基于動態(tài)控制的供應(yīng)鏈SaaS最優(yōu)定價(jià)與協(xié)同

程兆麟，曾孟佳

(1.湖州師范學(xué)院 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，浙江 湖州 313000;2.湖州學(xué)院 理工學(xué)院，浙江 湖州 313000)

0 引 言

供應(yīng)鏈管理的研究和實(shí)踐表明，信息技術(shù)與信息系統(tǒng)具有的高速運(yùn)算、協(xié)同整合等功能越來越多地被企業(yè)重視，并將其作為供應(yīng)鏈管理的重要工具.大量的中小企業(yè)盡管已經(jīng)意識到信息技術(shù)在組織和跨組織運(yùn)作中的重要性，但信息系統(tǒng)的構(gòu)建和維護(hù)所需要的巨大資金和人力物力投入?yún)s成了其信息技術(shù)應(yīng)用的主要障礙.針對這一問題，許多中小企業(yè)開始尋求低成本的標(biāo)準(zhǔn)化軟件服務(wù).隨著Web2.0和云計(jì)算技術(shù)的成熟與普及，SaaS(Software as a Service，軟件即服務(wù))的出現(xiàn)為中小企業(yè)信息化提供了一種可行的路徑.在SaaS模式下，用戶無須花費(fèi)大量的資金和人力來購買、安裝、維護(hù)軟件，只要通過互聯(lián)網(wǎng)登錄軟件服務(wù)器并支付相應(yīng)的軟件使用費(fèi)就可使用軟件.目前，按需定價(jià)是SaaS中最常見的定價(jià)方式，并具有很好的適用性[1].需求量在SaaS使用中的表現(xiàn)類型主要包括交易量(包括技術(shù)和內(nèi)容)、存儲量、使用時(shí)間等[2].對不同定價(jià)策略的有效性受到多種因素影響[3].

隨著SaaS的快速發(fā)展，許多供應(yīng)鏈的核心企業(yè)也通過使用SaaS來為其成員提供一攬子的信息化服務(wù).一般情形下，SaaS服務(wù)提供商只提供軟件服務(wù)，二者之間只在軟件服務(wù)上存在簡單的“租賃”關(guān)系[4].在供應(yīng)鏈情境下，核心企業(yè)與其供應(yīng)商既在傳統(tǒng)業(yè)務(wù)中存在利益的直接聯(lián)系和沖突，也在SaaS服務(wù)提供上存在利益沖突.

在供應(yīng)鏈情境下，當(dāng)供應(yīng)鏈成員存在利益沖突時(shí)，核心企業(yè)應(yīng)該如何對供應(yīng)鏈SaaS進(jìn)行收費(fèi),合理的收費(fèi)政策對供應(yīng)鏈又產(chǎn)生怎樣的價(jià)值.針對這些問題，本文通過建立一個(gè)微分博弈模型，探討在動態(tài)控制下供應(yīng)鏈SaaS的最優(yōu)收費(fèi)和影響因素，分析形成最優(yōu)收費(fèi)機(jī)制的契約安排，并通過一個(gè)算例對模型進(jìn)行直觀剖析.

1 基本模型

考慮由一個(gè)供應(yīng)商和一個(gè)銷售商組成的供應(yīng)鏈，銷售商為核心企業(yè)，為供應(yīng)商提供SaaS并收取一定費(fèi)用.博弈的開始狀態(tài)和持續(xù)時(shí)間分別為x0和T-t0，狀態(tài)空間為X∈Rm，其中可允許的狀態(tài)軌跡為{x(s),t0≤s≤T}，x(s)表示在時(shí)間點(diǎn)s的市場需求量，ui(s)表示參與人i的策略或控制.本文考慮每期對供應(yīng)鏈信息系統(tǒng)的使用投資，對銷售商而言ui(s)表示其凈投資、維護(hù)費(fèi)用，對供應(yīng)商而言則表示其使用SaaS每期所繳納的費(fèi)用，Ui表示i的可行策略集合.假設(shè)Ui∈R+，則博弈狀態(tài)的進(jìn)展變化取決于以下向量值微分方程：

在每個(gè)時(shí)間點(diǎn)供應(yīng)鏈的整體收益為：

(1)

其中，Q為訂貨量，P為市場價(jià)格，TRC為交易成本，AC為平均生產(chǎn)成本(含庫存成本).不考慮缺貨影響.

