電動伺服機構(gòu)三閉環(huán)控制器設(shè)計

董海迪，王 哲，袁勝智，李 靜，金 凱

（海軍工程大學兵器工程學院，湖北武漢 430030）

舵機伺服系統(tǒng)是一種復雜的機電一體化系統(tǒng)，屬于典型的位置隨動系統(tǒng)［1］。其控制精度直接影響導彈的制導和姿態(tài)控制精度，進而影響導彈命中精度。

針對某型導彈現(xiàn)有電液伺服系統(tǒng)存在動態(tài)響應速度慢、結(jié)構(gòu)復雜、可靠性差、使用維護困難等缺點［2］，本文研究了采用直流電機進行電動舵機設(shè)計的改進方案，在分析舵機控制系統(tǒng)組成及工作原理基礎(chǔ)上，依據(jù)電磁定律等物理規(guī)律推導建立舵機控制系統(tǒng)數(shù)學模型。針對某導彈電動舵機控制系統(tǒng)的性能指標要求，提出一種基于工程經(jīng)驗的PID 控制算法，進行電流、速度、位置三閉環(huán)調(diào)節(jié)器設(shè)計。 最后，利用Matlab/Simulink工具箱搭建電動舵機控制系統(tǒng)的仿真模型。

1 舵機控制系統(tǒng)數(shù)學模型

舵機控制系統(tǒng)主要由伺服電機、主功率驅(qū)動電路、減速傳動機構(gòu)以及電機工作電流、轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速、噴管偏角等檢測傳感器組成，具體結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 舵機控制系統(tǒng)組成結(jié)構(gòu)Fig.1 Composition of servo control system

1.1 無刷直流電機數(shù)學模型

無刷直流電機是在傳統(tǒng)的有刷直流電機的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，兩者結(jié)構(gòu)相似。不同之處在于，無刷直流電機把永磁體安裝在轉(zhuǎn)子上，三相繞組安裝在定子上，利用逆變器和轉(zhuǎn)子位置傳感器構(gòu)成電子換相電路，取代了原來由換相器和電刷組成的機械結(jié)構(gòu)。無刷直流電機主要由電機本體、轉(zhuǎn)子位置傳感器和電子開關(guān)電路三部分組成。本文以兩極三相無刷直流電機為例，推導建立無刷直流電機的數(shù)學模型，所建立的無刷直流電機動態(tài)結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 無刷直流電機動態(tài)結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Dynamic structure diagram of brushless DC motor

無刷直流電機相電壓方程［3］為

無刷直流電機的傳遞函數(shù)為

負載轉(zhuǎn)矩與速度間的傳遞函數(shù)為

1.2 驅(qū)動器數(shù)學模型

驅(qū)動器主要由功率驅(qū)動管和三相逆變橋組成，分析時，常常將它們作為一個小環(huán)節(jié)處理［4］。輸入量為PWM 輸入電壓，輸出量為加在電機上的直流平均電壓，同時考慮功率開關(guān)管存在滯后現(xiàn)象，故PWM 驅(qū)動器傳遞函數(shù)為

1.3 減速傳動機構(gòu)數(shù)學模型

減速器選用滾珠絲杠減速傳動機構(gòu)，其物理基礎(chǔ)是滾動摩擦，由于依靠的是滾動摩擦，所以摩擦力較小，系統(tǒng)傳動效率較高。減速傳動器正常工作時，滾珠絲杠每旋轉(zhuǎn)一周，帶動螺母移動一個導程，推動噴管轉(zhuǎn)動一定角度。若電機轉(zhuǎn)動的角度為θm，則噴管轉(zhuǎn)動的角度為

式中，θ表示噴管轉(zhuǎn)動角度，L表示滾珠絲杠的導程，igl表示減速齒輪的減速傳動比，r表示噴管轉(zhuǎn)動半徑。

由于θ最大幅值在10°左右，tg10°= 0.176，10°=，因此，在θ取值較小時，。減速傳動機構(gòu)傳遞函數(shù)為

1.4 傳感器數(shù)學模型

控制系統(tǒng)采用電流、速度、位置三閉環(huán)控制策略，涉及電機工作電流、轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速及噴管偏角的測量反饋。其中電流測量采用霍爾傳感器，輸出與被測電流成比例的電壓信號；轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速測量采用與轉(zhuǎn)軸同軸安裝的旋轉(zhuǎn)變壓器，輸出與轉(zhuǎn)速成正比的數(shù)字信號；噴管位置檢測采用與滾珠絲杠同軸安裝的絕對值編碼器，輸出可以換算成與偏角成比例的數(shù)字信號。綜上分析，三類傳感器都可以等效為比例環(huán)節(jié)?？紤]在電機工作過程中，三個檢測信號中存在交流干擾，因此，在數(shù)據(jù)處理時，設(shè)計了數(shù)字濾波環(huán)節(jié)，濾波環(huán)節(jié)延遲了反饋信號的作用，可以等效為一階慣性環(huán)節(jié)［5］。電流、轉(zhuǎn)速、偏角三個傳感器的傳遞函數(shù)數(shù)學模型分別為

