2021年浙江省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽解析幾何題的求解與模型探究

吳 江 (浙江省杭州市交通職業(yè)高級(jí)中學(xué) 310011)

本文對(duì)2021年浙江省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽的解析幾何題進(jìn)行分析，探究不同的解法，挖掘其背后的模型，得到若干結(jié)論．

1 試題呈現(xiàn)

(1)求CA+CB的最大值；

(2)若直線y=kx+1與x軸、y軸分別交于點(diǎn)M,N，且以MN為直徑的圓與線段MN的垂直平分線的交點(diǎn)在橢圓內(nèi)部(包括在邊界上)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

分析 第(1)題結(jié)合橢圓的第二定義，聯(lián)立方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，用k表示出CA，CB，最后求最值.思路明確，難度不大．

第(2)題求范圍，不等式是常用代數(shù)方法，顯然不等式來(lái)源于交點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，因此解決交點(diǎn)是關(guān)鍵一步.最容易想到的是聯(lián)立方程求交點(diǎn)，那么就要先用k表示出圓和中垂線的方程，過(guò)程和方向明確．此外，兩個(gè)交點(diǎn)可以看作是由點(diǎn)N繞圓心旋轉(zhuǎn)得到，因此可以由旋轉(zhuǎn)關(guān)系得到交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合橢圓方程建立不等式．另一方面，容易看出點(diǎn)N是定點(diǎn)，點(diǎn)M在x軸上的位置決定了交點(diǎn)位置，所以可以分析圖形的變化規(guī)律，把握交點(diǎn)在橢圓邊界上時(shí)的臨界狀態(tài)，求出此時(shí)k的值，進(jìn)而確定k的取值范圍．

2 解法探究

評(píng)析聯(lián)立方程求出交點(diǎn)，其中涉及化簡(jiǎn)、因式分解等過(guò)程，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力提出了一定要求，包括最后解不等式，代數(shù)運(yùn)算貫穿整個(gè)過(guò)程，主要思路為“見(jiàn)招拆招”，這也是解析幾何思想的體現(xiàn)．

即得(*).下同解法1．

評(píng)析運(yùn)用復(fù)數(shù)三角表示是處理旋轉(zhuǎn)問(wèn)題的一種方法，前提是要理解復(fù)數(shù)乘法的幾何意義：對(duì)于復(fù)數(shù)z=x+yi，復(fù)數(shù)z(cosθ+i sinθ)表示在復(fù)平面上將復(fù)數(shù)z繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角后得到的復(fù)數(shù)．

評(píng)析對(duì)k<0和k>0進(jìn)行分類討論，交點(diǎn)在橢圓上是臨界情況，結(jié)合圖形計(jì)算此時(shí)k的取值就能求出范圍，體現(xiàn)了“以形助數(shù)”；而分析得交點(diǎn)在定直線上，體現(xiàn)了“以數(shù)解形”.因此，數(shù)形結(jié)合體現(xiàn)了“多想少算”．

3 模型探究

上述問(wèn)題的關(guān)鍵是以MN為直徑的圓與線段MN的中垂線的交點(diǎn)，現(xiàn)將直線一般化，中垂線變?yōu)榇棺阍诰€段MN上的任一垂線．如圖1，直線y=kx+b與x軸、y軸分別交于點(diǎn)M,N，以MN為直徑的圓(E為圓心)與垂足在線段MN上的任一垂線的交點(diǎn)為P(x1,y1),Q(x2,y2)，設(shè)∠NEP=∠NEQ=θ(0≤θ≤180°)，則關(guān)于交點(diǎn)P,Q，有如下結(jié)論．

圖1

在原問(wèn)題中，兩交點(diǎn)在兩定直線上，現(xiàn)有一般結(jié)論．

圖2

通過(guò)上述分析，可以看出原問(wèn)題是b=1，θ=90°的情況，因此可以將原問(wèn)題中線段MN的中垂線改為線段ME的中垂線(θ=120°)，也可以改為線段NE的中垂線(θ=60°)，由模型中變量的改變得到一些變式問(wèn)題．

4 感悟反思

(1)解題重方法

教師在解題教學(xué)過(guò)程中要注重基本思想和基本方法的滲透，不能讓學(xué)生陷入“題海戰(zhàn)術(shù)”．適度的解題訓(xùn)練要以理解為前提，并注重思維的創(chuàng)新和發(fā)散，重在體會(huì)解題方法背后的數(shù)學(xué)思想．?dāng)?shù)學(xué)思想指導(dǎo)解題方法，不同的方法在運(yùn)算量上存在差異，因此數(shù)學(xué)運(yùn)算過(guò)程要講究策略和優(yōu)化，尤其在解析幾何問(wèn)題中，應(yīng)多考慮數(shù)形結(jié)合，多想少算.解題能力的提升是建立在扎實(shí)的“思想”和“方法”之上的．

(2)知識(shí)重本質(zhì)

教材是最基本、最具價(jià)值的教學(xué)參考依據(jù)來(lái)源，因此師生要對(duì)課本中出現(xiàn)過(guò)的內(nèi)容引起重視．例如上述坐標(biāo)(向量)旋轉(zhuǎn)公式是在課本的課后練習(xí)中給出的，這是教師引導(dǎo)學(xué)生探究的一個(gè)很好的切入點(diǎn)，學(xué)生可以用向量和三角公式的知識(shí)對(duì)其進(jìn)行證明．教師要用好課本、理解教材，讓學(xué)生理解知識(shí)的本質(zhì)，例如復(fù)數(shù)的乘法，不僅要讓學(xué)生掌握運(yùn)算法則，更要理解復(fù)數(shù)相乘的幾何意義.只有對(duì)知識(shí)的本質(zhì)理解透徹，才能實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的活用．