在供應(yīng)鏈協(xié)同中，信息技術(shù)的投入會形成專用性資產(chǎn).當(dāng)供應(yīng)鏈成員間信任水平較高時(shí)，往往會形成更多的訂貨量和更低的交易價(jià)格[5].供應(yīng)鏈成員間的信息網(wǎng)絡(luò)建設(shè)能夠減少企業(yè)間合作的不確定性，并大幅度降低交易成本.由此，本研究提出以下假設(shè)：

假設(shè)1：訂貨量是信息系統(tǒng)投入和市場需求的增函數(shù).

假設(shè)2：市場價(jià)格是信息系統(tǒng)投入的減函數(shù)和市場需求的增函數(shù).

假設(shè)3：交易成本是信息系統(tǒng)投入的減函數(shù).

根據(jù)以上假設(shè)，為研究問題簡單化，在不失一般性的情況下，不妨令r(s)=r，r為常數(shù).

(2)

式(2)表示訂貨量是系統(tǒng)投資水平和市場需求量的函數(shù)，其中β表示訂貨量的信息技術(shù)投資彈性.

(3)

式(3)表示市場價(jià)格是系統(tǒng)投資和市場需求水平的函數(shù)，其中α表示價(jià)格的信息技術(shù)投資彈性.

市場單位價(jià)格隨著訂貨數(shù)量的增加而降低.訂貨量是SaaS使用成本的增函數(shù)，由此可以推斷市場價(jià)格是SaaS使用費(fèi)用的減函數(shù).

其中，TRC表示交易成本.

2 供應(yīng)鏈信息系統(tǒng)的反饋納什均衡

2.1 信息結(jié)構(gòu)

信息系統(tǒng)的存在使得供應(yīng)鏈的信息具有很強(qiáng)的及時(shí)性和可追溯性.假設(shè)參與人的信息結(jié)構(gòu)為閉環(huán)完美狀態(tài)(closed-loop perfect state，CLPS)，即每個(gè)參與人的策略都依賴于開始到當(dāng)前所有時(shí)間的狀態(tài)：ηi(s)={x(t),t0≤t≤s}.在這種信息結(jié)構(gòu)下，供應(yīng)鏈成員可以利用信息系統(tǒng)隨時(shí)根據(jù)當(dāng)前的信息狀態(tài)作出決定，且不存在開環(huán)信息結(jié)構(gòu)下的時(shí)間不一致問題.

2.2 合作安排

2.3 整體理性

供應(yīng)鏈參與人的目標(biāo)是使整個(gè)供應(yīng)鏈的收益最大，即參與人合作方案最大化的整體合作支付.由此可得到：

定義1對CLPS信息結(jié)構(gòu)，n序列值(n-tuple)策略集合：

為博弈Γc(x0,T-t0)的一個(gè)反饋納什均衡解法，稱為供應(yīng)鏈的合作控制.

根據(jù)整體理性要求，每個(gè)參與人的最優(yōu)控制需要滿足：

(4)

式(4)中，ηs={x(τ),τ≤s}，表示信息結(jié)構(gòu)為CLPS.

為在合作博弈Γc(x0,T-t0)中達(dá)到整體理性要求，最優(yōu)控制問題可以轉(zhuǎn)化為最大化泛函：

假設(shè)需求變化取決于當(dāng)期的市場價(jià)格，則以上合作收益受制于動態(tài)系統(tǒng)：

由上述的一般性假設(shè)可以得到：

利用貝爾曼動態(tài)規(guī)劃可以得到以下定理.