式中，α、β、γ分別表示電流、轉(zhuǎn)速、偏角位移傳感器比例系數(shù)，Toi、Ton、Top分別表示過濾時間常數(shù)。

2 舵機控制器設(shè)計

根據(jù)前文推導的各組成部分數(shù)學模型，得到控制系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)如圖3 所示?？紤]到PID 控制具有算法簡單、魯棒性好、易于實現(xiàn)等優(yōu)點［6］，尤其適用于建立精確數(shù)學模型的控制系統(tǒng)，因此，本文擬采用PID 控制算法設(shè)計三閉環(huán)控制器?；舅悸肥牵菏紫冗M行電流環(huán)設(shè)計，通過對控制對象傳遞函數(shù)和控制性能指標分析，完成電流環(huán)調(diào)節(jié)器的結(jié)構(gòu)和控制參數(shù)選擇；然后將電流環(huán)等效為速度環(huán)的子環(huán)節(jié)，進行速度環(huán)設(shè)計；最后將速度環(huán)等效為位置環(huán)的子環(huán)節(jié)，進行位置環(huán)設(shè)計。

圖3 控制系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖Fig.3 Dynamic Structure Diagram of Control System

2.1 電流環(huán)調(diào)節(jié)器設(shè)計

電流環(huán)調(diào)節(jié)器設(shè)計需要考慮結(jié)構(gòu)和控制參數(shù)兩方面。在輸入信號中加入濾波時間常數(shù)與反饋濾波時間常數(shù)相同的濾波環(huán)節(jié)，并將其等效移動到電流環(huán)內(nèi)，忽略反電勢的變化影響［5］，同時考慮到濾波時間常數(shù)Toi和PWM 控制時間常數(shù)Ts比電氣時間常數(shù)Tl小得多，在進行工程設(shè)計時，完全可以將兩者當作小慣性群環(huán)節(jié)而近似作為一個慣性環(huán)節(jié)來處理，對應的時間常數(shù)T∑i=Ts+Toi。經(jīng)簡化處理得到電流環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

電流環(huán)的控制對象是雙慣性型的，控制的穩(wěn)態(tài)要求是無靜差，動態(tài)要求是迅速跟蹤期望的電流變化，且不允許有太大的超調(diào)，因此電流環(huán)采用典型Ⅰ型系統(tǒng)進行校正［5］，電流環(huán)調(diào)節(jié)器采用PI調(diào)節(jié)器進行設(shè)計，對應的傳遞函數(shù)為

式中，Ki表示比例系數(shù)，τi表示超前時間常數(shù)。

選擇電流環(huán)調(diào)節(jié)器的零點，使其能夠與開環(huán)傳遞函數(shù)較大的時間常數(shù)進行極點對消，對應的積分時間常數(shù)τi=Tl，則電流環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)為

式中，KI=αKPWMKi/(Raτi)，表示開環(huán)放大系數(shù)。

為了控制電流的超調(diào)量在5% 以內(nèi)，選擇KIT∑i=0.5。PWM 開關(guān)頻率為50 KHz，則Ts= 0.00002 s，KPWM取0. 85，Toi取0. 0001 s，T∑i=Ts+Toi= 0.00012 s，α暫取為1。電機定子電阻R= 0.044 Ω，定子電感L-M=25 mH，則Tl=La/Ra= 0.0057 s。電流環(huán)調(diào)節(jié)器參數(shù)為，Ki= 2.46，τi= 0.0057 s。電流環(huán)開環(huán)截止頻率為

