具有數(shù)據(jù)包丟失的網(wǎng)絡(luò)化Markov跳變系統(tǒng)故障檢測

孫曉玥,劉麗香，徐雅婷，王燕鋒

(1.湖州師范學(xué)院 工學(xué)院，浙江 湖州 313000;2.莘縣第一中學(xué)，山東 莘縣 252400)

0 引 言

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(Networked Control Systems，NCSs)是通過網(wǎng)絡(luò)將傳感器、控制器和執(zhí)行器連接在一起形成的一個閉環(huán)控制系統(tǒng)[1].隨著通信技術(shù)、計算機科學(xué)技術(shù)和控制技術(shù)的發(fā)展，NCSs技術(shù)有了很大的進步.與傳統(tǒng)的點對點的控制系統(tǒng)相比，NCSs具有系統(tǒng)布線少、成本低、維護與擴展方便等優(yōu)點[2]，在遠(yuǎn)程醫(yī)療、航空航天等領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用，這給人們的生產(chǎn)和生活帶來了極大的便利.

在NCSs中，網(wǎng)絡(luò)信道將控制系統(tǒng)的各個節(jié)點與多個控制子系統(tǒng)連接在一起.網(wǎng)絡(luò)堵塞、網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時延、網(wǎng)絡(luò)節(jié)點發(fā)送數(shù)據(jù)時存在競爭關(guān)系等問題都會導(dǎo)致數(shù)據(jù)丟失[3]，很大程度地影響了控制系統(tǒng)的性能.在系統(tǒng)出現(xiàn)故障時，丟包會導(dǎo)致故障檢測信息不完整，容易出現(xiàn)故障的錯報和漏報.當(dāng)前的許多研究都集中于控制器設(shè)計及系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，對故障檢測的研究相對較少.隨著NCSs中元件的老化、外部擾動及工作環(huán)境的變化，系統(tǒng)不可避免地出現(xiàn)各種故障[4].NCSs的故障檢測問題是一個具有實際意義的課題，得到了學(xué)者們的廣泛關(guān)注，成為目前研究的一個熱點.

目前，關(guān)于NCSs故障檢測的文獻可以分為三類：第一類只考慮數(shù)據(jù)包的丟失.如文獻[5]討論了傳感器和控制器(S/C)之間數(shù)據(jù)包丟失的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)故障檢測，提出了一種故障觀測器結(jié)構(gòu)，當(dāng)發(fā)生數(shù)據(jù)包丟失時，將先前成功傳輸?shù)南到y(tǒng)輸出用于觀測器反饋，假設(shè)連續(xù)數(shù)據(jù)包丟失是有限的，觀測器誤差的變化可以建模為一個交換系統(tǒng).第二類只考慮時延.如文獻[6]考慮具有時延的分布式網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(DNCS)故障檢測問題，提出一種基于滑模觀測器的兩級 DNCS 故障檢測方法，并考慮兩種不同情況：當(dāng)系統(tǒng)的所有狀態(tài)都可以測量時，將故障檢測問題轉(zhuǎn)換為滑動穩(wěn)定可達問題；當(dāng)系統(tǒng)的某些狀態(tài)不可測量時，通過設(shè)計一個變換矩陣來分離可測狀態(tài)和未知狀態(tài)，然后針對這些未知狀態(tài)開發(fā)不同的滑模觀測器，從而實現(xiàn)故障檢測.文獻[7]解決了具有不確定時變時延的NCSs，并基于觀測器的魯棒故障檢測濾波器設(shè)計和優(yōu)化問題具有不確定時變時延的NCSs，通過矩陣?yán)碚摻閰?shù)不確定系統(tǒng).第三類同時考慮時延和數(shù)據(jù)包丟失.如文獻[8]考慮一類具有時變延遲的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，故障檢測是在傳感器數(shù)據(jù)中存在輸出延遲和丟包的情況下進行的.增加控制器中的采樣頻率并等分傳感器采樣周期，時間延遲近似為控制器采樣周期的整數(shù)倍，并結(jié)合控制器數(shù)據(jù)到達條件，構(gòu)建基于離散異步動力系統(tǒng)的故障觀測器誤差方程.

上述文獻的研究對象為線性系統(tǒng)，在實際的工程應(yīng)用領(lǐng)域許多系統(tǒng)所展現(xiàn)出的特性通常不是特定的，其結(jié)構(gòu)和參數(shù)有時會具有隨機變化的特征，很難用確定性的模型來描述.本文以Markov跳變系統(tǒng)為研究對象.Markov跳變系統(tǒng)作為一類特殊的混雜系統(tǒng)，在電力系統(tǒng)、制造系統(tǒng)、通信系統(tǒng)，以及同時涉及隨機決策和連續(xù)控制的系統(tǒng)中都有廣泛應(yīng)用，如由零部件故障、外部環(huán)境突變等原因引起的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)變化都可認(rèn)為是多模態(tài)線性系統(tǒng)間的隨機切換.本文的研究意義有以下兩點：

(Ⅰ)考慮S/C丟包，通過在控制器端構(gòu)造觀測器，以產(chǎn)生殘差和實現(xiàn)基于觀測器的輸出反饋控制，從而建立系統(tǒng)閉環(huán)模型.

(Ⅱ)通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)，得到閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件，并給出控制器增益矩陣、觀測器增益矩陣和最小干擾抑制指標(biāo)的求解算法.

