指向數(shù)學(xué)文化育人的教學(xué)實踐
——以“平方根”的教學(xué)為例*

潘金城 (江蘇省揚中市新壩中學(xué) 212200)

莊志紅 (江蘇省鎮(zhèn)江市教育科學(xué)研究中心 212008)

1 引言

數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發(fā)展，還包括數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會發(fā)展中的貢獻和意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動．丁石孫教授曾說：“我們長期以來，不僅沒有認識到數(shù)學(xué)是一種文化，而且這種狀況在相當程度上影響了數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)教育．”因此，數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)課程內(nèi)容、融入數(shù)學(xué)教學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的自身價值、科學(xué)價值、社會價值與精神價值顯得尤為必要．本文以“平方根”教學(xué)為例，探討如何基于數(shù)學(xué)文化設(shè)計數(shù)學(xué)教學(xué)活動．

2 教學(xué)簡析

“平方根”是學(xué)生進入初中階段所學(xué)的新概念，是繼認識自然數(shù)、分數(shù)、負數(shù)后接觸無理數(shù)的開始，對后繼學(xué)習立方根、二次根式、一元二次方程的解法有著重要影響．現(xiàn)行蘇科版八年級上冊教材將“平方根”的內(nèi)容安排在繼“勾股定理”學(xué)習后“實數(shù)”單元的第1節(jié)(2課時)，其教學(xué)起著統(tǒng)領(lǐng)意義．

為此，確定如下教學(xué)目標：(1)通過數(shù)的發(fā)展史感受研究“數(shù)的開方”的必要性，了解平方根、算術(shù)平方根概念；(2)通過介紹“方根符號歷史”認識根號，并會用根號表示平方根和算術(shù)平方根；(3)基于數(shù)的運算發(fā)展史，了解開方與乘方之間的內(nèi)在關(guān)系，會用平方運算求一些非負數(shù)的平方根和算術(shù)平方根；(4)借助跨學(xué)科問題的解決感受平方根應(yīng)用的廣泛性．

3 教學(xué)設(shè)計與實施

由于“平方根”是“實數(shù)”單元的第1節(jié)內(nèi)容，既是“有理數(shù)”認識的后續(xù)，又對本單元內(nèi)容的學(xué)習起著統(tǒng)領(lǐng)作用．這節(jié)課的目標之一就是教師要引導(dǎo)學(xué)生從知識的發(fā)展性和完備性認識數(shù)，讓學(xué)生知道為什么學(xué)、學(xué)什么、怎樣學(xué)，同時從大的知識框架下理解本章學(xué)習的重要性和目的性．本節(jié)課運用汪曉勤教授所提出的“點綴式、附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式”融入現(xiàn)行數(shù)學(xué)課程，發(fā)揮各類素材的學(xué)科育人功能，改造和運用數(shù)學(xué)文化素材，從“情境引入、探究釋疑、學(xué)以致用和總結(jié)提升”四個活動設(shè)計教學(xué)，提升數(shù)學(xué)育人的實效．

3.1 情境引入

情境1 觀察表1，你知道數(shù)是怎樣發(fā)展的嗎？

表1 數(shù)的起源與發(fā)展

設(shè)計說明以“點綴式”介紹數(shù)的發(fā)展，讓學(xué)生知道認識數(shù)的過程漫長，感受到分數(shù)的產(chǎn)生源于“分”，引進分數(shù)線“—”表示兩整數(shù)不能整除；負數(shù)的產(chǎn)生源于“盈虧”和“解方程”，引進負號“-”表示不夠減．以“附加式”的方式介紹公元前5世紀畢達哥拉斯學(xué)派的希伯索斯發(fā)現(xiàn)并證明了正方形的邊長與它的對角線不可公度，從而引發(fā)“第一次數(shù)學(xué)危機”，讓學(xué)生感受無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)曲折．對數(shù)學(xué)發(fā)展歷史以“復(fù)制式”將數(shù)進行分類，引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)建實數(shù)體系，為系統(tǒng)學(xué)習實數(shù)啟航．

情境2 觀察“畢達哥拉斯螺線”(圖1)，試填寫表2，你是怎樣計算的？你發(fā)現(xiàn)了什么？能提出什么問題？

表2

圖1

設(shè)計說明利用“畢達哥拉斯螺線”圖，以“復(fù)制式”設(shè)計情境2，激活學(xué)生的元認知，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)x1,x2,x4,x5對應(yīng)線段與x3對應(yīng)線段一樣客觀存在，但長度難以捉摸，由此激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生認知沖突．在此基礎(chǔ)上，教師順勢利導(dǎo)提出一般性研究問題：當x2=a時，x是什么數(shù)？

