數(shù)學(xué)概念教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)史的教學(xué)設(shè)計(jì)與反思
——以“數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入”為例

鄒泗勇 (浙江省杭州市長河高級中學(xué) 310052)

1 教學(xué)背景

近年來，數(shù)學(xué)史的運(yùn)用成為中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)開發(fā)的一個(gè)熱點(diǎn)．根據(jù)孔德(A.Comte,1798—1857)和斯賓塞(H.Spencer,1820—1903)的理論：“個(gè)體知識的發(fā)生遵循人類知識的發(fā)生過程．困擾世界的東西也會困擾兒童，學(xué)生的學(xué)習(xí)困難具有歷史的相似性．”所以，課堂上結(jié)合數(shù)學(xué)史，不僅有利于學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解，也能活躍課堂氣氛激發(fā)學(xué)習(xí)興趣．另一方面，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)離不開數(shù)學(xué)發(fā)展的時(shí)間軸，數(shù)學(xué)概念具有豐富的維度，數(shù)學(xué)概念的傳授盡可能要聯(lián)系這個(gè)概念的來龍去脈，特別要重視這個(gè)概念的歷史，從歷史的發(fā)展過程去學(xué)習(xí)這個(gè)概念，才能理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，更利于達(dá)成“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維分析世界，用數(shù)學(xué)的語言描述世界”．

新高一采用的人教A版教材(2019年版)特別強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)史的運(yùn)用，筆者認(rèn)為，這非常符合培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求．在《復(fù)數(shù)》章節(jié)，教材和教參都在強(qiáng)調(diào)：“要適當(dāng)?shù)亟榻B歷史史實(shí)，讓學(xué)生感受理性精神．”章建躍教授也撰文稱：“在復(fù)數(shù)的教學(xué)中，通過介紹復(fù)數(shù)的發(fā)展歷史，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化和精神，理解復(fù)數(shù)的概念和意義，應(yīng)該成為重點(diǎn)．”結(jié)合這些精神，筆者進(jìn)行了嘗試．

2 教學(xué)設(shè)想

復(fù)數(shù)的教學(xué)重點(diǎn)是要讓學(xué)生體會引入虛數(shù)i的必要性、合理性，以期建立理性思維．把這個(gè)概念“粗暴式”“填鴨式”地給學(xué)生，勢必會阻礙學(xué)生對虛數(shù)i的理解．教參給本章內(nèi)容分配了8課時(shí)，其中復(fù)數(shù)的概念2課時(shí)，本節(jié)課是第1課時(shí)，主要是引入虛數(shù)的概念．對于i的引入，一定要讓學(xué)生感知其必要性和合理性．?dāng)?shù)系的擴(kuò)充不能盲目進(jìn)行，必須有一定之規(guī)．所以，本課時(shí)從歷史上通過解方程發(fā)現(xiàn)虛數(shù)i的過程，讓學(xué)生感受到虛數(shù)i的產(chǎn)生自然又合理．結(jié)合從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)時(shí)體現(xiàn)的“規(guī)則”，即：數(shù)系擴(kuò)充后，在實(shí)數(shù)集中規(guī)定的加法運(yùn)算、乘法運(yùn)算，與原來有理數(shù)集中規(guī)定的加法運(yùn)算、乘法運(yùn)算協(xié)調(diào)一致，并且加法和乘法都滿足交換律和結(jié)合律，乘法對加法滿足分配律．類比從有理數(shù)系擴(kuò)充到實(shí)數(shù)系的過程和方法，對實(shí)數(shù)系進(jìn)行進(jìn)一步擴(kuò)充，將實(shí)數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系．通過這個(gè)過程，體現(xiàn)數(shù)系擴(kuò)充過程中理性思維的作用，提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)．

3 教學(xué)設(shè)計(jì)

3.1 再現(xiàn)歷史，創(chuàng)設(shè)情境，誘發(fā)認(rèn)知沖突

我們知道，很早的時(shí)候，人們就會求解方程了.早在公元前1600年前，尼羅河畔的古埃及，就記錄了一元一次和一元二次方程問題．古希臘著名數(shù)學(xué)家丟番圖(約公元200年—284年)就是一個(gè)解方程的高手，不管是一次方程還是二次方程，他都能熟練地求解．我國西漢的張倉整理編撰了《九章算術(shù)》，在其《少廣章》中就能用算籌計(jì)算形如x2+460x=2 325這類方程.可見，我國對一元二次方程求解技巧的掌握也是很早的．

