對癥下藥，根除求最值問題的“低級錯誤”

李勇

最值問題是高中數(shù)學的重要內容之一，它分布在各塊知識點，各個知識水平層面.以最值為載體，可以考查高中數(shù)學的幾乎全部知識點，考查學生的思維能力、實踐和創(chuàng)新能力.因此，它在高考中占有比較重要的地位.

筆者所在學校是一所農(nóng)村高中，從初中進入我校學習的大多數(shù)學生的數(shù)學基礎很弱，相較于一些“星級高中”，這里的孩子在基礎知識、基本能力方面相對欠缺很多.本文所談到的一些問題，是在教學過程中遇到、幾乎每屆學生都會出現(xiàn)的共性問題.可能在有些讀者看來，難登“大雅之堂”，但教學本就是要因材施教，適合學生的，才是最好的.所以敢不揣簡陋，略談一二.

求最值的問題類型常見的有：一般函數(shù)求最值，三角函數(shù)求最值，以實際問題為背景求最值，線性規(guī)劃求最值，解析幾何中的求最值問題，數(shù)列中求最值等等.本文僅針對學生易錯的較常見的幾個問題進行敘述，不求大而全.

求最值時，學生極易忽視一些或顯或隱的條件，導致解題錯誤，現(xiàn)舉例分析，以供求最值時作為參考.

一、對函數(shù)的本質缺乏理解，盲目將定義域端點代入函數(shù)求值，作為最大值或最小值

分析出現(xiàn)這種錯誤的學生缺乏基本的函數(shù)知識，面對求函數(shù)最值往往一籌莫展，胡亂代值，敷衍了事.解決這類學生的問題還得從基礎知識、基本概念著手，要將函數(shù)的重要表現(xiàn)形式——圖像與函數(shù)式密切結合起來，讓學生從函數(shù)圖像上獲得對函數(shù)值變化過程的直觀、感性的認識.從容易作圖的基本初等函數(shù)入手，編制練習，讓學生學會“讀圖”，加深對函數(shù)及其最值的理解.

二、忽視或明或暗的定義域的限制，導致求解最值的錯誤，常見于均值不等式的運用過程、實際問題為背景的應用題和換元法的運用過程等

分析遇到這樣的問題，學生或者老師往往歸之為粗心的問題，可在教學過程中，經(jīng)常能夠遇到諸如此類的錯誤，其實很多時候并不能以“粗心”來一言以蔽之.其實這與思維不嚴密、書寫不規(guī)范等不良習慣有關.在這類問題的解決過程中，蘊含了“換元法”的重要思想，以上兩例均因為沒有對“=”的成立條件進行驗證而導致了錯誤結果.在教學過程中，教師可能認為問題比較簡單，在板書示范解題的時候，往往掉以輕心，對步驟進行了省略，而且對定義域的決定性作用強調不夠，久而久之，學生的不良習慣也就養(yǎng)成了.這樣的例子還有：數(shù)列為背景的最值問題中，忽視函數(shù)y=f（n）中n的正整數(shù)取值；實際問題中，忽視“長度”等變量的實際意義；所以我們在教授函數(shù)最值的求解時，要始終把定義域放在解題過程的第一位，讓學生明白，換元以后所得函數(shù)的自變量與原函數(shù)的自變量的差異與聯(lián)系，明白定義域是解決任何函數(shù)問題的根本.

三、線性規(guī)劃中求最值時主觀臆斷，貪圖“捷徑”

分析實際上，該二元一次不等式組所表示的區(qū)域是不封閉的，點（-1，-1）并不在可行域內.學生在經(jīng)過學習線性規(guī)劃的知識之后，基礎弱的學生對其意義的理解不夠深刻，而且從解決問題的過程中不難形成一條錯誤的“經(jīng)驗”：線性規(guī)劃求最值，總是用某兩條直線的交點代入目標函數(shù)得出最值，而且不用作圖，速度很快，屢試不爽.這就強化了這條解題“經(jīng)驗”在記憶中的存在.但是只要問題稍加變化就原形畢露了.事實證明，在教學的過程中，光憑簡單的說教不能讓一些孩子糾正這樣的問題.教師不妨在作業(yè)中設置足夠的例子讓學生不斷犯錯，用錯誤事實告訴學生，這條“經(jīng)驗”是行不通的，將他們的解法逼到“正路”上來.

學生犯錯并不可怕，失敗是成功之母，只要我們能給予足夠的重視，對學生在學習過程中出現(xiàn)的這樣那樣的問題，認真揣摩其成因，找到“病因”，對癥下藥.通過展示錯解，剖析原因，促使學生養(yǎng)成認真審題、周密思考的良好習慣，能善于捕捉題目中的“蛛絲馬跡”，洞察顯隱條件，才能不斷提高解題的正確率.