使用MATLAB 中的Bode 函數(shù)繪制電流環(huán)調(diào)節(jié)器加入前后的電流環(huán)開環(huán)頻率響應曲線，如圖4 所示。系統(tǒng)在進行校正前，電流環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)的截止頻率為2010rad/sec，對應的相角裕度為78°，此時相角裕度過高，需要增大開環(huán)截止頻率，減小相角裕度，提高電流環(huán)的動態(tài)響應速度；加入電流環(huán)調(diào)節(jié)器后，電流環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)的截止頻率為4030rad/sec，相角裕度為59°。工程設(shè)計中一般要求將系統(tǒng)的相角裕度控制在45°左右，因此需要對PI調(diào)節(jié)器的控制參數(shù)進行反復調(diào)整，最終選擇電流環(huán)調(diào)節(jié)器最優(yōu)的控制參數(shù)KI為5. 32，得到電流環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)的截止頻率為6380rad/sec，對應的相角裕度為46°，完全滿足系統(tǒng)的穩(wěn)定性和快速性要求。

圖4 電流環(huán)校正前后Bode圖Fig.4 Bode diagram before and after current loop correction

2.2 速度環(huán)調(diào)節(jié)器設(shè)計

速度環(huán)對于系統(tǒng)受到的大負載擾動、位置控制精度以及系統(tǒng)低速時的平穩(wěn)性等作用非常明顯，其精確設(shè)計是保證舵機伺服系統(tǒng)較好地控制性能的關(guān)鍵環(huán)節(jié)［8］。電流環(huán)經(jīng)簡化處理后可作為速度環(huán)的一個子環(huán)節(jié)，將時間常數(shù)為Tl和Ton的兩個小慣性環(huán)節(jié)合并為一個慣性環(huán)節(jié)，時間常數(shù)T∑n=Tl+Ton，則在空載條件下，速度環(huán)控制對象的開環(huán)傳遞函數(shù)可以簡化為

根據(jù)調(diào)速系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)時無靜差和在動態(tài)時應有較好的抗擾動性能的要求，速度環(huán)按典型Ⅱ型系統(tǒng)校正［5］。速度環(huán)的被控對象由一個積分環(huán)節(jié)和一個小慣性環(huán)節(jié)組成，因此速度環(huán)采用PI 調(diào)節(jié)器，對應的傳遞函數(shù)為

式中，Kn表示比例系數(shù)，τn表示超前時間常數(shù)。

速度環(huán)經(jīng)過校正后，得到的開環(huán)傳遞函數(shù)為

式中，KN=βKn/(τn·J)，表示開環(huán)放大系數(shù)。

依據(jù)震蕩指標最小的準則［5］，選擇調(diào)節(jié)器的控制參數(shù)，速度環(huán)的開環(huán)增益為

式中，h表示控制系統(tǒng)中頻段的寬度，其數(shù)值大小能夠直接影響到系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間和擾動恢復時間等動態(tài)性能［5］，工程設(shè)計中h一般取值為4-5 效果較好，本系統(tǒng)中h取5。

Ton取 0. 001 s，T∑n=Ton+Tl=Ton+ 2T∑i=0.00124 s，J= 0.00362 kg × m2，β暫取1。則速度環(huán)調(diào)節(jié)器參數(shù)為τn=hT∑n= 0.0062 s，78043.7，Kn=KNτnJ/β= 1.75，截止頻率ωcn=KNτn=483.87。

使用MATLAB 中的Bode 函數(shù)，繪制速度環(huán)調(diào)節(jié)器加入前后的速度環(huán)開環(huán)頻率響應曲線，如圖5 所示。在沒有加入校正環(huán)節(jié)時，得到的速度環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)的截止頻率為240rad/sec，對應的相角裕度為73°，此時控制系統(tǒng)不能夠滿足系統(tǒng)較高的穩(wěn)態(tài)和較快的響應速度的要求；調(diào)整后的速度環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)的截止頻率為404rad/sec，對應的相角裕度為42°，此時的控制系統(tǒng)能夠滿足系統(tǒng)較高的穩(wěn)定性和較快的響應速度的要求。

圖5 速度環(huán)校正前后Bode圖Fig.5 Bode diagram before and after speed loop correction

2.3 位置環(huán)調(diào)節(jié)器設(shè)計

速度環(huán)經(jīng)簡化處理后可作為位置環(huán)的一個環(huán)節(jié)，將時間常數(shù)為Top、τn和T∑n三個小慣性環(huán)節(jié)合并為一個慣性環(huán)節(jié)，時間常數(shù)T∑p=Top+τn+T∑n，則位置環(huán)控制對象的開環(huán)傳遞函數(shù)可以簡化為

位置環(huán)控制系統(tǒng)設(shè)計的基本要求是在保證系統(tǒng)無超調(diào)量的前提下，響應速度盡可能快，因此按照典型Ⅰ型系統(tǒng)對位置環(huán)控制系統(tǒng)進行校正［5］。本文采用P 調(diào)節(jié)器對位置環(huán)控制系統(tǒng)進行設(shè)計，對應的傳遞函數(shù)為