3.2 探究釋疑

活動1 當a滿足什么條件時，存在x使得x2=a．

設(shè)計說明數(shù)的發(fā)展史告訴我們：在中國古代，負數(shù)的出現(xiàn)與方程有直接關(guān)聯(lián)．以知識的邏輯順序和學(xué)生的心理發(fā)生順序“重構(gòu)”歷史，提出探究主題：如果從方程視角看“x2=a”，那么我們就得思考x是否一定存在；如果存在，怎樣求出未知數(shù)x的值？引導(dǎo)學(xué)生從x與a的依存關(guān)系發(fā)現(xiàn)“x的存在性與a的符號之間的關(guān)聯(lián)”，進一步理解平方運算是研究開平方運算的前提．

活動2 填表：請同學(xué)們分別列舉a的不同的值，嘗試求x的值．

a=x2x

設(shè)計說明從數(shù)學(xué)運算發(fā)展史可看出：減法的研究基于加法，除法的研究基于乘法．學(xué)生可以感受到求未知數(shù)x值應(yīng)該基于平方運算，為此設(shè)計了“以開放的形式讓學(xué)生自主探究a和x的取值”.學(xué)生在獨自取值填表時會做大量的思考，獲取很多有用的信息，如描述平方根的定義，通過舉例知道平方根互為相反數(shù)的關(guān)系，能感受a≥0的必要性．在此基礎(chǔ)上獲得“平方根的性質(zhì)”便水到渠成．

3.3 學(xué)以致用

(1)若h=1 700 km，求V的值；

(2)若我國空間站距地面的高度為400 km，估計空間站繞地球一周需要多少分鐘？

設(shè)計說明數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會發(fā)展中的貢獻和意義及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動都屬于數(shù)學(xué)文化范疇，基于數(shù)學(xué)文化的知識應(yīng)用更具有內(nèi)容的趣味性、素材經(jīng)典性和思維的挑戰(zhàn)性．為此，我們對文[1]素材以“順應(yīng)式”的方式改編為問題1，其價值為：一方面設(shè)計切合時代背景的空間站問題，激發(fā)學(xué)生愛國之心與報國之志，充分體現(xiàn)情境育人價值；另一方面將平方根融于科技，加強知識在實際問題中的運用，體現(xiàn)“三會”數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，發(fā)揮學(xué)科育人價值．

問題2面積為72.5的正方形邊長更接近8還是更接近9？

設(shè)計說明以如何判斷兩個平方根數(shù)與某個自然數(shù)的大小為問題引發(fā)學(xué)生的認知沖突，從而抓住機會學(xué)習新數(shù)．這樣的設(shè)計不僅是為了喚起學(xué)生學(xué)習的積極性，更重要的是使得學(xué)生對知識的認識能夠更加深入．

3.4 總結(jié)提升(略)

4 教學(xué)思考

“平方根”是概念課教學(xué)的典型，它與“有理數(shù)”“分式”“根式”“方程”等內(nèi)容一樣在初中“數(shù)與代數(shù)”中起到舉足輕重的作用，是融入數(shù)學(xué)文化元素、體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化價值的重要載體．因此，教師不僅要理解數(shù)學(xué)文化的知識成份，更要去挖掘數(shù)學(xué)文化的觀念成份，即從關(guān)注數(shù)學(xué)思想、精神，關(guān)心學(xué)生的情感、態(tài)度和價值觀的視角設(shè)計和實施數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，以達到數(shù)學(xué)學(xué)科育人的目的．下面從三個維度進行分析．

4.1 與原編教材內(nèi)容的對比看——由“知識”走向“育人”