我們來看看一千多年前的丟番圖是如何解一元二次方程的．

丟番圖的這個(gè)解法不是他首創(chuàng)的，而是來源于更古老的古巴比倫，所以后人給丟番圖起了個(gè)“盛開的古巴比倫之花”的名號．

設(shè)計(jì)意圖通過對歷史上中外解方程的回顧，讓學(xué)生了解世界數(shù)學(xué)文明，了解我國古代燦爛的數(shù)學(xué)成就，增加民族自豪感，滲入愛國主義教育．

師：對丟番圖的解法，有兩個(gè)問題：(1)丟番圖為什么不用求根公式？(2)丟番圖解出的根有兩種情況是要舍去的，一是負(fù)根，二是誤差的被開方數(shù)小于0．對此，請同學(xué)們發(fā)表自己的意見．

生1：他覺得自己這個(gè)解法更好．

生2：他還不會用求根公式．

師：對的，求根公式的熟練使用要到公元9世紀(jì)的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子密．

生3：負(fù)數(shù)可能不符合題目意思，所以他要舍去，而被開方數(shù)小于零是要舍去．

生4：當(dāng)時(shí)可能沒有負(fù)數(shù)吧，而負(fù)數(shù)開平方?jīng)]意義，肯定要舍去．

設(shè)計(jì)意圖設(shè)置誘發(fā)式提問，問題(1)揭示數(shù)學(xué)概念的形成是不斷發(fā)展的，不是一成不變的，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維能力．問題(2)為之后的思維遷移作鋪墊，人們對負(fù)數(shù)根的認(rèn)識一開始也是無法理解的，所以就不予考慮(舍去)，現(xiàn)在想想，舍去負(fù)根的做法實(shí)在太輕率了，從而誘發(fā)思考負(fù)數(shù)開平方舍去的做法是否有拓展的空間．

師：當(dāng)時(shí)確實(shí)是還沒有負(fù)數(shù)，求出負(fù)數(shù)會認(rèn)為沒有意義，所以要舍去，就像我們現(xiàn)在認(rèn)為負(fù)數(shù)開平方?jīng)]有意義，要舍去．西方要到16世紀(jì)才接受負(fù)數(shù)．我國對負(fù)數(shù)的認(rèn)識遠(yuǎn)遠(yuǎn)早于西方，在西漢時(shí)期的《九章算術(shù)》中就提出了負(fù)數(shù)的運(yùn)算法則：“異名相除，同名相益，正無入正之，負(fù)無入負(fù)之．”這在世界數(shù)學(xué)史上都是讓人引以為傲的成果．

設(shè)計(jì)意圖通過無理數(shù)不同“種”的區(qū)別，為后面讓學(xué)生書寫復(fù)數(shù)的一般形式作鋪墊．

師：從一元二次方程的求根公式被阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子密發(fā)現(xiàn)后，人們就開始尋找一元三次方程的求根公式．意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹在他出版的《大術(shù)》中，公布了一元三次方程的求根公式．

師：你們說說，這是什么情況？

生5：他算錯(cuò)了．

生6：可能是卡爾丹的公式錯(cuò)了．

師：若公式?jīng)]錯(cuò)呢？

生(茫然)：……那就只有相等了．

設(shè)計(jì)意圖通過對x3=15x+4這個(gè)方程的求解，暴露問題，引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，為引入虛數(shù)作準(zhǔn)備．

3.2 層層遞進(jìn)，利用已有的知識點(diǎn)，類比推理出虛數(shù)概念

師：其實(shí)邦貝利發(fā)現(xiàn)的這個(gè)問題，當(dāng)時(shí)很多數(shù)學(xué)家都發(fā)現(xiàn)了．負(fù)數(shù)開平方對那個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)家來說，不僅荒謬，而且還神秘．卡爾丹說：“這些令人費(fèi)解的結(jié)果既精致又不中用，即使拋開精神上的痛苦，對它進(jìn)行計(jì)算，確實(shí)讓人矯揉造作．”萊布尼茨也說：“我從未見過比這更奇異、更矛盾的事．對于負(fù)數(shù)的平方根這類數(shù)，我們只能斷言，它們既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它們純屬虛幻．”