式中，KP表示比例系數(shù)。

控制系統(tǒng)經(jīng)過校正后，得到位置環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

為了控制電流的超調(diào)量在5% 以內(nèi)，這里取γKPT∑p= 0.5，Top= 0.01s，τn= 0.0062 s，T∑n=0.00124 s，則T∑p= 0.01744 s，T∑n= 0.00124 s，r 暫 取1。位置環(huán)調(diào)節(jié)參數(shù)為KP= 28.67，開環(huán)截止頻率為ωcp=KP= 28.67 Hz。

使用MATLAB 中的Bode 函數(shù)繪制位置環(huán)調(diào)節(jié)器加入前后的位置環(huán)開環(huán)頻率響應曲線，如圖6 所示。控制系統(tǒng)在加入位置環(huán)調(diào)節(jié)器之前，開環(huán)傳遞函數(shù)的截止頻率為1. 15rad/sec，對應的相角裕度接近90°，因此位置環(huán)無法保持穩(wěn)定；加入校正環(huán)節(jié)后得到的開環(huán)傳遞函數(shù)截止頻率為27. 2rad/sec，對應的相角裕度為75°，位置環(huán)的穩(wěn)態(tài)性能和動態(tài)響應性能有待提高。因此將位置環(huán)比例系數(shù)KP調(diào)整到56，此時位置環(huán)的截止頻率為49. 5rad/sec，對應的相角裕度為48°，控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能和動態(tài)響應性能都比較滿意。

圖6 位置環(huán)校正前后Bode圖Fig.6 Bode diagram before and after position loop correction

3 仿真驗證

在完成控制系統(tǒng)建模和控制器設(shè)計后，采用模塊化設(shè)計方法在Matlab/Simulink平臺上設(shè)計系統(tǒng)仿真模型［9］，具體如圖7 所示，主要包括無刷直流電機本體、轉(zhuǎn)子邏輯換相、三相逆變橋驅(qū)動和舵機控制器四個模塊。參照實際伺服電機性能參數(shù)設(shè)定電機仿真參數(shù)，從系統(tǒng)快速響應性能和跟蹤特性兩方面進行仿真實驗［10］，其中負載設(shè)計為隨角度增大而增大的彈性負載。

圖7 控制系統(tǒng)仿真模型Fig.7 Control system simulation model

3.1 快速性能測試

為了測試舵機控制系統(tǒng)的動態(tài)響應性能和穩(wěn)態(tài)精度，施加幅值為±10°的階躍信號，測量得到系統(tǒng)響應輸出的仿真結(jié)果如圖8 所示。由圖8 可知，系統(tǒng)在＋10°階躍信號激勵下的上升時間為12. 2 ms，調(diào)節(jié)時間為18. 3 ms，超調(diào)量為1. 2%；－10°階躍信號激勵下的上升時間為12. 2 ms，調(diào)節(jié)時間為18. 3 ms，超調(diào)量為1. 2%，滿足舵機伺服系統(tǒng)設(shè)計的動態(tài)響應性能指標要求。

圖8 階躍信號響應仿真曲線Fig.8 Step signal response simulation curve

3.2 跟隨性能測試

為了測試舵機控制系統(tǒng)的跟蹤性能，分別施加幅值為2°、5°以及頻率為1 Hz、2 Hz 和5 Hz 的正弦波信號。系統(tǒng)在不同正弦激勵信號下的仿真結(jié)果如表1 所示。由表1 可知，隨著激勵信號頻率增大，系統(tǒng)響應輸出幅值減小、相移增大、跟蹤誤差增大；隨著激勵信號幅值增大，系統(tǒng)相移增大、跟蹤誤差增大。

表1 跟隨性能仿真結(jié)果Tab.1 Simulation results of follow performance

4 結(jié)語

本文提出了一種基于工程經(jīng)驗的PID 設(shè)計方法，完成了電動舵機系統(tǒng)控制器設(shè)計，給出了電流、速度、位置三閉環(huán)調(diào)節(jié)器結(jié)構(gòu)和控制參數(shù)選擇依據(jù)，最后利用Matlab/Simulink 工具箱搭建系統(tǒng)仿真模型，設(shè)計了控制系統(tǒng)快速響應性能和跟隨特性實驗，仿真結(jié)果表明，本文所建立的數(shù)學模型能夠準確描述舵機控制系統(tǒng)，控制器穩(wěn)態(tài)精度和響應速度指標均達到設(shè)計要求。