一道平面解析幾何考題的探究之旅

張 淦 (浙江省新昌中學(xué) 312500)

之前筆者參與了浙江省“9+1”高二聯(lián)考命題工作,命制了一道直線與橢圓的問題,結(jié)果學(xué)生的解答情況很不好.今年,一次高二?？贾惺褂昧诉@個(gè)題目.盡管考試的對象變了,但測試的結(jié)果還是不理想.解答正確的學(xué)生寥寥無幾,絕大多數(shù)學(xué)生雖然思路正確,但普遍不能將解題過程進(jìn)行到底.這說明學(xué)生對平面解析幾何的本質(zhì)認(rèn)識不到位，對解析幾何中算法的設(shè)計(jì)、選擇、優(yōu)化能力偏弱.為此,我們針對此題進(jìn)行了專題教學(xué),通過不同解題策略的探尋、實(shí)施、反思和比較，讓學(xué)生體會平面解析幾何的基本內(nèi)涵——傾向用代數(shù)的方法研究幾何問題[1]，在問題解決的過程中,根據(jù)幾何問題和圖形的特征,探索解決問題的思路,用恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)方法“解析”幾何的問題.

1 問題再現(xiàn)

圖1

(1)略；

(2)設(shè)直線OA,OB的斜率分別為k1,k2,且k1=λk2,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

2 解法探究

聯(lián)立直線l和橢圓C的方程,得到k的取值范圍.假設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo),利用兩點(diǎn)之間的斜率公式得到k1,k2的表達(dá)式,最終建立起λ與k之間的代數(shù)關(guān)系式.

從解答過程來看,很多學(xué)生也是化簡到此,無法再繼續(xù)下去.究其原因,是式中的x1與x2不具有對稱性,無法直接使用韋達(dá)定理.因此①式的處理是整個(gè)問題的關(guān)鍵所在.

策略1 千淘萬漉雖辛苦,吹盡狂沙始到金——“直接法”

點(diǎn)評 我們在解題時(shí),要理清題目的條件和需要解決的問題,明確問題和條件之間的聯(lián)系,看透問題的本質(zhì)，克服“怕運(yùn)算”的心理障礙,不妨將自然的解題策略付諸實(shí)踐.

策略2 山重水復(fù)疑無路,柳暗花明又一村——“零點(diǎn)代參法”

點(diǎn)評 在平面解析幾何中,應(yīng)用韋達(dá)定理結(jié)構(gòu)的對稱性進(jìn)行化簡計(jì)算,學(xué)生是比較熟悉的.但是,遇到非對稱問題時(shí),很多學(xué)生就無從下手.這時(shí)需要我們引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中認(rèn)識“不變”的本質(zhì),把握運(yùn)動變化中的不變性.

策略3 身“有”彩鳳雙飛翼,心有靈犀一點(diǎn)通——“對偶式法”

點(diǎn)評 蝴蝶因?yàn)橛辛恕半p飛翼”,才能翩翩起舞；雄鷹有了“雙飛翼”,才能翱翔天地.“雙飛翼”是自然界中對稱美的生動體現(xiàn).對偶式是指形式相似并具有一定對稱關(guān)系的兩個(gè)數(shù)學(xué)式子.在數(shù)學(xué)解題過程中,如果能觀察、思考,挖掘條件,構(gòu)造出潛在的對偶式,往往能使問題迎刃而解.“對偶式法”是數(shù)學(xué)中對稱美的生動體現(xiàn).

策略4 問渠那得清如許?為有源頭活水來——“消元法”

點(diǎn)評 方程思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法.用方程思想解題的關(guān)鍵是利用已知條件建立起已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系.應(yīng)當(dāng)說,平面解析幾何中,消元法是最為常見和重要的代數(shù)解析方法之一.

策略5 橫看成嶺側(cè)成峰,遠(yuǎn)近高低“可相同”——“同構(gòu)式法”

點(diǎn)評 同構(gòu)式是指結(jié)構(gòu)相同而變量不同的兩個(gè)或多個(gè)表達(dá)式.同構(gòu)式是數(shù)學(xué)對稱美、和諧美的體現(xiàn),更重要的是合理運(yùn)用同構(gòu)式可以培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和轉(zhuǎn)化思想,有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng).

3 總結(jié)反思

平面解析幾何是高中數(shù)學(xué)中的一大重點(diǎn)和難點(diǎn),很多學(xué)生對解析幾何題既有“怕運(yùn)算”的心理障礙,也存在如何使用合適的代數(shù)語言“解析”幾何問題的思維障礙.我們認(rèn)為，在平面解析幾何的解題過程中,要特別關(guān)注思維的廣度：有意識地從不同的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)知識方法等層面,設(shè)計(jì)合理的代數(shù)解析方法；在“一題多解”的發(fā)散性思維過程中,不斷優(yōu)化知識結(jié)構(gòu),整合數(shù)學(xué)知識.同時(shí)，要特別關(guān)注思維的深度：理解數(shù)學(xué)中基本的概念、定義、定理等,把握復(fù)雜表象之下的數(shù)學(xué)本質(zhì)；在“一法通解”的聚焦性思維過程中,讓學(xué)生有“一竿子打到底”的深層次學(xué)習(xí)經(jīng)歷.