淺談數(shù)形結(jié)合法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

劉永俠

【摘要】采用數(shù)形結(jié)合法學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)，可以更快更有效地解決數(shù)學(xué)中的難題.數(shù)字和圖形的結(jié)合，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生們的思維能力，還能直觀地讓學(xué)生們理解數(shù)學(xué)內(nèi)容，提高高中生數(shù)學(xué)的解題效率.本文根據(jù)實(shí)踐教學(xué)，主要分析了數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效使用.

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合;高中數(shù)學(xué);應(yīng)用研究

數(shù)形結(jié)合是將數(shù)字與圖形相聯(lián)系，用簡(jiǎn)單的圖像來(lái)表達(dá)抽象的數(shù)量關(guān)系，使之更加直觀.大部分高中數(shù)學(xué)題目都是基于一定的空間和數(shù)量基礎(chǔ)上進(jìn)行研究的，采用數(shù)形結(jié)合法可以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效性.新課改背景下，高中數(shù)學(xué)有很多政策需要改進(jìn)實(shí)施，但是如果數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)質(zhì)量仍然保持原樣，則無(wú)法讓學(xué)生更好地理解.因此，在數(shù)學(xué)課堂上，老師要嘗試將數(shù)形結(jié)合的方法融入數(shù)學(xué)的講解，以提升學(xué)生的知識(shí)理解能力，甚至提升最終的高考分?jǐn)?shù).

一、數(shù)形結(jié)合法的基本概述

數(shù)形結(jié)合法是以題目所給的條件和結(jié)果構(gòu)成的聯(lián)系作為基本的條件，根據(jù)這些基本的條件進(jìn)行幾何分析和代數(shù)分析，用空間圖形或者幾何圖形的形式把關(guān)系更直接準(zhǔn)確地體現(xiàn)出來(lái)，讓學(xué)生能直觀分析條件之間存在的隱性關(guān)系.在使用數(shù)形結(jié)合法的過(guò)程中，教師可以讓學(xué)生們更加高效地解決數(shù)學(xué)上的難題，讓思路更加順暢，簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，把抽象的問(wèn)題具體化.通過(guò)有效的分析和轉(zhuǎn)化，可以突出題目的重點(diǎn)，消除不明顯的條件，甚至可以提高學(xué)生們的綜合解題水平.

在高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，不等式、三角函數(shù)、幾何圖形證明的內(nèi)容，大都需要數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)實(shí)現(xiàn).對(duì)數(shù)學(xué)的研究和探索，最初圍繞“數(shù)”與“形”的研究展開(kāi)，隨著人們的不斷探索，逐漸發(fā)現(xiàn)兩者之間可以在特定條件下實(shí)現(xiàn)相互轉(zhuǎn)換.數(shù)形結(jié)合的基本含義是以待處理的數(shù)學(xué)問(wèn)題與公式定理之間的關(guān)系為理論基礎(chǔ)，探討問(wèn)題的代數(shù)意義，展示問(wèn)題的幾何意義.在此過(guò)程中，數(shù)學(xué)空間圖形圖像實(shí)現(xiàn)了與代數(shù)、數(shù)字的巧妙融合.將該方法應(yīng)用于數(shù)學(xué)問(wèn)題求解，可以更快地找到解決問(wèn)題的線索，簡(jiǎn)化復(fù)雜的過(guò)程，并準(zhǔn)確、快速地解決問(wèn)題.

采用數(shù)形結(jié)合的概念來(lái)描述數(shù)字與圖像之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，簡(jiǎn)單地說(shuō)，它是數(shù)字和形狀的組合，結(jié)合了人們可以直接觀察到的位置的數(shù)量、聯(lián)系的數(shù)量和專門的數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)，用數(shù)字分析形狀，用形狀注釋它們，并優(yōu)化現(xiàn)有的解決方案，解決困難和復(fù)雜的問(wèn)題.

二、數(shù)形結(jié)合法的意義

在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂上，由于教師的教學(xué)方法單一、枯燥，在一定程度上降低了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的效率.因此，在高中數(shù)學(xué)課堂上有效地采用數(shù)形結(jié)合的方法，可以提高學(xué)生的邏輯思維能力，還能讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)難點(diǎn)加深記憶和理解，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率和興趣.

