實(shí)數(shù)集上有限補(bǔ)拓?fù)淇臻g的研究

黃瑞

（阜陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 阜陽 236037）

0 引言

點(diǎn)集拓?fù)涫且婚T研究空間結(jié)構(gòu)和映射性質(zhì)的幾何學(xué)分支，已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一門基礎(chǔ)學(xué)科，且已滲透到信息技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理、物理、化學(xué)等領(lǐng)域.2016年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)的3位獲得者戴維·索利斯、鄧肯·霍爾丹和邁克爾·科斯特利茨在他們的物理學(xué)研究領(lǐng)域中引入“拓?fù)洹边@一重要工具，從而開啟研究奇異物質(zhì)的大門，他們也因此獲得物理學(xué)界的最高殊榮.點(diǎn)集拓?fù)溥@門課程是由一些抽象的概念及由概念出發(fā)而得到的定理和性質(zhì)組成，教學(xué)中的實(shí)例非常少，平庸空間、離散空間、有限補(bǔ)空間、可數(shù)補(bǔ)空間這4類拓?fù)淇臻g是學(xué)習(xí)點(diǎn)集拓?fù)渲薪?jīng)常接觸到的，對(duì)其拓?fù)湫再|(zhì)的研究始終伴隨著點(diǎn)集拓?fù)涞膶W(xué)習(xí).近年來，對(duì)“復(fù)雜”拓?fù)淇臻g性質(zhì)的研究有很多［1-6］，實(shí)數(shù)集是最常見的集合，其上定義不同的拓?fù)渚偷玫綄?shí)數(shù)集上具有不同拓?fù)湫再|(zhì)的拓?fù)淇臻g.文獻(xiàn)［7-10］研究實(shí)數(shù)集上的上限拓?fù)淇臻g、下限拓?fù)淇臻g和右手拓?fù)淇臻g的性質(zhì).文獻(xiàn)［11］研究實(shí)數(shù)集上的去倒數(shù)拓?fù)淇臻g.文獻(xiàn)［12-13］研究有限補(bǔ)空間和可數(shù)補(bǔ)空間的部分拓?fù)湫再|(zhì)，但目前并未對(duì)有限補(bǔ)空間?的道路連通性、局部道路連通性、有關(guān)可數(shù)性的公理、序列緊致性等拓?fù)湫再|(zhì)進(jìn)行研究.本文將系統(tǒng)地研究有限補(bǔ)空間?的諸多拓?fù)湫再|(zhì)，比如連通性、有關(guān)可數(shù)性的公理、分離性公理、諸多緊致性質(zhì)，并給出什么樣的子集是有限補(bǔ)空間中的連通子集、道路連通子集、局部道路連通子集和緊致子集.文中的概念和符號(hào)均可見文獻(xiàn)［14］，文中不再一一說明.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1［14］?是實(shí)數(shù)集，?上的拓?fù)洇?{U??|U'是?中的有限集}∪{?}，則稱Γ為?上的有限補(bǔ)拓?fù)洌??,Γ)為有限補(bǔ)空間?.

由定義1知，有限補(bǔ)空間?中的開集是?、?、U'；閉集是?、?、U.其中U是?中的有限集.易見有限補(bǔ)空間?中既開又閉的子集只有?和?，從而得到有限補(bǔ)空間?是連通空間.同理可得無限集上定義的有限補(bǔ)空間都是連通空間.

定義2［14］設(shè)X為一個(gè)拓?fù)淇臻g，若?x∈X和x的任一鄰域U，存在x的一個(gè)道路連通鄰域V，使得V?U，則稱拓?fù)淇臻gX是局部道路連通空間.若X的子集Y作成的子空間是局部道路連通空間，則稱Y是X的局部道路連通子集.

引理1設(shè)A是有限補(bǔ)空間?中的子集，則

（1）若A是無限集，則

（2）若A是有限集，則.

證明（1）假設(shè),則存在x0的鄰域，由鄰域的定義知，存在?中的開集,從而,則.易見開集V0既不是空集也不是全集，即左邊是無限集，右邊是有限集，矛盾.故.

又有限集A是閉集，故=A,同樣利用和有限補(bǔ)空間?中的無限子集的閉包等于?即可得出其他結(jié)論.

引理2設(shè)U,V是有限補(bǔ)空間?中的2個(gè)非空開集，則.

證明若U,V中有一個(gè)是?，結(jié)論顯然成立.