我們來回顧一下數(shù)系的擴(kuò)充過程：

NZQR?x-1=0有解有解有解有解有解x+1=0無解有解有解有解有解2x-1=0無解無解有解有解有解x2-2=0無解無解無解有解有解x2+1=0無解無解無解無解有解可實(shí)施運(yùn)算加、乘、乘方加、減、乘、乘方加、減、乘、除、乘方加、減、乘、除、乘方加、減、乘、除、乘方、開方

設(shè)計(jì)意圖采用PPT投影，逐級展示方程從無解到有解的過程，使學(xué)生的認(rèn)知水平從“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)，重構(gòu)數(shù)系的擴(kuò)充過程，明白數(shù)系擴(kuò)充的必要性、連續(xù)性和合理性，進(jìn)而類比抽象概括出虛數(shù)概念的存在性．理解i不是憑空產(chǎn)生，避免任何神秘感．

師：我們知道，負(fù)數(shù)都是由-1乘上一個(gè)正數(shù)構(gòu)成，那么負(fù)數(shù)的開平方問題就歸結(jié)為-1開平方的問題．就是得有一個(gè)數(shù)，它的平方等于-1，到底是什么數(shù)呢？笛卡爾把這個(gè)數(shù)叫虛數(shù)，歐拉用“i”來表示，其實(shí)來源于imaginary(虛數(shù)的，虛構(gòu)的)，即i2=-1．

師：如果i2=-1，那么i3=?,i4=?

生：i3=i·i2=-i,i4=i2·i2=1.

學(xué)生總結(jié)：i的運(yùn)算有個(gè)規(guī)律，即i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i.

師：大家寫寫看，看看能寫出哪些不同類型的虛數(shù)．

(投影展示部分學(xué)生所寫，如圖1)

圖1

師生總結(jié)：虛數(shù)是由兩個(gè)維度構(gòu)成，所以所有的虛數(shù)都可以表示成z=a+bi(a,b∈R)的形式，其中a叫實(shí)部，i前面的系數(shù)b叫虛部．b=0時(shí)就是實(shí)數(shù)，b≠0時(shí)就是虛數(shù)，實(shí)數(shù)與虛數(shù)統(tǒng)稱為復(fù)數(shù)，記作C．

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生自己動手，師生總結(jié)，多維度、多角度加深學(xué)生對復(fù)數(shù)一般形式的認(rèn)識．

3.3 歸納總結(jié)

圖2

設(shè)計(jì)意圖對新知識點(diǎn)作提綱挈領(lǐng)式的總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生多渠道、多形式歸納的能力，構(gòu)建數(shù)集之間的聯(lián)系，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，升華對復(fù)數(shù)概念的理解，滲透數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)．

3.4 練習(xí)訓(xùn)練，完善加固概念

練習(xí)1：當(dāng)實(shí)數(shù)取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z=m2+m-2+(m-1)i是①實(shí)數(shù)；②虛數(shù)；③純虛數(shù)？

練習(xí)2：已知復(fù)數(shù)z1=3+(2m-1)i,z2=n+1+i(m,n∈R)，當(dāng)實(shí)數(shù)m,n取什么值時(shí)，z1=z2？

設(shè)計(jì)意圖消化落實(shí)知識點(diǎn)，掌握新知識點(diǎn)的解題應(yīng)用，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)．

師：最后我們看看邦貝利的問題．

設(shè)計(jì)意圖呼應(yīng)前面問題，解決課堂疑問，建立克服困難、解決問題的信心．

師：虛數(shù)闖進(jìn)數(shù)的領(lǐng)域時(shí)，人們對它的實(shí)際用處一無所知，在實(shí)際生活中似乎沒有用復(fù)數(shù)來表達(dá)的量，因此在很長一段時(shí)間里，人們對它產(chǎn)生過種種懷疑和誤解．19世紀(jì)，經(jīng)過柯西、高斯、黎曼等的努力，復(fù)數(shù)以漂亮的復(fù)變量函數(shù)論贏得了歷史地位.微分幾何的開創(chuàng)者陳省身先生曾說過：“幾何中復(fù)數(shù)的重要性對我而言充滿神秘，它是如此優(yōu)美而又渾然一體，令人陶醉．”接下來，我們將進(jìn)一步學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)，領(lǐng)略復(fù)數(shù)迷人之美(圖3)．

