關(guān)聯(lián)與建構(gòu)：二元一次方程概念教學(xué)研究

張 林 (江蘇省張家港市錦豐初級中學(xué) 215625)

近期，在北京市陳經(jīng)綸中學(xué)承辦的“第三屆中國數(shù)學(xué)特級教師高端論壇”上，筆者受邀在“名師課堂”環(huán)節(jié)開設(shè)了一節(jié)題為“二元一次方程”的展示課.課堂教學(xué)以學(xué)生為主體，以問題為主線，從現(xiàn)實(shí)情境中抽象出方程模型，類比一元一次方程的概念模型，建立二元一次方程的概念模型，凸顯二元一次方程與一次函數(shù)及其圖象的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，使學(xué)生理解二元一次方程的本質(zhì)，建構(gòu)二元一次方程的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，取得了較好的教學(xué)效果，給觀課教師留下了深刻的印象.現(xiàn)將本節(jié)課的教學(xué)分析、教學(xué)設(shè)計(jì)及教學(xué)思考整理成文，與各位同行交流.

1 教學(xué)分析

1.1 內(nèi)容分析

“二元一次方程”屬于“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容領(lǐng)域方程模塊的教學(xué)內(nèi)容.在初中數(shù)學(xué)教材中，方程模塊一般是按著“一元一次方程”“二元一次方程組”“一元二次方程”的順序編排.本課內(nèi)容是一元一次方程的后繼學(xué)習(xí)內(nèi)容，是二元一次方程組的起始課，涉及的主要內(nèi)容為“二元一次方程”和“二元一次方程的解”兩個(gè)概念.以人教版、蘇科版和北師大版教材內(nèi)容為例，從問題情境、探究活動(dòng)、模型建構(gòu)、概念形成、概念應(yīng)用等方面對內(nèi)容進(jìn)行梳理，如表1.

表1 人教版[1]、蘇科版[2]和北師大版[3]教材內(nèi)容梳理

從問題情境設(shè)置看，不同版本的教材都注重?cái)?shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，創(chuàng)設(shè)源于生活的現(xiàn)實(shí)情境，有利于學(xué)生經(jīng)歷實(shí)際問題的數(shù)學(xué)化過程，在建立數(shù)學(xué)模型刻畫現(xiàn)實(shí)世界的過程中體會(huì)模型思想.概念的形成環(huán)節(jié)都注重從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)設(shè)置問題，引導(dǎo)學(xué)生類比一元一次方程的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，從方程模型中二次抽象出二元一次方程(組)模型.在概念設(shè)置上，人教版和北師大版教材都將二元一次方程和二元一次方程組的概念設(shè)置在同一課時(shí)，而蘇科版將兩個(gè)概念分設(shè)在兩個(gè)課時(shí)，我們從章節(jié)名稱上也能看出其區(qū)別.在概念應(yīng)用環(huán)節(jié)，人教版和北師大版教材都注重從實(shí)際問題再次建立二元一次方程組模型，并判斷或初步探索二元一次方程組的解，而蘇科版教材更側(cè)重從數(shù)學(xué)內(nèi)部探索二元一次方程的形式變換，為后續(xù)求解二元一次方程組打下基礎(chǔ).

基于以上分析，考慮到初一學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平一般，在同一課時(shí)學(xué)習(xí)太多的數(shù)學(xué)概念會(huì)造成學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)太重，影響學(xué)習(xí)效果，最終確定本課時(shí)教學(xué)內(nèi)容為“二元一次方程”.為避免教學(xué)內(nèi)容過少、思維含量太低而帶來的教學(xué)欠缺，在探究二元一次方程的解的活動(dòng)環(huán)節(jié)，注重引導(dǎo)學(xué)生探究二元一次方程與一次函數(shù)及其圖象的關(guān)聯(lián)，以驅(qū)動(dòng)學(xué)生深度思考，提升概念教學(xué)的效益.