1 問題描述

在傳感器與控制器(S/C)之間存在數(shù)據(jù)包的丟失、控制器與執(zhí)行器(C/A)之間不存在數(shù)據(jù)包丟失的情況下，網(wǎng)絡(luò)化Markov跳變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

(1)

圖1 具有數(shù)據(jù)包丟失的NCSFig.1 NCS with data packet dropout

隨機變量αk代表開關(guān)S的狀態(tài)，并從集合{0,1}中取值.當(dāng)αk=0時，開關(guān)S打開，數(shù)據(jù)包丟失，信息傳輸失敗；當(dāng)αk=1時，開關(guān)S閉合，信息傳輸成功.

構(gòu)造狀態(tài)觀測器：

(2)

(3)

其中，K為狀態(tài)反饋控制器的增益矩陣.

由于在S/C之間存在數(shù)據(jù)包的丟失，所以k時刻在控制器節(jié)點的系統(tǒng)輸出為：

(4)

定義狀態(tài)估計誤差ek和增廣矩陣ζk：

從式(1)～(4)可以得到閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

(5)

其中，

(a)當(dāng)αk=0時，S/C之間存在數(shù)據(jù)包的丟失，閉環(huán)系統(tǒng)(5)可表示為：

(6)

其中，

(b)當(dāng)αk=1時，S/C之間不存在數(shù)據(jù)包的丟失，閉環(huán)系統(tǒng)(5)可表示為：

(7)

其中，

當(dāng)數(shù)據(jù)包發(fā)生丟失時，閉環(huán)系統(tǒng)(5)在系統(tǒng)(6)～(7)之間跳變.因為當(dāng)前時刻數(shù)據(jù)包的丟失與上一時刻數(shù)據(jù)包的丟失有關(guān)，所以可以把閉環(huán)系統(tǒng)表示為：

(8)

其中，{θk,k∈Z}為離散時間Markov鏈，在集合={1,2}中取值，θk的轉(zhuǎn)移概率矩陣為

選擇如下殘差評價函數(shù)：

(9)

選擇的故障檢測閾值為：

(10)

其中，ρ0為初始評價時刻，L0為評價步長.

通過對比Jk和Jth即可檢測出是否有故障發(fā)生：

(11)

本文的目標(biāo)是考慮S/C側(cè)數(shù)據(jù)包的丟失，設(shè)計故障檢測觀測器(2)和基于觀測器的反饋控制律(3)，使得

(Ⅰ)當(dāng)ηk=0時，閉環(huán)系統(tǒng)(8)隨機穩(wěn)定；

(Ⅱ)在零初始條件下，

(12)

其中，ηk=0為干擾抑制性能指標(biāo).

2 主要內(nèi)容

定理1當(dāng)ηk=0時，如果存在正定矩陣Pm,i>0，Ym,i>0和矩陣K、L，使得

(13)

Pm,iYm,i=I,

(14)

其中，

對所有的m,n∈φ,i,j∈成立，則閉環(huán)系統(tǒng)(8)是隨機穩(wěn)定的.

證明對于閉環(huán)系統(tǒng)(8)，當(dāng)ηk=0時，考慮如下的Lyapunov函數(shù)：

其中，Pδk,θk>0.

由Schur補引理得：

因此，若定理1中式(14)成立，則閉環(huán)系統(tǒng)(8)是隨機穩(wěn)定的.證畢.

定理2當(dāng)ηk≠0時，對給定的標(biāo)量Pm,i>0，以及殘差增益矩陣Pm,i>0，如果存在矩陣Pm,i>0，Pm,i>0和正定矩陣Pm,i>0，Ym,i>0，使得如下不等式成立：

(15)

Pm,iYm,i=I,m∈φ,i∈，

(16)

其中，

Γ22=Diag{-I,-Y1,1,-Y1,2,…,-Yg,2}.

則閉環(huán)系統(tǒng)(8)是隨機穩(wěn)定的，且滿足H∞性能指標(biāo)(12).

證明當(dāng)ηk≠0時，由式(8)可得：

其中，

運用Schur補引理:

(17)

將式(17)從k=0到k=∞進行累加，可得：

由上式可得:

證畢.

3 數(shù)值仿真

考慮如下狀態(tài)方程：

其中，

δk∈{1,2}.

根據(jù)定理2可得到的控制器增益矩陣、觀測器增益矩陣和最小干擾抑制性能指標(biāo)如下：

圖2 閉環(huán)系統(tǒng)模態(tài)δkFig.2 The mode of the closed-loop system δk

圖3 數(shù)據(jù)包丟失模態(tài)θkFig.3 Data packet dropout status θk

當(dāng)沒有故障發(fā)生時，圖4和圖5表示閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài).當(dāng)故障發(fā)生時，圖6和圖7表示故障殘差rk和函數(shù)Jk的圖像.由圖6和圖7可以看出，當(dāng)故障發(fā)生時，故障殘差rk和函數(shù)Jk都發(fā)生了變化.另外，我們可以得到J14=3.451 7

圖4 閉環(huán)系統(tǒng)x1的狀態(tài)和觀測值Fig.4 Closed-loop system status x1 and its

圖5 閉環(huán)系統(tǒng)x2的狀態(tài)和觀測值Fig.5 Closed-loop system status x2 and its

圖6 殘差信號Fig.6 Residual signal

圖7 殘差評價函數(shù)和閾值Fig.7 Residual evaluation function and threshold

4 結(jié) 論

本文對一類基于觀測器具有數(shù)據(jù)包丟失的網(wǎng)絡(luò)化Markov跳變系統(tǒng)故障檢測問題進行了研究，考慮S/C之間存在數(shù)據(jù)包丟失情況，建立了閉環(huán)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，得到了閉環(huán)系統(tǒng)隨機穩(wěn)定的充分條件，并給出了控制器增益矩陣和觀測器增益矩陣的求解方法.仿真結(jié)果表明，該方法有效可行.