正相關樣本下雙指數分布位置參數的經驗貝葉斯估計

黃金超，楊穎穎，郭 棟

(滁州職業(yè)技術學院 基礎部，安徽 滁州 239000)

0 引 言

對單參數指數族未知參數的經驗Bayes(EB)統(tǒng)計推斷已有相當多的研究結果.如：基于獨立同分布(iid)樣本下，文獻[1]～[4]討論了單參數指數族EB估計和檢驗問題,并得到了一些有意義的結論；文獻[5]～[6]在iid樣本下分別討論了雙指數分布參數的EB檢驗和估計問題，但在相關樣本下對雙指數分布的參數EB估計問題沒有進行相關討論.在滲透理論、可靠性分析，以及某些多元分析等實際問題中，遇到的樣本多具有相關性，常見的有正相關(PA)、負相關(NA).因此,在樣本相關的情形下研究雙指數分布參數的EB估計問題是非常有意義的.本文基于“平方損失”PA樣本討論雙指數分布族數的EB估計，并構造一個漸近最優(yōu)EB估計函數，在一定條件下獲得的EB估計為漸近最優(yōu)性，且收斂速度的階為O(n-(rs-2)/2(s+2))，其中s>1，s∈N,1/22，并對現有文獻中的相應結果進行推廣.

下面給出PA樣本隨機變量(r.v.)序列的定義.

定義1隨機變量X1,X2…,Xn稱為正相關的(PA),如果對集合{1,2,…,n}任何兩個不交的非空子集A1與A2都有：

Cov(f1(Xi,i∈A1),f2(Xj,j∈A2))≥0,

(1)

其中，f1和f2為任何兩個使得協(xié)方差存在且對每個變元均非降或同時對每個變元均非升的函數,則稱隨機變量序列{Xj,j∈N}是正相關的(PA).如果對任何自然數n>2,X1,X2…,Xn都是正相關的(PA)，則考慮如下雙指數分布:

(2)

其中，x∈χ=(-∞,+∞)，θ∈Ω=(-∞,+∞),Ω為位置參數空間.

與常見的指數分布族類似,雙指數分布族是一類應用十分廣泛的分布族.雙指數分布族可用于構造保險精算模型，而各種經濟模型經常構造雙指數模型，雙指數分布還用于工程技術.因此，在PA樣本下研究雙指數分布族位置參數的EB估計有著重要的理論與實踐意義.

設G(θ)為參數θ的未知先驗分布.隨機度量X的邊緣分布密度為：

(3)

其中，G(θ)為θ的未知先驗分布.邊緣分布函數記作F(x),即

(4)

取損失函數為:

L(θ,d)=(θ-d)2.

(5)

在平方損失式(5)下,θ的Bayes估計為：

(6)

其中，

引理1[6]引理 1.1若f(x)>0,則θ的Bayes估計為：

其中，

(7)

(8)

(9)

1 經驗Bayes(EB)估計

設X1,X2,…,Xn和X為同分布PA樣本，密度函數如式(3)所示.通常稱X1,X2,…,Xn為歷史樣本，X為當前樣本，令f(x)為X1的概率密度函數.本文假定:

f(x)∈CS,α,x∈R1,

(10)

其中，Cs,α為R1中一族概率密度函數,其s階導數存在、連續(xù)，絕對值不超過α,且α為任意固定有界正數，s>1,s∈N.我們將

(11)

定義為F(x)的估計量，其中I[A]為A的示性函數.類似文獻[6]，定義g(x)的估計量為：

(12)

為估計f(x),引入核函數.令K(x)(r=0,1,…,s-1)為有界Borel可測函數，在(0，1)之外為0，且滿足如下條件：

本文對PA序列的協(xié)方差作如下假定：

密度函數f(x)的核估計定義為：

(13)

定義θ的EB估計：

(14)

(15)

本文令c、c0、c1、c2…為不依賴n的正常數.

2 若干引理與主要結果

引理2[8]引理 1令X、Y是PA樣本序列，且方差有限，則對任意的可微函數g1、g2有：

(16)

(17)

證明由Cr不等式可知：

(18)

由核函數性質可知：

(19)

由Taylor展開得：

(20)

將式(20)代入式(19)得：

(21)

由f(x)∈Cs,α和|K(t)|≤C可知：

當取hn=n-1/(2s+4)時，可知：

(22)

(23)

由|K2(v)|≤c,f(x)∈Cs,α可知：

(24)

故由條件(D)和{Xn,n≥1}的弱平穩(wěn)性可知：

(25)

所以,當hn=n-1/(2s+4)時,將式(24)和式(25)代入式(23)可得：

(26)

故有：

(27)

將式(22)和式(27)代入式(18)可得引理3的結論.

引理5[3]引理3對隨機變量(Y,Z)和實數y,z≠0,0

證明由凸函數Jensen不等式可知：

引理7設g(x)和gn(x)分別由式(8)和式(12)定義,其中X1,X2…,Xn為PA樣本序列,則對0

(28)

證明由定義(12),記

則

其中，Yi=ex-XiI[Xi>x]-eXi-xI[Xi≤x],Y1,Y2,…,Yn為PA樣本序列，從而可知：

(29)

所以，gn1(x)、gn2(x)分別為g1(x)、g2(x)的無偏估計.由Cr不等式可得：

(30)

由Jensen不等式可知：

(31)

其中，

(32)

記φ(Xi)=Var[ex-XiI[Xi>x]]，則

(33)

記g(x,y)=ex-yI[y>x]，當x≠y時，g(x,y)為關于y可求偏導數，且

由引理2、條件(D)和{Xn,n≥1}的弱平穩(wěn)性可知：

(34)

將式(33)和式(34)代入式(32),再將式(32)代入式(31)可得：

(35)

同理可證：

(36)

將式(35)和式(36)代入式(30)引理得證.

則

(37)

(Ⅰ)f(x)∈CS,α；

證明由引理4和條件(Ⅱ)可知：

故引理4的條件成立.因此，有：

(38)

其中,

這里的I(x)為示性函數：I(x)=1，若x>0，否則I(x)=0.

(39)

將式(39)代入A(n)可得：

由條件(Ⅱ)和(Ⅲ)可得：

(40)

(41)

將式(40)和式(41)代入式(38)可得：

取An=n1/2(s+2),可得：

3 例 子

易見：

(Ⅰ)f(x)∈CS,α；

為第一類廣義積分.而

由(Ⅰ)～(Ⅲ)式知，定理2的條件均滿足.

4 結 語

本文在正相關(PA)樣本下采用“平方損失”和密度函數核估計，研究雙指數分布參數θ的經驗Bayes (EB)估計問題，構造參數θ的 EB估計函數，并在適當的條件下證明了所提出的經驗Bayes估計函數的漸近最優(yōu)性，且收斂速度的階為O(n-(rs-2)/2(s+2)),其中s>1，s∈N,1/22，同時給出了滿足定理條件的一個例子，以推廣現有文獻研究雙指數分布參數θ的 EB估計的相應結果.