1.2 學(xué)情簡析

學(xué)生已學(xué)習(xí)過一元一次方程，具備有關(guān)一元一次方程的知識和經(jīng)驗(yàn)，知道一元一次方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效數(shù)學(xué)模型，已積累了一些建構(gòu)方程模型分析和解決問題的經(jīng)驗(yàn)，應(yīng)該有能力通過自主探究和合作交流，從實(shí)際問題建立方程模型，從方程模型中抽象、概括出二元一次方程的概念模型.

1.3 目標(biāo)解析

(1)經(jīng)歷實(shí)際問題數(shù)學(xué)化的過程，建立二元一次方程模型，進(jìn)一步體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效數(shù)學(xué)模型[5]；

(2)了解二元一次方程及其解的概念，會(huì)判斷一組數(shù)是否是某個(gè)二元一次方程的解；

(3)理解二元一次方程與一次函數(shù)及其圖象的關(guān)聯(lián)，在縱向數(shù)學(xué)化的過程中建構(gòu)二元一次方程的知識結(jié)構(gòu)體系.

1.4 教學(xué)思路

從認(rèn)知心理學(xué)看，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)實(shí)際上是一種認(rèn)知發(fā)展的過程，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)就是在原有認(rèn)知基礎(chǔ)上的同化、順應(yīng)、平衡.研究同化、順應(yīng)、平衡三個(gè)概念及其內(nèi)涵，可以發(fā)現(xiàn)圖式變化是三者的核心要素，增加和豐富原有圖式或建立新圖式就是學(xué)生學(xué)習(xí)的一種內(nèi)在心理表現(xiàn).用通俗的語言講，這種以圖式變化為核心的認(rèn)知發(fā)展過程就是我們所謂的“關(guān)聯(lián)”.因此，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生體悟知識間橫向和縱向的關(guān)聯(lián)，通過關(guān)聯(lián)實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的有效學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí).首先，在概念形成環(huán)節(jié)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)聯(lián)一元一次方程的知識和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，為抽象和概括出二元一次方程的概念搭好腳手架.其次，在二元一次方程的解(以下簡稱“方程的解”)的探究環(huán)節(jié)，注重方程與函數(shù)及其圖象的關(guān)聯(lián)，將方程的解與直線(點(diǎn)的坐標(biāo))關(guān)聯(lián)起來，感受“數(shù)”與“形”的關(guān)聯(lián)、“有限”與“無限”的關(guān)聯(lián)，為后續(xù)學(xué)習(xí)二元一次方程組及方程組的解奠定基礎(chǔ).再次，二元一次方程與一元一次方程具有相同的本質(zhì)屬性，屬于同一“類型”的學(xué)習(xí)內(nèi)容，在教學(xué)中既要注重教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法的關(guān)聯(lián)，也要注重?cái)?shù)學(xué)思想方法和認(rèn)知結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)，最后建構(gòu)出二元一次方程的認(rèn)知結(jié)構(gòu)體系.

2 教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 創(chuàng)設(shè)情境，引入新知

問題1北京某公園的門票價(jià)格為：成人票 20元/張，兒童票5元/張.

(1)現(xiàn)有x名成人，6名兒童，買門票共花了 110元,請列出方程；

(2)現(xiàn)有x名成人，y名兒童，買門票共花了 110元,請列出方程.

問題2北京市陳經(jīng)綸中學(xué)某球員在一場籃球比賽中共得28分，其中罰球得10分.怎樣描述該球員投中的兩分球、三分球個(gè)數(shù)與得分之間的相等關(guān)系？

教學(xué)說明 在創(chuàng)設(shè)情境環(huán)節(jié)，設(shè)置了兩個(gè)源于現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際問題情境，以問題作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)就在身邊.學(xué)生需分析問題中的數(shù)量關(guān)系，在用數(shù)學(xué)語言描述現(xiàn)實(shí)世界的過程中感受和體會(huì)二元一次方程也是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效數(shù)學(xué)模型.在問題的驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生嘗試建立數(shù)學(xué)模型，從而獲得1個(gè)一元一次方程和2個(gè)二元一次方程模型，為后續(xù)學(xué)習(xí)做好鋪墊.