（一）有利于構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)的框架

數(shù)學(xué)是一門抽象的學(xué)科，由于其知識(shí)點(diǎn)抽象且難以理解，對(duì)于高中生來(lái)說(shuō)，一些數(shù)學(xué)專業(yè)化、難以理解的數(shù)學(xué)語(yǔ)言可能會(huì)使他們對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)失去興趣，也會(huì)導(dǎo)致教師的教學(xué)目標(biāo)難以實(shí)現(xiàn).在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，構(gòu)建一個(gè)良好的數(shù)學(xué)知識(shí)框架體系是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵.因此，在高中數(shù)學(xué)中，有效運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)具體化，將復(fù)雜難懂的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單易懂，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生們的感性思維能力，還可以提高數(shù)學(xué)知識(shí)的理解記憶能力.

（二）有利于提高對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力

在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過(guò)程中，都是把教師當(dāng)作課堂的主體，教師在講臺(tái)上講，學(xué)生聽(tīng)，由于學(xué)生缺乏主動(dòng)性，對(duì)數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)理解不透徹，記憶不深刻，學(xué)習(xí)的主動(dòng)性不能有效發(fā)揮，思維方式不僅受到限制，而且不利于學(xué)生思維的全面發(fā)展.因此，在高中的數(shù)學(xué)課堂上，教師應(yīng)采用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)教學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題，這樣既打破了傳統(tǒng)教學(xué)模式下的枯燥乏味，也讓數(shù)學(xué)的課堂變得多角度，更加生動(dòng)和多樣化.同時(shí)，讓學(xué)生成為課堂的主體，讓學(xué)生可以根據(jù)所學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行獨(dú)立思考，進(jìn)而采用數(shù)形結(jié)合的方法，把已知的題目條件轉(zhuǎn)換成自己看得懂的、可以理解的圖形，這樣不僅可以在根本上提高學(xué)生的解題能力，而且可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

（三）有利于激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程枯燥乏味，尤其高中數(shù)學(xué)又比較復(fù)雜，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)由于做不出來(lái)而失去興趣.因此，在數(shù)學(xué)課堂上，教師應(yīng)采用數(shù)形結(jié)合法將數(shù)字和形狀相結(jié)合，把知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行簡(jiǎn)化，讓學(xué)生能夠更直觀地通過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的“形”去深刻了解“數(shù)”，這樣不僅可以在一定程度上消除學(xué)生們對(duì)數(shù)學(xué)的厭倦，而且可以把枯燥的課堂氛圍變得更加生動(dòng)有趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生們的學(xué)習(xí)積極性，從根本上提高學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī).

三、掌握數(shù)形結(jié)合法的原則和思想

（一）數(shù)形結(jié)合法原則

在進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，高中生應(yīng)該根據(jù)老師的想法和要求，把數(shù)形結(jié)合法融入數(shù)學(xué)的解題過(guò)程中，充分掌握數(shù)學(xué)結(jié)合法，不斷練習(xí)，直至可以熟練運(yùn)用.在這個(gè)過(guò)程中，要遵循兩個(gè)基本原則，第一是質(zhì)變和量變的原則，第二是啟發(fā)性原則.

1.量變到質(zhì)變的原則

所謂質(zhì)變?cè)瓌t，就是在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中把握最基本的概念，通過(guò)對(duì)其他概念的理解，發(fā)現(xiàn)這些概念之間的關(guān)系和本質(zhì)，以及數(shù)學(xué)中各種結(jié)構(gòu)和運(yùn)算之間的差異，不斷地積累數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)之間的關(guān)系，建立它們之間的關(guān)系，進(jìn)行它們之間的轉(zhuǎn)換，從而可以讓數(shù)學(xué)問(wèn)題得到更加全面的理解.在提高學(xué)生思維能力的基礎(chǔ)上，然后逐步把量變累積形成質(zhì)變.

2.啟發(fā)性原則

這里說(shuō)的啟發(fā)性原則，是指在教師教學(xué)的過(guò)程中，讓學(xué)生們先接受對(duì)簡(jiǎn)單問(wèn)題的解決，然后再逐步深入解決難題，先從基本的概念定義入手，讓學(xué)生們?cè)谥鸩嚼斫飧拍詈投x的基礎(chǔ)上，探索更深層次的內(nèi)容.在這個(gè)探索的過(guò)程中，不僅要求學(xué)生們能夠有探索的結(jié)果，還要掌握探索的過(guò)程和方法，以便于更好更深層次地進(jìn)行有效的探索.

