擴(kuò)展的輔助函數(shù)法求一類(lèi)非線性分?jǐn)?shù)階偏微分方程的精確解

張靜

（南京財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇 南京 210023）

0 引言

非線性偏微分方程廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)和物理學(xué)的各個(gè)分支，尤其是流體學(xué)、非線性光學(xué).目前，已有很多方法用于獲得非線性偏微分方程的精確解［1-11］.為找到一種求解方法簡(jiǎn)單直接，并能獲得更豐富的精確解.楊健等［12］利用輔助函數(shù)法，借助數(shù)學(xué)軟件Maple獲得Benjamin-Bona-Mahonye（簡(jiǎn)稱(chēng)BBM）方程和Burgers方程的新精確解.此外，王書(shū)敏等人［13］利用修正的輔助函數(shù)法對(duì)非線性BBM方程進(jìn)行求解，獲得形式更為豐富的行波解.受此啟發(fā)，考慮對(duì)輔助函數(shù)法進(jìn)行推廣，借助分?jǐn)?shù)階復(fù)變換和整合的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，研究時(shí)間分?jǐn)?shù)階modified Benjamin-Bona-Mahony（簡(jiǎn)稱(chēng)mBBM）方程和（3+1）維非線性分?jǐn)?shù)階Jimbo-Miwa方程的精確行波解.

1 預(yù)備知識(shí)

首先給出幾個(gè)概念，為后續(xù)研究做準(zhǔn)備.整合的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義及基本性質(zhì)如下.

設(shè)f:(0,∞)→R，f的α階導(dǎo)數(shù)定義為：，t＞0，0＜α≤1.

基本性質(zhì)［14］設(shè)α∈(0,1]，f=f(t)，g=g(t)，在t＞0時(shí)可微并有

性質(zhì)1，a,b∈R,

性質(zhì)2，μ∈R,

性質(zhì)3,

性質(zhì)4.

2 擴(kuò)展的輔助函數(shù)法

對(duì)于分?jǐn)?shù)階非線性偏微分方程

其中u=u(x,t)，是u關(guān)于x和t的整合分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，P是u和u的關(guān)于x和t的各階偏導(dǎo)數(shù)的多項(xiàng)式.

擴(kuò)展的輔助函數(shù)法分為3步.

步驟1對(duì)方程（1）作分?jǐn)?shù)階復(fù)變換，

其中k、l是任意非零常數(shù).將方程（1）轉(zhuǎn)化為常微分方程，

步驟2假設(shè)方程（3）的精確解具有如下形式，

其中ai為待定系數(shù)，而冪級(jí)數(shù)的最高次冪n通過(guò)平衡常微分方程的非線性項(xiàng)和最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)來(lái)確定.

F(ξ)滿足一般的Riccati方程

對(duì)應(yīng)的輔助方程的解有，

①當(dāng)A=B=0時(shí)，

②當(dāng)A=0,B≠0時(shí)，

③當(dāng)C≠0，Δ=B2-4AC＞0時(shí)，

④當(dāng)C≠0，Δ=B2-4AC＜0時(shí)，

⑤當(dāng)C≠0，Δ=B2-4AC=0時(shí)，

其中C1，C2為積分常數(shù).

步驟3通過(guò)常微分方程獲得非線性代數(shù)方程組.把假設(shè)的具有式（4）形式的解和一般Riccati方程（5）代入方程（3）中，合并F(ξ)的同次冪項(xiàng)，并令其各項(xiàng)系數(shù)和為零，由此得到形式解（4）中各項(xiàng)的含系數(shù)ai，c，l的非線性代數(shù)方程組，利用吳消元法求解這組代數(shù)方程組，并將ai代入解（4），c，l代入式（6）～（12）中，結(jié)合式（2），即得分?jǐn)?shù)階偏微分方程的精確行波解.