2.2 類比舊知，探索新知

問題3觀察由上述兩個(gè)問題中得到的三個(gè)方程：20x+30=110 ①，20x+5y=110 ②，2x+3y+10=28 ③.

(1)方程①你熟悉嗎？請回顧一元一次方程的概念；

(2)觀察方程②③，它們有哪些共同的特點(diǎn)？請嘗試用文字描述并命名；

(3)給出方程④：20x+xy=110，它是二元一次方程嗎？為什么？

(4)對于剛才描述的二元一次方程的概念，你們認(rèn)為有問題嗎？需要如何修改？

(5)為什么一元一次方程的概念是“未知數(shù)的次數(shù)是1”，而二元一次方程的概念是“含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是1”，是什么原因?qū)е铝诉@個(gè)變化？

教學(xué)說明 引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合方程①關(guān)聯(lián)一元一次方程的概念，為探索二元一次方程的概念作準(zhǔn)備；讓學(xué)生觀察方程②③的共性，用自已的語言描述，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、比較、概括能力.學(xué)生類比一元一次方程的概念[6]，可能會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤的描述：“含有兩個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的次數(shù)是1的方程叫做二元一次方程.”此時(shí)，教師不急于糾正，而是給出方程④讓學(xué)生判斷，學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題后自行修正并得到正確的概念.通過追問，揭示變化的本質(zhì)原因是“一元一次方程只有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)就是未知項(xiàng)的次數(shù)；而二元一次方程有兩個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)不一定是未知項(xiàng)的次數(shù)”，讓學(xué)生對概念的內(nèi)涵做到真正理解．

2.3 精選例題，鞏固新知

例1(1)下列方程是二元一次方程的有.(填寫序號)

① 5x+7=12；②x-7y2=10；③ 4xy-1=3x；④ 2x=9-6y.

(2)若方程xa+1-2yb-2=4是關(guān)于x，y的二元一次方程,則a=，b=.

教學(xué)說明 第(1)題是對二元一次方程概念的辨析，第(2)題是對二元一次方程概念的簡單運(yùn)用.通過兩道小題促進(jìn)學(xué)生分別理解二元一次方程的內(nèi)涵和外延，以實(shí)現(xiàn)理解和掌握數(shù)學(xué)概念的目的.

例2下列三對數(shù)值，能使二元一次方程x+2y=9兩邊的值相等的是.(填寫序號)

對于大直徑的塞規(guī)，無法直接測量直徑，可采用以激光二維掃描傳感器獲取塞規(guī)上邊緣、激光測徑儀獲取塞規(guī)下邊緣的方式，通過比較測量的方法，獲取塞規(guī)截面在各個(gè)角度的直徑值，經(jīng)過處理獲取圓度。

問題4(1)回憶什么叫方程的解？說說什么叫二元一次方程的解？

(2)該二元一次方程除了這個(gè)解，還有沒有其他解？請同學(xué)們上黑板寫一寫；

(3)二元一次方程一般情況下有多少個(gè)解？為什么？

教學(xué)說明 設(shè)置例2的目的是使學(xué)生經(jīng)歷計(jì)算驗(yàn)證的過程，體會(huì)一對數(shù)值滿足二元一次方程的情形，從而引出二元一次方程的解的概念.教學(xué)時(shí)先讓學(xué)生回憶方程的解的概念，在關(guān)聯(lián)已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，再引導(dǎo)學(xué)生描述二元一次方程的解的概念.通過進(jìn)一步追問，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)二元一次方程的解的“無限性”.在寫二元一次方程的解的環(huán)節(jié)，鼓勵(lì)一批學(xué)生到黑板上書寫，再請另一批學(xué)生點(diǎn)評，以實(shí)現(xiàn)辨析概念、理解概念的目的.