定理1當(dāng)存在連續(xù)可微協(xié)狀態(tài)函數(shù)W(t0)(t,x):[t0,T]×Rm→R時(shí)，供應(yīng)鏈整體漢密爾頓函數(shù)為：

(5)

以上控制問題滿足以下貝爾曼方程：

推論1如果市場需求受外界不確定性因素影響而發(fā)生突然變化，可考慮如下動態(tài)系統(tǒng)：

dx(s)=f[s,x(s),u1(s),u2(s)]ds+σ[s,x(s)]dz(s)x(t0)=x0,

該動態(tài)系統(tǒng)是隨描述供應(yīng)鏈面臨的市場需求變動的，其中σ[s,x(s)]表示一個(gè)m×l的矩陣，t→∞、σ[s,x(s)]→0、z(s)表示一個(gè)l維的維納過程(Wiener process)，而開始狀態(tài)x0是給定的.該維納過程所描述的是因外部原因?qū)е碌氖袌鲂枨罅客蛔?

求解以上隨機(jī)市場需求控制問題可以構(gòu)造貝爾曼-伊薩克斯-弗萊明方程(Bellman-Isaacs-Fleming equation)：

根據(jù)供應(yīng)鏈的合作控制可以得到隨機(jī)動態(tài)系統(tǒng)：

(6)

而滿足式(6)微分方程的解即為供應(yīng)鏈動態(tài)微分博弈的最優(yōu)控制結(jié)果.

定理2供應(yīng)鏈的博弈參與人在整個(gè)合作博弈過程中使用合作控制,能使整個(gè)供應(yīng)鏈的合作過程保持最優(yōu)狀態(tài)，即能滿足時(shí)間一致性要求.

證明

(7)

2.4 個(gè)體理性與分配契約

供應(yīng)鏈成員之間可以利用契約的治理方式來實(shí)現(xiàn)收益在供應(yīng)鏈上的分配，從而形成帕累托改進(jìn)，即在信息系統(tǒng)下的整體收益將大于沒有信息系統(tǒng)下的個(gè)體收益之和.本研究給出以下假設(shè)：

假設(shè)4：在供應(yīng)鏈信息系統(tǒng)下的支付具有可轉(zhuǎn)移性和超可加性特點(diǎn).

2.4.1 個(gè)體理性

假設(shè)當(dāng)開始時(shí)間為t0且開始狀態(tài)為x0時(shí)，每個(gè)參與人都同意某一特定的最優(yōu)共識原則，而基于這個(gè)最優(yōu)共識原則的分配向量為：

ξ(x0,T-t0)=[ξ1(x0,T-t0),ξ2(x0,T-t0)],

即每個(gè)參與人都同意在時(shí)區(qū)[t0,T]中參與人i∈{1,2}應(yīng)該得到的分配收益為ξi(x0,T-t0).

在開始時(shí)間為τ∈[t0,T]的原博弈的子博弈中，為滿足子博弈的時(shí)間一致性要求，本研究進(jìn)行如下定義：

顯然，條件1滿足整體理性，條件2滿足個(gè)體理性.

如果還能滿足以下條件3，則稱為一致性有效分配：

基于供應(yīng)鏈信息系統(tǒng)下的支付特點(diǎn)，本研究可以利用sharply值作為參與人的分配依據(jù).由于供應(yīng)鏈支付的可轉(zhuǎn)移性和超可加性，因此sharply值能確保供應(yīng)鏈成員整體理性與個(gè)體理性的統(tǒng)一[7].

2.4.2 動態(tài)sharply值分配契約

sharply值是1953年由Sharply提出的.sharply值最初只能應(yīng)用于支付可轉(zhuǎn)移情況，其后擴(kuò)展到支付不可轉(zhuǎn)移情況.本文根據(jù)供應(yīng)鏈支付可轉(zhuǎn)移特點(diǎn)，利用sharply值作為參與人分配依據(jù).

根據(jù)上面所述本文給出如下假設(shè).

假設(shè)5：供應(yīng)鏈的雙方都通過sharply值來進(jìn)行收益分配和最優(yōu)控制決策.

定義3若在整個(gè)博弈期間的每一個(gè)時(shí)間點(diǎn)τ∈[t0,T]，sharply值隨著最優(yōu)軌跡變動，這種sharply值稱為動態(tài)sharply值.

