不確定分布時滯系統(tǒng)的全局魯棒滑模控制

田柳青

（呂梁職業(yè)技術(shù)學(xué)院電子信息系，山西孝義 032300）

在工程控制系統(tǒng)中，常存在影響控制性能的因素。如時滯、外加干擾等。從被控對象建模來看，存在分布時滯，與事物的本質(zhì)更加接近。如文獻(xiàn)［1］提出的材料熱加工采用的是具有分布時滯的拋物型系統(tǒng)。近幾年，針對分布時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制等問題，各國學(xué)者對其進(jìn)行了廣泛的研究［2-7］。

滑?！敖Y(jié)構(gòu)”是不固定的非線性控制（SMC），具有設(shè)計(jì)簡單、抗干擾、無需在線辨識等優(yōu)點(diǎn)。所以經(jīng)常用于控制分布時滯系統(tǒng)中。文獻(xiàn)［8］中，分布時滯系統(tǒng)沒有考慮系統(tǒng)參數(shù)不確定性的影響及設(shè)計(jì)的自適應(yīng)滑?？刂破鞫墩駠?yán)重。文獻(xiàn)［9］討論的是含有分布時滯的2-型模糊系統(tǒng)，針對參數(shù)抖動設(shè)計(jì)了帶有容錯功能的滑模控制器。文獻(xiàn)［10］所涉及的中立型系統(tǒng)，含有分布時滯，設(shè)計(jì)的滑?？刂破鳑]有涉及外部干擾的問題。

通常，傳統(tǒng)SMC 中包含趨近和滑動兩種模態(tài)。為消除趨近模態(tài)易受到不確定性的干擾，使系統(tǒng)狀態(tài)始終保持在具有魯棒性的滑動模態(tài)上，眾多學(xué)者針對全局滑?？刂七M(jìn)行了研究［11-14］。同時為了更好地解決被控對象外部干擾引起的系統(tǒng)不穩(wěn)定問題，文獻(xiàn)［15-17］引入自適應(yīng)方法，通過自適應(yīng)律實(shí)時估計(jì)外部干擾，自適應(yīng)與滑?？刂频慕Y(jié)合改進(jìn)了控制性能。

本文針對在狀態(tài)時滯和分布時滯中同時存在不確定性因素以及外部干擾的一類復(fù)雜分布時滯系統(tǒng)，為實(shí)現(xiàn)整個控制過程都處在滑動模態(tài)階段，設(shè)計(jì)了帶初始狀態(tài)條件的滑模面，使系統(tǒng)狀態(tài)始終保持在具有魯棒性的滑動模態(tài)上，實(shí)現(xiàn)全局滑模。為證明滑模穩(wěn)定，其充分條件由Lyapunov 泛函結(jié)合Jensen 不等式與Schur 補(bǔ)，轉(zhuǎn)換成LMI 的形式，方便求解。為解決外部干擾引入自適應(yīng)方法，設(shè)計(jì)了自適應(yīng)滑?？刂破鳎抡妫?8］說明了控制方法有效可行并降低了抖振。

1 系統(tǒng)描述及相關(guān)引理

考慮以下一類在狀態(tài)時滯和分布時滯中同時存在不確定性因素和外加干擾的分布時滯系統(tǒng)：

其中，x(t) ∈Rn是狀態(tài)變量，u(t) ∈Rm是控制輸入。h1＞0為狀態(tài)時滯，h2＞0為分布時滯。A0，A1，A2∈Rn×n為已知狀態(tài)矩陣，B∈Rn×m為已知輸入矩陣。ΔA0，ΔA1，ΔA2為不確定的系統(tǒng)參數(shù)矩陣。f(x，t) ∈Rn為系統(tǒng)外部擾動。φ(t) ∈Rn為連續(xù)的任意初始狀態(tài)向量函數(shù)。

在全文做如下假設(shè)：

假設(shè)1對于被控系統(tǒng)（1），所有狀態(tài)可直接測量。其中矩陣B列滿秩，(A0，B)是完全可控的。

假設(shè)2不確定項(xiàng)ΔA0，ΔA1，ΔA2，f(x，t) 滿足ΔA0=BE0，ΔA1=BE1，ΔA2=BE2，f=BF的匹配性條件。因此，記F]，則系統(tǒng)（1）可化簡為

假設(shè)3存在未知正常數(shù)q1，q2，滿足

為證明滑模穩(wěn)定性，需要下面的引理：

引理1［19］（Jensen不等式）

給定實(shí)數(shù)α，β且α＞β及正定矩陣S，則下列不等式成立，即

引理2［20］（Schur補(bǔ)定理）對于對稱矩陣：

則下面三個條件等價。

2 全局魯棒滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

2.1 積分型滑模面設(shè)計(jì)