假設(shè)U,V均不是?，則U=?-U0,V=?-V0,其中U0,V0都是?中的非空有限集，U∩V=?-(U0∪V0)為?中的無限集，結(jié)論成立.

引理3設(shè)(Y,Γ|Y)是有限補(bǔ)空間(?,Γ)的子空間，則

（1）Y是?中的有限子集時(shí)，子空間(Y,Γ|Y)是離散空間；

（2）Y是?中的無限子集時(shí)，子空間(Y,Γ|Y)是有限補(bǔ)空間.

證明（1）Y是?中的有限子集時(shí)，(Y,Γ|Y)是(?,Γ)的閉子空間.，有限集A是(?,Γ)中的閉集，從而A也是閉子空間(Y,Γ|Y)中的閉集，由離散空間的定義知結(jié)論得證.

（2）當(dāng)Y是?的無限子集時(shí)，子空間(Y,Γ|Y)中的開集為、Y、(?-U)∩Y=Y-(U∩Y),其中U是?中的有限集，從而U∩Y為Y中的有限集，由有限補(bǔ)拓?fù)涞亩x知結(jié)論成立.

引理4設(shè)x,y是有限補(bǔ)空間X中的任意2個(gè)不同的點(diǎn)，其中X是不可數(shù)集，則在有限補(bǔ)空間X中存在從x到y(tǒng)的道路.

證明由[0,1]與X的基數(shù)相等知，存在映射f:[0,1]→X,滿足f既單又滿，且不防令f(0)=x,f(1)=y，下說明f連續(xù).

有限補(bǔ)空間X中的閉集是?、X、有限集.顯然X中的閉集?、X在f下的原像是[0,1]中的閉集，有限集在f下的原像是[0,1]中的有限集，而有限集是[0,1]中的閉集，故f連續(xù)，于是得到f是有限補(bǔ)空間X中從x到y(tǒng)的道路.

引理5已知有限補(bǔ)空間X，且X是無限可數(shù)集，不妨記X={x1,x2,…}，則對(duì)于有限補(bǔ)空間X中的任意2個(gè)不同的點(diǎn)xi,xj(i≠j),在有限補(bǔ)空間X中不存在從xi到xj的道路.

證明不防取xi=x1，xj=x2.假設(shè)有限補(bǔ)空間X中存在從x1到x2的道路f，即存在連續(xù)映射f：[0,1]→X，滿足f（0）=x1，f（1）=x2.

又{x1}，{x2},…是有限補(bǔ)空間X中兩兩無交的閉集，則f-1({x1}),f-1({x2}),…是實(shí)數(shù)空間?的閉子空間[0,1]中兩兩無交的閉集，且f-1({x1})包含0，f-1({x2})包含1，f-1({x3}),f-1({x4}),…既不包含0又不包含1.

取A={x3,x4,…},則A是有限補(bǔ)空間X中的開集，f-1(A)=f-1({x3})∪f-1({x4})∪….

由f連續(xù)知，f-1(A)是[0,1]中的開集.再由f-1({x3}),f-1({x4}),…是[0,1]中不包含0,1的兩兩無交的閉集知，[0,1]中的開集f-1(A)只能是?.

于是f-1({x1}),f-1({x2})是[0,1]中的非空無交的閉集，且f-1({x1})∪f-1({x2})=[0,1]，這與[0,1]是連通空間矛盾，因此有限補(bǔ)空間X中不存在從x1到x2的道路.

引理6已知拓?fù)淇臻gX,?x∈X，則x的鄰域系ux的交等于x的鄰域基vx的交.

證明一方面，vx?ux，則ux的交?vx的交.

另一方面，?U∈ux，則存在V∈vx，使得x∈V?U.

引理7拓?fù)淇臻gX是T1空間，x的鄰域系ux的交={x}.

證明必要性.假設(shè)x的鄰域系ux的交≠{x}，則存在y∈X，x≠y,y∈ux的交，即x的每一個(gè)鄰域都包含y，這與拓?fù)淇臻gX是T1空間矛盾，故x的鄰域系ux的交={x}.

充分性.?x,y∈X,x≠y,y?{x}=ux的交，則存在x的鄰域U,y?U.由鄰域的定義知存在開集V，使得x∈V?U，則y?V，即存在x的開鄰域V不包含y.同理可得存在y的開鄰域不包含x，故拓?fù)淇臻gX是T1空間.