由于供應(yīng)鏈的每個(gè)參與人都同意按照sharply值來分配供應(yīng)鏈的合作支付，因此在時(shí)間為t0、狀態(tài)為x0時(shí)，參與人i分得的利潤為：

(9)

式(9)表示供應(yīng)鏈的每個(gè)參與人i應(yīng)該分得在所有可能組成的聯(lián)盟中邊際貢獻(xiàn)的加權(quán)平均數(shù)，且為保持時(shí)間一致性要求，在整個(gè)合作期間[t0,T]sharply值都必須得到維持.因此，沿著博弈最優(yōu)軌跡的每一時(shí)間點(diǎn)τ∈[t0,T]，動態(tài)sharply值必須得到維持，即：

(10)

根據(jù)假設(shè)5，通過一致性有效分配和動態(tài)sharply值定義可以設(shè)計(jì)動態(tài)sharply值分配契約.

在博弈Γ(τ,T-τ)，τ∈[t0,T]中，參與人i∈{1,2}所得的分配為：

在原博弈沿著最優(yōu)軌跡的每個(gè)子博弈中，供應(yīng)鏈參與人i∈{1,2}的支付都等于其動態(tài)sharply值，即無信息系統(tǒng)的收入加上因信息系統(tǒng)存在而得到的額外收益的一半.

推論2動態(tài)sharply值分配契約滿足一致性分配條件.

由于上述微分方程難以獲得解析解，因此下面通過一個(gè)算例具體分析參數(shù)對均衡解的影響.

3 算例與分析

令各項(xiàng)參數(shù)分別為r=0.1、α=2、β=2、a0=10、a1=1、a2=2、b=1、b0=10、b1=1，c0=5、c1=2、c2=1.不考慮市場的突然變化.

解由假設(shè)條件知，供應(yīng)鏈閉環(huán)系統(tǒng)的最優(yōu)化問題可以寫成：

受制于動態(tài)系統(tǒng)：

根據(jù)貝爾曼方程可得到漢密爾頓函數(shù)：

H=((-2u(t)2+2x(t)2+5)(u(t)2+2x(t)+1)-10)e0.1t+W(5+2u(t)2-x(t)2).

利用Pontryagin最大值原理求解納什反饋均衡，其步驟如下：

(Ⅰ)求解W的隱式解.協(xié)狀態(tài)函數(shù)W滿足以下正則方程：

求解上述微分方程可得：

由截?cái)嘈詶l件可得：

C1=0.

(Ⅱ)求解供應(yīng)鏈整體最優(yōu)合作控制u.將W值代入漢密爾頓方程，并求解使H取最大值的u：

由上式可見，SaaS最優(yōu)收費(fèi)是最終消費(fèi)者市場需求量的函數(shù)，這意味著市場需求是合理的SaaS定價(jià)需要考慮的重要因素.傳統(tǒng)的SaaS定價(jià)只需考慮使用者對信息技術(shù)功能的需求，無須考慮市場需求.而在供應(yīng)鏈情境下，作為SaaS提供者的核心企業(yè)不僅要考慮供應(yīng)商對IT的需求，而且要考慮市場需求的影響.市場需求越大，越需要頻繁地使用信息系統(tǒng)來調(diào)節(jié)整個(gè)供應(yīng)鏈，使其達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，從而導(dǎo)致成本(價(jià)格)越高.

(Ⅲ)求解W的顯示解.將u代入W可得W的顯示解：

從而得到W圖形,見圖1.

分別對圖1中的x軸和t軸做投影，可以得到圖2、圖3.由圖2、圖3可以分析在信息系統(tǒng)下供應(yīng)鏈整體收益的一些性質(zhì).

圖1 供應(yīng)鏈實(shí)時(shí)收益圖Fig.1 Real time revenue graph of supply chain

圖2 供應(yīng)鏈實(shí)時(shí)收益對市場需求投影圖Fig.2 Projection of supply chain real time revenue to market demand

圖3 供應(yīng)鏈實(shí)時(shí)收益與時(shí)間投影圖Fig.3 Projection of supply chain real time revenue to time

性質(zhì)1供應(yīng)鏈整體收益在市場需求較低階段會隨著市場需求的變化呈現(xiàn)下降趨勢，而隨著市場需求水平的上升，供應(yīng)鏈整體收益上升.

說明：由于市場需求水平較低，前期投入供應(yīng)鏈信息系統(tǒng)的投資相對較大，因此收益不斷下降.這是供應(yīng)鏈實(shí)時(shí)收益隨市場需求量的上升而下降的主要原因.而隨著市場需求水平的上升，并伴隨供應(yīng)鏈信息系統(tǒng)的有效控制，整體收益逐漸上升.