原編教材中“平方根”的內(nèi)容是“引入、概念、例題、練習”，素材的選擇聚焦知識技能，概念的探索體現(xiàn)“短、平、快”，旨在強調(diào)讓學(xué)生“學(xué)會”和“會用”，反映數(shù)學(xué)“硬”的特質(zhì)．從歷史視角剖析平方根，不難知道平方根的發(fā)現(xiàn)是人類對知識無限向往、對真理不懈追求，充滿愛恨情仇的發(fā)展史，體會到數(shù)學(xué)“柔”的特質(zhì)．古代數(shù)學(xué)家艱辛付出的歷史雖然不能重復(fù)，但其精神能夠激勵當下學(xué)生學(xué)習數(shù)學(xué)的熱情．從生活視角審視平方根，不難感受平方根概念提出后的近代數(shù)學(xué)研究成果促進和改變?nèi)祟惿鐣纳睿缆冯m然曲折漫長，但給學(xué)生播下數(shù)學(xué)能夠創(chuàng)造美好生活的信念．由此可見，數(shù)學(xué)文化融入課程讓學(xué)生感悟到知識的發(fā)生是自然的，知識的應(yīng)用是廣泛的，知識的力量是無窮的．

4.2 與傳統(tǒng)教學(xué)設(shè)計的比較看——由“實用”趨向“文化”

對于“平方根”的教學(xué)設(shè)計，大多數(shù)教師能“依標扣本”，較好地體現(xiàn)知識與技能目標，凸顯“實用”價值趨向．筆者近期聽了7節(jié)“平方根”教學(xué)的起始課，對于“為什么學(xué)”，四位教師設(shè)計了“算”(已知直角三角形兩直角邊，求斜邊長)，兩位教師設(shè)計了“拼”(用四個腰長為1的等腰直角三角形拼正方形，求邊長)，只有一位教師基于“數(shù)學(xué)文化”來設(shè)計(回顧數(shù)的發(fā)展史，提出研究新數(shù)的必要性)．對于“怎么學(xué)”即如何探究平方根的概念，7位教師的設(shè)計都沒有思考為什么古人把“x2=a”稱作“x為a的平方根”，沒有從“方程”的視角審視“x2=a”，因而設(shè)計碎片化，主線不清晰．解方程(組)是負數(shù)產(chǎn)生的根源，平方根概念的研究亦如此．對于“如何用”，教師的選材都基于課本“研究觀測者視線達到的最遠距離與觀測點高度、地球半徑之間關(guān)系”這個問題，但其缺陷在于數(shù)據(jù)是“湊”好的，感受不到平方根表示的價值；另外，問題的背景比較俗套，沒有融入現(xiàn)代元素，很難激發(fā)學(xué)生的求知欲．由此可見，一線教師運用數(shù)學(xué)文化設(shè)計教學(xué)的意識比較缺乏，因而站位不高，思想封閉．基于數(shù)學(xué)文化設(shè)計教學(xué)則能打通學(xué)生的認知障礙，豐富學(xué)生的思維，增強學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，充分彰顯文化價值．

4.3 從學(xué)生課堂反饋的情況看——由“習得”轉(zhuǎn)向“悟得”

在反思提升環(huán)節(jié)，筆者讓學(xué)生談?wù)剬W(xué)習本節(jié)課的收獲．

生3：我體會到了平方根在生活中的應(yīng)用價值和數(shù)學(xué)中的思維價值．如科學(xué)家設(shè)計空間站就用到了平方根的知識．我想到了物理電功率公式：P=I2R，若已知電功率和電阻大小，求電流I的值就需要開平方知識．

生4：我想問平方根的概念是怎樣產(chǎn)生的？2在實數(shù)范圍有平方根，但在有理數(shù)范圍內(nèi)沒有平方根；同樣的，-1在實數(shù)范圍內(nèi)沒有平方根，有沒有更大的數(shù)的范圍，使得-1有平方根？

從這些學(xué)生代表的回答看，學(xué)生不僅習得了平方根的概念與性質(zhì)，還悟得基于數(shù)學(xué)文化的新收獲：數(shù)學(xué)家的追求真理的可貴品質(zhì)、開更高次方的研究方法、數(shù)系還可能進一步擴大,等等．試想，如果沒有基于數(shù)學(xué)文化的教學(xué)設(shè)計，學(xué)生的想象力、思維力和聯(lián)系溝通能力還能如此豐富嗎？

5 結(jié)語

基于數(shù)學(xué)文化的教學(xué)活動設(shè)計與實施的路徑有助于教師在學(xué)科核心素養(yǎng)的指向下，挖掘顯性與隱性的文化素材，系統(tǒng)地梳理數(shù)學(xué)文化中所蘊含的知識結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)觀念，重視數(shù)學(xué)與文化背景、與現(xiàn)實生活、與其他學(xué)科的關(guān)聯(lián)，進一步更新教育觀念、優(yōu)化課程內(nèi)容、改變學(xué)習方式，促進學(xué)科育人目標的達成．