對于系統(tǒng)（1），構(gòu)造如下的帶初始狀態(tài)條件的滑模面：

其中，D∈Rm×n為滿秩常數(shù)矩陣，D的選擇不唯一且滿足DB是非奇異。待定常數(shù)矩陣K∈Rm×n。

對于任意初始條件x(0)，消除了控制到達(dá)階段，滑模面（4）都可以滿足S(x(0)，0) = 0。對式（4）求導(dǎo)并代入式（2）得

令S= 0，= 0，解出等效控制律為

將式（5）代入式（2），符合假設(shè)1 的理想滑動運(yùn)動方程為

令

即理想滑動運(yùn)動方程的簡化形式為

2.2 滑模穩(wěn)定性分析及主要結(jié)論

定理1為證明滑模漸進(jìn)穩(wěn)定，使得下列LMI成立：

其中正定矩陣W，W1，W2是對稱的，Q是適當(dāng)維數(shù)的矩陣，K=QW-1是狀態(tài)反饋控制增益。

且

證明：設(shè)計(jì)Lyapunov-Krasovskii泛函數(shù)為

其中，

由引理1得：

其中，

由引理2得公式∑＜0，則＜0

等價于：

針對滑動模態(tài)，為滿足其漸進(jìn)穩(wěn)定，令P-1=W，用分別左乘、右乘公式，則V·＜0。證畢。

2.3 自適應(yīng)全局魯棒滑?？刂?/h3>

對于系統(tǒng)（1）設(shè)計(jì)自適應(yīng)全局滑?？刂破?，即

控制律包括兩部分，其中，ucon是連續(xù)部分，udis是不連續(xù)部分。則對于任意初始狀態(tài)，在控制律（9）作用下系統(tǒng)（1）始終處在滑模面上。首先設(shè)計(jì)ucon，它等于原系統(tǒng)（1）對應(yīng)的標(biāo)稱系統(tǒng)（2）在滑模面上的等效控制，即

下面設(shè)計(jì)udis。由系統(tǒng)的假設(shè)3，其中q1和q2是不確定性的上界，是未知的，取和為q1和q2的估計(jì)值，參數(shù)偏差為

根據(jù)滑模面選擇適當(dāng)?shù)淖赃m應(yīng)律為

不連續(xù)控制律為

其中，ε為正常數(shù)。

將式（10）和（12）代入（9）即可得到完整的自適應(yīng)全局魯棒滑?？刂坡?，即

定理2對于在狀態(tài)時滯和分布時滯中同時存在不確定性因素以及外部干擾的分布時滯系統(tǒng)（1），在有限時間內(nèi)，控制律（13）能保證狀態(tài)保持在積分滑模面（4）上。

證明取Lyapunov函數(shù)

沿著式（2）對其求導(dǎo)，得

所以

證畢，即滿足有限時間內(nèi)，系統(tǒng)（1）在控制律（13）的作用下到達(dá)并穩(wěn)定于滑模面（4）上。

由于控制律（13）中符號函數(shù)可能導(dǎo)致嚴(yán)重的抖振，飽和函數(shù)為

代替符號函數(shù)可以得到降低抖振的自適應(yīng)全局魯棒滑模控制律，即

3 仿真實(shí)例

考慮系統(tǒng)（1），參數(shù)如下：

通過MATLAB工具箱，求解LMI（7）-（8），得

解得

滑模面為

控制律（13）為

控制律（15）為

設(shè)初始條件為x(t) = [ 0.5 1]T，t∈[ -0.6，0 ]

在控制律（13）的作用下自適應(yīng)參數(shù)、狀態(tài)、滑模面、控制律，仿真結(jié)果如圖1-5。

圖1 控制律(13)作用下的xFig.1 x with control law(13)

圖2 控制律(13)作用下的SFig.2 S with control law(13)

圖3 控制律(13)作用下的uFig.3 u with control law(13)

圖4 控制律(13)作用下的q1Fig.4 q1 with control law(13)

圖5 控制律(13)作用下的q2Fig.5 q2 with control law(13)

在自適應(yīng)全局魯棒滑?？刂坡桑?5）的作用下自適應(yīng)參數(shù)、狀態(tài)、滑模面、控制律，仿真結(jié)果如圖6-圖10。

圖6 控制律(15)作用下的xFig.6 x with control law(15)

圖10 控制律(15)作用下的q2Fig.10 q2 with control law(15)

由圖1-5 仿真結(jié)果表明，在控制律（13）的控制下，狀態(tài)x、滑模面S、控制律u抖振嚴(yán)重，控制性能差。通過對比，圖6-10 所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)全局魯棒滑?？刂破鳎?5）減小了控制抖振，圖6 中系統(tǒng)狀態(tài)曲線更加平滑，響應(yīng)速度更快。圖7 表明在響應(yīng)的全過程，消除了控制的到達(dá)階段，改善了動態(tài)性能。圖8 表明控制律降低了抖振。通過MATLAB 仿真，結(jié)果顯示控制方法有效可行。

圖7 控制律(15)作用下的SFig.7 S with control law(15)

圖8 控制律(15)作用下的uFig.8 u with control law(15)

圖9 控制律(15)作用下的q1Fig.9 q1 with control law(15)

4 結(jié)論

針對在狀態(tài)時滯和分布時滯中同時存在不確定性因素以及外部干擾的一類復(fù)雜分布時滯系統(tǒng)，本文采用全局滑模的思想，設(shè)計(jì)了帶初始狀態(tài)條件的滑模面，消除了傳統(tǒng)滑?？刂破髦械牡竭_(dá)模態(tài)，提高了魯棒性能。通過合理構(gòu)造自適應(yīng)律解決了外部干擾的問題。用飽和函數(shù)降低系統(tǒng)抖振，曲線更加平滑，仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文提出的全局魯棒滑模有效可行。但分布時滯系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，控制起來比較困難，其實(shí)際的控制方法與穩(wěn)定性能需進(jìn)一步研究。