圖3

設(shè)計(jì)意圖宏觀概括復(fù)數(shù)的功能，升華復(fù)數(shù)在學(xué)生心中的地位，孕育學(xué)習(xí)期待，為后續(xù)內(nèi)容的展開增加興趣與動力．

4 教學(xué)反思

數(shù)學(xué)概念課容易上得枯燥無趣，如何上好、上活概念課，是教師比較頭痛的一個(gè)問題．筆者認(rèn)為，深入發(fā)掘概念的內(nèi)涵和外延，讓概念課變得豐富有趣，數(shù)學(xué)史的應(yīng)用是一個(gè)很好的切入點(diǎn)．

從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史中，不僅能感受概念形成的背景，理解概念發(fā)展的連續(xù)性、必然性、合理性，還能感受到前人是如何發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的．這個(gè)過程是寶貴的思維財(cái)富，我們要盡可能挖掘，讓學(xué)生充分感受理性思維的魅力，從而提高自己理性思維的能力．通過這些歷史材料背景了解數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生與發(fā)展過程，把數(shù)學(xué)知識看作動態(tài)發(fā)展的結(jié)果，有助于從其長期的發(fā)展過程中深刻領(lǐng)會其內(nèi)涵和本質(zhì)，以理解并掌握數(shù)學(xué)概念．另外，數(shù)學(xué)史融入高中課堂教學(xué)可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，可以幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值和文化價(jià)值，領(lǐng)略數(shù)學(xué)家的人格魅力，接受思想教育．因此，在課堂中有效地利用數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化，讓學(xué)生多方位、多角度地感受知識的產(chǎn)生過程，更有利于學(xué)生理解和掌握知識．

在本節(jié)概念課的教學(xué)中，先從丟番圖解方程的角度出發(fā)，開場就吸引學(xué)生注意，學(xué)生好奇古人是怎么解一元二次方程的；然后設(shè)計(jì)兩個(gè)簡單的問題，在解答問題時(shí)順帶講解我國古代數(shù)學(xué)成就，以此增加民族自豪感，潛移默化地進(jìn)行愛國主義教育，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．接著再拋出主要問題——負(fù)數(shù)開平方，引發(fā)認(rèn)知沖突．用前面的鋪墊啟發(fā)學(xué)生正視問題．為解決問題，必須擴(kuò)充數(shù)系，怎么擴(kuò)充呢？這是這節(jié)課的難點(diǎn)和重點(diǎn).為此，筆者結(jié)合虛數(shù)產(chǎn)生歷史，安排了一次方程、二次方程求解的例子，用已知的數(shù)系擴(kuò)充經(jīng)驗(yàn)來類比推理出擴(kuò)充后的復(fù)數(shù)集，讓學(xué)生感知數(shù)系擴(kuò)充的必要性、連續(xù)性和合理性，為虛數(shù)i的引入掃清障礙．然后師生總結(jié)，練習(xí)鞏固，再回到開頭，解決開始預(yù)設(shè)的問題，讓學(xué)生通過問題的解決產(chǎn)生成就感，從而體會獲取知識的樂趣，增加學(xué)習(xí)興趣．最后是一個(gè)總結(jié)性拔高，是本節(jié)課的結(jié)束，也是下節(jié)課的開始，目的是引起學(xué)生的好奇，為復(fù)數(shù)的后期學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)．

本節(jié)課的不足之處是數(shù)學(xué)史的準(zhǔn)備還不夠充分，學(xué)生對三次方程的求解過程了解還有欠缺，學(xué)生的主動參與度還不夠，應(yīng)該在問題的設(shè)計(jì)中多設(shè)計(jì)一些有梯度的問題，激發(fā)學(xué)生探索問題的積極性．