性質(zhì)2在同樣的需求水平下，隨著時(shí)間的演進(jìn)，利潤水平呈現(xiàn)下降趨勢.

說明：一方面受制于模型整體市場需求固定的假設(shè)，即在市場需求量一定的情況下，隨著供應(yīng)鏈向市場不斷地供應(yīng)產(chǎn)品，市場需求逐漸呈現(xiàn)飽和狀態(tài)，從而導(dǎo)致供應(yīng)鏈整體收益水平下降；另一方面也體現(xiàn)了邊際收益遞減規(guī)律的作用結(jié)果.

(Ⅳ)求解控制過程.將u的顯示解代入f，可得到以下微分方程：

圖4 市場需求變動趨勢圖Fig.4 Trend of market demand changing

性質(zhì)3在供應(yīng)鏈信息系統(tǒng)的最優(yōu)控制下，整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)趨于穩(wěn)定.

說明：很顯然，從上式可以看出，當(dāng)t→∞時(shí)，x(t)→198.由此可見，供應(yīng)鏈SaaS的最優(yōu)合作控制能保證整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定.這也是信息系統(tǒng)的重要作用之一.

(Ⅴ)個(gè)體理性分析.根據(jù)動態(tài)sharply值契約要求，我們要求每個(gè)參與人均能按照動態(tài)sharply值承擔(dān)投資成本，并分享相應(yīng)收益.由于供應(yīng)鏈整體收益的超可加性和可轉(zhuǎn)移性，所以按照這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的分配契約能夠滿足個(gè)體理性與整體理性的統(tǒng)一.

在不考慮參與人差異性的情況下，可以得到每個(gè)參與人最優(yōu)控制為：

4 結(jié) 論

本文建立了一個(gè)供應(yīng)商與一個(gè)銷售商構(gòu)成的兩級供應(yīng)鏈決策模型，通過設(shè)計(jì)動態(tài)微分博弈來求解供應(yīng)鏈SaaS的最優(yōu)控制問題，并提供一種能滿足一致有效分配的動態(tài)sharply值契約.通過模型推導(dǎo)和算例數(shù)值分析得到以下結(jié)論：第一，供應(yīng)鏈SaaS的最優(yōu)定價(jià)不僅需要考慮供應(yīng)商對SaaS內(nèi)容、時(shí)間等技術(shù)性的需求，而且需要考慮產(chǎn)品市場需求變化，以及市場需求構(gòu)成SaaS定價(jià)的重要正向影響因素；第二，基于SaaS的動態(tài)控制能有效實(shí)現(xiàn)供應(yīng)鏈協(xié)同，使得市場需求呈現(xiàn)穩(wěn)定化趨勢，并實(shí)現(xiàn)供應(yīng)鏈?zhǔn)找娴母倪M(jìn)；第三，供應(yīng)鏈SaaS的建設(shè)應(yīng)該隨著時(shí)間和市場需求的變化循序漸進(jìn)地開展，供應(yīng)鏈成員應(yīng)按照sharply值的要求承擔(dān)系統(tǒng)投資并分享超額收益.

需要說明的是，微分博弈的反饋納什均衡求解過程涉及微分方程求解，所以在一般情況下只能適用于較為簡單的問題，對復(fù)雜的問題可能會因微分方程無法求出顯式解而最終不能獲得有效結(jié)果，如果是偏微分方程則難度更大.最優(yōu)性能指標(biāo)的連續(xù)可微也是一個(gè)較強(qiáng)的條件，在現(xiàn)實(shí)中往往很難滿足.通過有效的數(shù)值求法來求解更為復(fù)雜的供應(yīng)鏈合作問題，將是下一步研究的重要內(nèi)容.本文構(gòu)建的模型能夠在供應(yīng)商或制造商相互獨(dú)立時(shí)拓展到多供應(yīng)商對多制造商的供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)情形.但現(xiàn)實(shí)中也存在供應(yīng)商或制造商相互關(guān)聯(lián)、互相競爭等情況，因此需要對本模型進(jìn)行拓展.