引理8設(shè)Λ是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)開覆蓋，若存在A∈Λ，且A'是X中的有限集，則Λ必存在關(guān)于X的一個(gè)有限子覆蓋.

證明?x∈A'(有限)?X，則存在，則Λ*是Λ關(guān)于拓?fù)淇臻gX的有限子覆蓋.

引理9設(shè)是有限補(bǔ)空間?中兩兩互不相等的序列，則.

證明?a∈?，A是?中任一個(gè)不包含a的有限集，即a∈A'，則A'是a的任一開鄰域.

若有限集A中不含序列中的點(diǎn)，則取M=1，當(dāng)i＞M時(shí)有xi∈A'；

若有限集A中含有序列中的點(diǎn)，則A中只能含有序列中的有限個(gè)點(diǎn)，不妨記為xn1,xn2,…,xnk,n1＜n2＜…＜nk，k∈Z+.

此時(shí)取M=nk，當(dāng)i＞M時(shí)有xi∈A'.因此，對(duì)于a的任一開鄰域A'，存在M∈Z+，當(dāng)i＞M時(shí)有xi∈A'.再由有限補(bǔ)空間?中點(diǎn)的鄰域都是開鄰域知結(jié)論成立.

順便指出，若?中的點(diǎn)a,b,x0,x1,x2,x3,…兩兩互不相同，則有限補(bǔ)空間?中的序列{x0,x0,x0,…}和{x1,x0,x2,x0,x3,x0,…}收斂且只收斂到x0，而序列{x0,x1,x0,x1,…}和{x1,a,b,x2,a,b,x3,a,b,…}則不收斂.

2 有限補(bǔ)空間?的拓?fù)湫再|(zhì)

2.1 連通性

定理1有限補(bǔ)空間?是連通空間，且有限補(bǔ)空間?的連通子集是空集、單點(diǎn)集和無限子集.

證明由引理3知，有限補(bǔ)空間?中的無限子集作成的子空間是無限集上的有限補(bǔ)空間，從而無限子集是連通子集.包含多于一個(gè)點(diǎn)的有限子集作成的子空間是離散空間，從而得包含多于一個(gè)點(diǎn)的有限子集不是連通子集，故結(jié)論成立.

定理2有限補(bǔ)空間?是局部連通空間.

證明有限補(bǔ)空間?中的非空開集都是不可數(shù)集，當(dāng)然是無限集，從而有限補(bǔ)空間?中的開集都是連通的，結(jié)論成立.

定理3有限補(bǔ)空間?是道路連通空間，且有限補(bǔ)空間?的道路連通子集是空集、單點(diǎn)集和不可數(shù)子集.

證明由引理3～5易見包含多于一個(gè)點(diǎn)的有限子集和無限可數(shù)子集作成的子空間不是道路連通空間，不可數(shù)子集作成的子空間是道路連通空間，結(jié)論得證.

定理4有限補(bǔ)空間?是局部道路連通空間，且有限補(bǔ)空間?的局部道路連通子集是有限子集和不可數(shù)子集.

證明有限補(bǔ)空間?中的非空開集都是不可數(shù)集，由引理4知非空開集都是道路連通的，由定義2知有限補(bǔ)空間?是局部道路連通空間.由引理3～5知，不可數(shù)子集作為有限補(bǔ)空間?的子空間是不可數(shù)集上的有限補(bǔ)空間，它的每一個(gè)開集都是道路連通的；無限可數(shù)子集作為有限補(bǔ)空間?的子空間是無限可數(shù)集上的有限補(bǔ)空間，它的每一個(gè)開集都不是道路連通的.又無限集上的有限補(bǔ)空間中點(diǎn)的鄰域都是開鄰域，故有限補(bǔ)空間?的無限子集中只有不可數(shù)子集是局部道路連通子集.

又有限子集作為有限補(bǔ)空間?的子空間是離散空間，而離散空間顯然是局部道路連通空間.綜上有限補(bǔ)空間?的局部道路連通子集是有限子集和不可數(shù)子集.

2.2 分離性公理

定理5有限補(bǔ)空間?是T0空間、T1空間，但不是T2空間、T3空間、T3.5空間、T4空間，也不是正則空間、正規(guī)空間、完全正則空間.

證明?x∈?，有限集{x}是有限補(bǔ)空間?中的閉集，故有限補(bǔ)空間?是T1空間，從而也是T0空間.再由引理2知，定理中的其他分離性公理有限補(bǔ)空間?都不滿足.

