zhuǎn)動，輪胎有向后運(yùn)動的趨勢，摩擦力向前提供動力……大家運(yùn)用了學(xué)習(xí)“力學(xué)”時(shí)的知識，最終達(dá)成了一致：是運(yùn)動員的行為導(dǎo)致了地面的摩擦力，而對于運(yùn)動員和自行車這個(gè)整體而言，摩擦力就是合外力，是產(chǎn)生加速度的原因. 這一過程讓同學(xué)們回顧了之前學(xué)習(xí)的力學(xué)知識，并積極做出思辨和表達(dá).

接下來，發(fā)動學(xué)生在線調(diào)研. 在運(yùn)動過程中應(yīng)該如何對運(yùn)動員運(yùn)動素質(zhì)/能力進(jìn)行評價(jià)？通過網(wǎng)絡(luò)搜索或查閱體育類文獻(xiàn)學(xué)生們發(fā)現(xiàn)，運(yùn)動員的輸出功率是運(yùn)動員運(yùn)動能力的重要指標(biāo)，好的運(yùn)動員能夠具有穩(wěn)定、高效的輸出功率. 從資料中找到，一個(gè)國際比賽運(yùn)動員的輸出功率可以達(dá)到400 W[7]. 而這一條件將成為量化分析的一個(gè)依據(jù).

2 運(yùn)用基礎(chǔ)知識列方程，數(shù)值計(jì)算得結(jié)果

(1)

(2)

時(shí)間步長取為1 s，即可得到數(shù)值解v(t).

請同學(xué)們把數(shù)值解和解析解作圖比較. 學(xué)生在線分享的結(jié)果如圖1所示，圓點(diǎn)為解析解，三角點(diǎn)為數(shù)值解，二者吻合很好. 此時(shí)老師指出：這一結(jié)果說明差分-歐拉方法數(shù)值求解完全適用于此類問題.

圖1 根據(jù)式(1)解析求解(圓點(diǎn)標(biāo)記)和根據(jù)式(2)數(shù)值求解(三角點(diǎn)標(biāo)記)的速率-時(shí)間曲線

3 啟發(fā)思考，在線討論模型的合理性

此時(shí)老師提問：這個(gè)結(jié)果合理么？給出在線討論時(shí)間. 很多學(xué)生發(fā)現(xiàn)，隨著時(shí)間的推移，這里的速率單調(diào)增，到50 s時(shí)速率接近25 m/s. 而大家調(diào)研到環(huán)法公路賽運(yùn)動員的最快時(shí)速為40～50 km/h，即11～14 m/s. 圖1中的速率顯然大大超過了實(shí)際的數(shù)據(jù)，而且還在隨時(shí)間遞增，顯然是不合理的.

老師接著提問：那么造成這個(gè)不合理的原因何在呢？一定是建立的模型考慮不夠全面，比如在受力分析中是否存在遺漏？同學(xué)們的回答多種多樣. 同學(xué)A說：應(yīng)該有一個(gè)阻力，只有起到阻礙的作用才會抑制圖1中速率曲線的持續(xù)上揚(yáng). 同學(xué)B說：沒有考慮摩擦力吧！同學(xué)C說：在空氣中運(yùn)動的物體必然受到空氣阻力的影響，所以會不會是因?yàn)闆]有考慮空氣阻力的原因呢？

老師第三次提出問題：應(yīng)該考慮摩擦力還是空氣阻力呢？同學(xué)們紛紛上網(wǎng)搜索，發(fā)現(xiàn)車輪滾動摩擦力很小，而空氣阻力是公認(rèn)的重要因素，甚至在阻力影響中占到85%(網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)).

因?yàn)樵诰€授課大都依托平臺，在線討論方便及時(shí)，這樣既增加了網(wǎng)課的互動性，又有效利用了網(wǎng)絡(luò)搜索的優(yōu)勢，學(xué)生參與度很高.

4 修正模型進(jìn)行計(jì)算

(3)

數(shù)值求解留給學(xué)生完成，并在線分享. 之后教師給出解題參考：求解方程(3). 借助數(shù)值計(jì)算的方法. 用差分方法得到遞推關(guān)系

(4)

計(jì)算中有效橫截面積取為0.33 m2，空氣密度取為1，P由之前條件已知為400 W，系數(shù)C暫時(shí)取為1. 時(shí)間步長仍取為1 s，數(shù)值求解得到圖2中實(shí)線. 作為比較，把未考慮空氣阻力的結(jié)果也呈現(xiàn)在圖2中(虛線). 可以很清晰地看到，考慮了空氣阻力后，運(yùn)動員的速率不再快速上升了，而是收斂于13.4 m/s的速率并保持穩(wěn)定. 對這一結(jié)果大部分同學(xué)們都表示認(rèn)可，因?yàn)檫@和實(shí)際比賽的情況接近，最終的速率和報(bào)道中的選手車速吻合度非常好.

圖2 未考慮空氣阻力(虛線)和考慮空氣阻力(實(shí)線)時(shí)速率-時(shí)間曲線

5 基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，調(diào)整計(jì)算參數(shù)

謹(jǐn)慎起見，目前這個(gè)結(jié)果比較適用于短程賽，也就是運(yùn)動員體力沒有明顯下降的情況. 此時(shí)老師給出文獻(xiàn)調(diào)研的結(jié)果——我國男子1 km自行車賽的數(shù)據(jù)[8]，所列數(shù)據(jù)都是運(yùn)動員完成比賽所花的時(shí)間.