3 方法應(yīng)用

3.1 時(shí)空分?jǐn)?shù)階mBBM方程

考慮如下時(shí)空分?jǐn)?shù)階mBBM方程

對(duì)方程（13）做分?jǐn)?shù)階復(fù)變換，

其中k、l是任意非零常數(shù).將式（14）代入式（13）并化簡(jiǎn)可得，

由式（15）中的φ2φ'(ξ)和φ?(ξ)，得到n=1.可設(shè)方程解的形式如下，

將式（16）和方程（5）代入式（15），然后合并F(ξ)的同次冪項(xiàng)系數(shù)，得到非線性代數(shù)方程組并求解得，

其中k為任意常數(shù).將所求得的式（17）代入式（16）得到時(shí)空分?jǐn)?shù)階mBBM方程的形式解為，

再將式（6）～（12）的結(jié)果分別代入式（18）可獲得如下5組解：

①當(dāng)A=B=0時(shí)，

②當(dāng)A=0,B≠0時(shí)，

③當(dāng)C≠0，Δ=B2-4AC＞0時(shí)，

④當(dāng)C≠0，Δ=B2-4AC＜0時(shí)，

⑤當(dāng)C≠0，B2-4AC=0時(shí)，

圖1 取正向u7(x,t)的三維圖

圖2 取負(fù)向u7(x,t)的三維圖

3.2 （3+1）維非線性分?jǐn)?shù)階Jimbo-Miwa方程

考慮如下分?jǐn)?shù)階Jimbo-Miwa方程

對(duì)方程（19）做分?jǐn)?shù)階復(fù)變換，

其中ω是任意非零常數(shù).將式（20）代入式（19），令φ'=v并化簡(jiǎn)可得，

由式（21）中的vv'(ξ)和v?(ξ)，得到n=2.可設(shè)方程解的形式如下，

將式（22）和方程（5）代入式（21），然后合并F(ξ)的同次冪項(xiàng)系數(shù)，得到非線性代數(shù)方程組并求解得，

情形1

將所求得的式（23）代入式（22）得到分?jǐn)?shù)階Jimbo-Miwa方程的形式解為，

再將式（6）～（12）的結(jié)果分別代入式（24）可獲得5組解：

①當(dāng)A=B=0時(shí)，

②當(dāng)A=0,B≠0時(shí)，

③當(dāng)C≠0，Δ=B2-4AC＞0時(shí)，

④當(dāng)C≠0，Δ=B2-4AC＜0時(shí)，

⑤當(dāng)C≠0，B2-4AC=0時(shí)，

情形2

將所求得的式（25）代入式（22）得到分?jǐn)?shù)階Jimbo-Miwa方程的形式解為

再將式（6）～（12）的結(jié)果分別代入式（26）同樣可獲得如下5組解：

①當(dāng)A=B=0時(shí)，

②當(dāng)A=0,B≠0時(shí)，

③當(dāng)C≠0，Δ=B2-4AC＞0時(shí)，

④當(dāng)C≠0，Δ=B2-4AC＜0時(shí)，

取A=B=C=2,η=β=γ=1,y=0,z=2,的圖像如圖3、圖4所示.

圖3 u12(x,y,z,t)的三維圖

圖4 u13(x,y,z,t)的三維圖

⑤當(dāng)C≠0，B2-4AC=0時(shí)，

4 結(jié)語(yǔ)

綜上，本文推廣輔助函數(shù)法，將F(ξ)滿足的方程F'(ξ)=F(ξ)2+λF(ξ)+μ推廣到滿足一般的Riccati方程F(ξ)'=A+BF(ξ)+CF(ξ)2上，利用該方法得到時(shí)間分?jǐn)?shù)階mBBM方程以及（3+1）維非線性分?jǐn)?shù)階Jimbo-Miwa方程的新精確解.并運(yùn)用mathematica繪出部分精確解取不同值的三維波形圖.同樣的該方法也可以運(yùn)用到求其他時(shí)間分?jǐn)?shù)階、空間分?jǐn)?shù)階微分方程（組）的精確行波解中.