2.3 可數(shù)性公理

定理6有限補(bǔ)空間?不是A1空間，從而也不是A2空間.

證明假設(shè)有限補(bǔ)空間?是A1空間，則?x∈?，有限補(bǔ)空間?在x處存在可數(shù)鄰域基vx，不妨記作vx={U1,U2,U3,…}，Ui∈ux,i=1,2,3,…，其中ux是x的鄰域系.

對(duì)于可數(shù)鄰域基vx中的x的每一個(gè)鄰域Ui，存在有限補(bǔ)空間?中的非空開集Vi，使得x∈Vi?Ui,i=1,2,3,….于是?-Ui??-Vi，閉集?-Vi是有限集，從而?-Ui為有限集，i=1,2,3,….

由引理6，7和定理5知，x的鄰域基vx的交，于是，左邊是不可數(shù)集，右邊是可數(shù)集，矛盾.故有限補(bǔ)空間?不是A1空間，從而也不是A2空間.

順便指出，由于無限可數(shù)集的所有有限子集作成的子集族是一個(gè)無限可數(shù)集，于是得到無限可數(shù)集上的有限補(bǔ)空間共有無限可數(shù)個(gè)閉集，從而無限可數(shù)集上的有限補(bǔ)空間只有無限可數(shù)個(gè)開集，故無限可數(shù)集上的有限補(bǔ)空間是A2空間、A1空間、可分空間、Lindel?f空間.

定理7有限補(bǔ)空間?是可分空間.

證明由引理1知，有限補(bǔ)空間?存在可數(shù)的稠密子集Q，從而有限補(bǔ)空間?是可分空間.

2.4 緊性

定理8有限補(bǔ)空間?是緊致空間，從而是Lindel?f空間、列緊空間、可數(shù)緊致空間、局部緊致空間、仿緊致空間.

證明由引理8知，有限補(bǔ)空間?是緊致空間，從而由各種緊性之間的相互蘊(yùn)含關(guān)系［14-15］知定理中的其他結(jié)論成立.

定理9有限補(bǔ)空間?中的任意子集都是緊致子集.

證明由引理3知，無限子集作為有限補(bǔ)空間?的子空間是有限補(bǔ)空間，再由引理8知，無限子集是有限補(bǔ)空間?的緊致子集.又有限子集是任一拓?fù)淇臻g的緊致子集，故結(jié)論成立.

定理10有限補(bǔ)空間?是序列緊致空間.

證明設(shè)是有限補(bǔ)空間?中的任意一個(gè)序列，若中存在一個(gè)點(diǎn)在該序列中出現(xiàn)無限次，不妨記作x0，則的收斂子列可取常值x0的子列.若中的每一點(diǎn)在該序列中都只出現(xiàn)了有限次，則該序列必定包含無數(shù)個(gè)兩兩互不相同的點(diǎn)，由引理9知中的兩兩互不相同的子列即是的收斂子列.

綜上結(jié)論成立.

3 結(jié)語

有限補(bǔ)空間?是點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)中的一個(gè)重要拓?fù)淇臻g，其常常作為反例出現(xiàn)，對(duì)其拓?fù)湫再|(zhì)的研究能夠促使學(xué)習(xí)者更加深刻地理解相關(guān)的拓?fù)湫再|(zhì).本文系統(tǒng)而全面地研究有限補(bǔ)空間?的拓?fù)湫再|(zhì)，包括諸多連通性質(zhì)、有關(guān)可數(shù)性公理、分離性公理、諸多緊致性質(zhì).除此之外，定理1，3，4，9分別指出有限補(bǔ)空間?中什么樣的子集是連通子集、道路連通子集、局部道路連通子集和緊致子集.引理7證明T1空間所具有的一個(gè)性質(zhì)，并據(jù)此證明有限補(bǔ)空間?不滿足第一可數(shù)性公理.引理9證明有限補(bǔ)空間?中兩兩互不相等的序列收斂，且收斂到該空間中的任意點(diǎn)，由此證明有限補(bǔ)空間?是序列緊致空間.需要說明的是，有限補(bǔ)空間?與不可數(shù)集上定義的有限補(bǔ)空間是同胚的，故不可數(shù)集上定義的有限補(bǔ)空間同樣滿足文中證明的有限補(bǔ)空間?的每一個(gè)拓?fù)洳蛔冃再|(zhì).