同學(xué)們計(jì)算出結(jié)果約為80 s，稍大于文獻(xiàn)中的運(yùn)動員成績[8]. 于是有同學(xué)提出可能需要調(diào)整參數(shù)來改進(jìn)計(jì)算結(jié)果，比如中國運(yùn)動員體重普遍較輕，橫截面積略小，等等因素.

老師提出：分組進(jìn)行研究，通過控制因素法對各參數(shù)影響進(jìn)行研究. 第一組，計(jì)算運(yùn)動員體重變化的影響；第二組，計(jì)算運(yùn)動員橫截面積的影響；第三組，計(jì)算阻力系數(shù)的影響；第四組，計(jì)算輸出功率的影響.

同學(xué)們的研究結(jié)果匯總展示如圖3. 圖3(a)是比較運(yùn)動員體重為65 kg、70 kg、75 kg時(shí)(A=0.33 m2,C=1.0,P=400 W)的速率曲線. 可以看出，運(yùn)動員的體重越大，穩(wěn)定速率越小，而體重介于65 kg～70 kg速率的變化趨勢幾乎沒有差別.

圖3(b)比較了橫截面積為0.30 m2、0.33 m2、0.36 m2的結(jié)果(m=70 kg,C=1.0,P=400 W). 可以看出，橫截面積越小，穩(wěn)定速率越大，所以在自行車設(shè)計(jì)、騎行姿勢等方面都可以對運(yùn)動員成績加以提高.

圖3(c)比較了阻力系數(shù)為0.8、1.0、和1.2的結(jié)果(m=70 kg,A=0.33 m2,P=400 W). 可以看出，C值越大穩(wěn)定速率越小，而且這一系數(shù)比較敏感，會顯著影響成績. 而C過小，速率上升很快，偏離實(shí)際情況.

圖3(d)比較了運(yùn)動員輸出功率為350 W、400 W和450 W的結(jié)果(m=70 kg,A=0.33 m2,C=1). 可以看出，運(yùn)動員的體能(輸出功率)對其成績起決定性的作用. 輸出功率大，其加速快，速率大.

圖3 比較觀察不同參數(shù)對模型的影響

通過對上述結(jié)果進(jìn)行系統(tǒng)研究，最終調(diào)整運(yùn)動員體重為65 kg,橫截面積0.30 m2，輸出功率500 W，阻力系數(shù)1.0，1 km騎行時(shí)間72 s，與文獻(xiàn)吻合.

采用上述模型，又計(jì)算了男子4 km追逐賽成績. 同學(xué)們通過計(jì)算預(yù)測的騎行時(shí)間為273 s，文獻(xiàn)給出的國際最好水平是267±4 s[9]，所以該模型基本滿足計(jì)算精度要求.

6 適當(dāng)提高，讓學(xué)生體會鉆研的樂趣

至此題目似乎已經(jīng)完成，但老師可以再給出一篇文獻(xiàn)，針對環(huán)青海湖國際公路賽的結(jié)果[10]提出新的問題：研究人員發(fā)現(xiàn)，在不同階段速率有規(guī)則起伏，也就是說，在道路狀況不同的情況下運(yùn)動員的騎行速度會受到明顯影響. 而且因?yàn)榇祟愘愂买T行距離長，平均速率一般只能在11～12 m/s. 所以這個(gè)模型還需要修改才能用于研究該類型比賽，或者說還有一些因素可以加進(jìn)去以適應(yīng)問題的多樣性.

同學(xué)們再次進(jìn)行了熱烈的討論，結(jié)論有幾個(gè)比較有代表性：

1) 有明顯的上下坡時(shí)還應(yīng)考慮重力加速度的分量，所以力學(xué)方程應(yīng)改寫為

(5)

2) 輸出功率應(yīng)該不是一個(gè)常量，要根據(jù)自行車的損耗、運(yùn)動員體能的下降寫成一個(gè)時(shí)間的函數(shù)，即

(6)

3) 場地條件的不同帶來輪胎與地面的摩擦不同.

(7)

4) 空氣密度隨海拔、氣候情況發(fā)生變化[11].

(8)

隨著方程的復(fù)雜度逐漸提高，解析求解顯然無法完成，所以數(shù)值求解的重要性不言而喻.

經(jīng)過這樣一個(gè)案例的分析解決，同學(xué)們通過查閱文獻(xiàn)、編程計(jì)算、作圖、分析歸納等，初步體驗(yàn)了如何將物理問題深入化，對于“計(jì)算物理”內(nèi)容的掌握具有積極的作用. 而在線教育方便同學(xué)們做出討論和查找資料. 趁此機(jī)會，老師可以教會學(xué)生對電子資源，如知網(wǎng)等平臺的搜索使用. 而為了方便討論，同學(xué)們也體會到用圖表而不是羅列數(shù)據(jù)來說明問題，無形中也強(qiáng)化了大家作圖的技巧. 如果在課程中反復(fù)地訓(xùn)練和強(qiáng)化這些技能，無疑對學(xué)生們分析問題、解決問題的能力會有所提高. 所以筆者推薦在“計(jì)算物理”類專業(yè)課程的在線授課中，開展案例式教學(xué)的探索.