問題5(1)例2中方程的解在平面直角坐標(biāo)系里表示的是什么？

(2)這個(gè)二元一次方程的其他解在坐標(biāo)系里表示什么？

(3)所有這些解在幾何上又表示什么？

教學(xué)說明 第(1)個(gè)問題具有挑戰(zhàn)性，因?yàn)榉匠痰慕馀c平面直角坐標(biāo)系之間本身不存在直接關(guān)系，學(xué)生很難回答這個(gè)問題.高水平的學(xué)生會(huì)通過一次函數(shù)作為橋梁將兩者關(guān)聯(lián)起來，先將二元一次方程轉(zhuǎn)化成一次函數(shù)的形式，那么二元一次方程的解就可以理解為一次函數(shù)中的自變量和因變量的對應(yīng)取值.進(jìn)一步，這種有序?qū)?yīng)的數(shù)值就可以理解為有序數(shù)對，這樣關(guān)聯(lián)到平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，從而實(shí)現(xiàn)二元一次方程與一次函數(shù)及其圖象的深度關(guān)聯(lián).后續(xù)的3個(gè)問題，意在進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)二元一次方程的解與一次函數(shù)圖象的關(guān)系，從“數(shù)”到“形”、從“無數(shù)個(gè)解”到“無數(shù)個(gè)點(diǎn)”、從“有限”到“無限”，從“圖形”的視角加深學(xué)生對二元一次方程的解的本質(zhì)理解.

追問已知一個(gè)解，可寫出多少個(gè)滿足條件的二元一次方程？為什么？

教學(xué)說明 先讓學(xué)生自主寫出滿足條件的二元一次方程，在展示環(huán)節(jié)學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)同解的方程不一定是相同的，形成認(rèn)知沖突，此時(shí)引導(dǎo)學(xué)生探究造成這一現(xiàn)象的原因.也可以從圖形的視角幫助學(xué)生理解，一個(gè)解可以理解為平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)點(diǎn)，而經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)可以畫無數(shù)條直線(看作二元一次方程).根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，也可以適時(shí)滲透二元一次方程組的概念、公共解(兩個(gè)一次函數(shù)圖象的交點(diǎn))等概念.

2.4 學(xué)以致用，拓展新知

問題6在問題2中，我們列出方程:2x+3y+10=28.

(1)你能列出投中兩分球(x個(gè))、三分球(y個(gè))的所有可能嗎？

xy

(2)如果增加一個(gè)條件“共投中了8個(gè)球”，請?jiān)倭谐鲆粋€(gè)方程；

(3)這時(shí)投中球的情況有多少種？

(4)為什么只有一個(gè)解？請從幾何上來說明.

教學(xué)說明 先采用枚舉法求解，得到：二元一次方程在一般情況下有無數(shù)個(gè)解，但在實(shí)際問題中可能只有有限個(gè)解.然后引導(dǎo)學(xué)生利用“主元思想”和“轉(zhuǎn)化思想”求解：把x看作已知數(shù)，則方程可看作關(guān)于y的一元一次方程，將方程先寫成用含x的代數(shù)式表示y的形式，然后求出符合條件的解.如果共投中了8個(gè)球，那么由此得到另一個(gè)二元一次方程x+y=8，符合條件的解需同時(shí)滿足這兩個(gè)二元一次方程，即公共解.引導(dǎo)學(xué)生理解這個(gè)公共解就是兩條直線的交點(diǎn).

2.5 反思交流，總結(jié)新知

問題7本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)知識？這些數(shù)學(xué)知識有著怎樣的聯(lián)系？還有哪些需要進(jìn)一步研究的問題？

教學(xué)說明 引導(dǎo)學(xué)生回顧數(shù)學(xué)概念的生成過程，用關(guān)聯(lián)的眼光審視整節(jié)課的學(xué)習(xí)過程，并展望后續(xù)研究的數(shù)學(xué)內(nèi)容.

3 教學(xué)思考

3.1 橫向關(guān)聯(lián)，體悟數(shù)學(xué)概念間的內(nèi)在聯(lián)系

橫向關(guān)聯(lián)是指在數(shù)學(xué)概念教學(xué)時(shí)，將具有內(nèi)在聯(lián)系的不同教學(xué)內(nèi)容聯(lián)系起來，以一個(gè)主題或一條主線整合、關(guān)聯(lián)起來，形成一個(gè)相對完整的教學(xué)模塊，在知識的關(guān)聯(lián)中促進(jìn)教學(xué)效益的一種教學(xué)方式.與二元一次方程概念相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)概念有代數(shù)式、一元一次方程等，在教學(xué)設(shè)計(jì)中應(yīng)體現(xiàn)這種橫向關(guān)聯(lián)，幫助學(xué)生體悟數(shù)學(xué)概念間的內(nèi)在聯(lián)系，生長新的知識.比如在問題1、問題2的教學(xué)時(shí)，先鼓勵(lì)學(xué)生自主閱讀、分析實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，用文字語言描述等量關(guān)系，再引導(dǎo)學(xué)生用代數(shù)式表達(dá)相關(guān)的數(shù)量，最后建立一元一次方程、二元一次方程等數(shù)學(xué)模型.在此過程中，學(xué)生自然而然地體悟到數(shù)學(xué)知識間的發(fā)展脈絡(luò)和內(nèi)在關(guān)聯(lián).

3.2 縱向建構(gòu)，理解數(shù)學(xué)概念間的結(jié)構(gòu)傳承

縱向建構(gòu)是指在同一主題的數(shù)學(xué)概念教學(xué)時(shí)，教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)上體現(xiàn)的一致性.具體是指在同一主題的教學(xué)內(nèi)容實(shí)施時(shí)，應(yīng)表現(xiàn)出研究內(nèi)容、研究架構(gòu)、研究過程、研究方法的關(guān)聯(lián)性、一致性和傳承性.在二元一次方程概念的教學(xué)中，學(xué)生經(jīng)歷了兩次抽象[3]，第一次是從實(shí)際問題中抽象出方程模型，第二次是從具有共同屬性的方程模型中抽象出二元一次方程模型，接下來研究二元一次方程(組)的解的概念及求解方法，最后再回到現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問題，用二元一次方程(組)解決問題，從而建構(gòu)出二元一次方程的認(rèn)知結(jié)構(gòu)體系.總體上看，二元一次方程的認(rèn)知結(jié)構(gòu)體系與一元一次方程是一致的，體現(xiàn)出同一主題概念學(xué)習(xí)的關(guān)聯(lián)性和傳承性.理解了同一主題內(nèi)容的結(jié)構(gòu)傳承性，學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)分式方程和一元二次方程等內(nèi)容時(shí)，就能自主建構(gòu)出內(nèi)容結(jié)構(gòu).

3.3 綜合融通，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)概念間的形式互通

綜合融通是指將學(xué)生原有的認(rèn)知圖式與新知融合貫通起來，通過知識間的橫向關(guān)聯(lián)和結(jié)構(gòu)上的縱向建構(gòu)，將不同的數(shù)學(xué)概念串聯(lián)起來，形成一條清晰可見的關(guān)聯(lián)紐帶，使學(xué)生在數(shù)學(xué)概念間的形式互通中理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，提高數(shù)學(xué)能力.在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中注重?cái)?shù)學(xué)概念間的綜合貫通，將新學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念與原有的數(shù)學(xué)知識統(tǒng)整和關(guān)聯(lián)起來，有利于學(xué)生深刻理解和掌握數(shù)學(xué)概念.二元一次方程與一次函數(shù)、二元一次方程的解與一次函數(shù)的圖象有著密切的關(guān)聯(lián)，教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)“方程形式”與“函數(shù)形式”的轉(zhuǎn)換以及“數(shù)對(方程的解)形式”與“圖象(平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn))形式”的轉(zhuǎn)換，凸顯方程與函數(shù)、方程的解與函數(shù)圖象的融通.簡言之，從一次函數(shù)的觀點(diǎn)看二元一次方程的相關(guān)概念是促進(jìn)學(xué)生深度理解數(shù)學(xué)本質(zhì)、提高數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的重要路徑.