（二）數(shù)形結(jié)合法的思想

學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合概念的本質(zhì)，要特別注意以下四個(gè)方面：首先，在求解問(wèn)題之前要觀察圖形，從觀察中得到相對(duì)量的關(guān)系.其次，為了讓圖形中的數(shù)量關(guān)系更加清晰準(zhǔn)確，可以確定好題目的已知條件，再進(jìn)行繪制圖形，以保證圖形的準(zhǔn)確性和正確性.再次，要清楚地理解“數(shù)”與“形”的關(guān)系，以便于更好地把握條件進(jìn)行繪制.最后，為了使數(shù)形結(jié)合法得到靈活運(yùn)用，我們應(yīng)該很好地掌握數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)換.

四、數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

1.幫助學(xué)生理解課堂知識(shí)

一般來(lái)說(shuō)，從初中到高中的過(guò)渡，不僅包括學(xué)習(xí)的壓力，還有課程知識(shí)的深度和內(nèi)容的廣度.高中數(shù)學(xué)比初中數(shù)學(xué)更復(fù)雜，也更深?yuàn)W，學(xué)生很容易受挫折，停止學(xué)習(xí).學(xué)生的邏輯思維和抽象理解能力需要在課堂上積累和提高，如果教師能在課堂上使用數(shù)字和圖形的組合，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就會(huì)簡(jiǎn)單得多.

2.幫助學(xué)生激發(fā)數(shù)學(xué)興趣

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，不是所有的數(shù)學(xué)問(wèn)題都能被學(xué)生理解，但在課堂上運(yùn)用數(shù)字和圖形的組合則有助于簡(jiǎn)化這些問(wèn)題，并向?qū)W生展示問(wèn)題的本質(zhì).由此，學(xué)生找到了解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，不再排斥數(shù)學(xué).在數(shù)學(xué)課堂上運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，可以更加清晰、全面地展示數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中變得積極主動(dòng)，這樣可以增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)信心和興趣，同時(shí)可以提高學(xué)生的解題能力和數(shù)學(xué)成績(jī).

例如，可以采用維恩圖來(lái)解決的問(wèn)題.比如一個(gè)班有60個(gè)學(xué)生，其中有20人報(bào)名參加了英語(yǔ)競(jìng)賽，15人參加了數(shù)學(xué)競(jìng)賽，5人同時(shí)參加了英語(yǔ)競(jìng)賽和數(shù)學(xué)競(jìng)賽，問(wèn)在這當(dāng)中有多少人沒(méi)有參加.這個(gè)問(wèn)題就可以通過(guò)維恩圖來(lái)解決：參加英語(yǔ)競(jìng)賽的有20人，物理競(jìng)賽的有15人，各自畫包圍圈，則兩個(gè)包圍圈的交點(diǎn)意味著同時(shí)參加英語(yǔ)和物理競(jìng)賽的5人.包圍圈之外則是沒(méi)有參加競(jìng)賽的人數(shù).這樣可以得出公式：60-（20+15-5）=30（人）.

3.培養(yǎng)學(xué)生的思維能力

仔細(xì)分析高中數(shù)學(xué)我們可以發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)有的數(shù)學(xué)教科書中的大多數(shù)問(wèn)題都可以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的解決方案.在應(yīng)用過(guò)程中，教師應(yīng)幫助學(xué)生發(fā)展抽象數(shù)學(xué)思維和形象理解能力，并將這些能力應(yīng)用到后續(xù)課程中，這樣可以使學(xué)生更好地掌握解決問(wèn)題的技巧，簡(jiǎn)化復(fù)雜問(wèn)題，提高應(yīng)用的靈活性、準(zhǔn)確性.

例如，有關(guān)X的一元二次方程：x2 +（a2-9）x+a2-5a+6=0，如果其中一個(gè)根小于0，另一個(gè)根大于2，求實(shí)數(shù) a的值的范圍.如果用傳統(tǒng)方法求解，可以用求根公式直接得到方程的兩個(gè)根，然后用“其中一個(gè)根小于0，另一個(gè)根大于2”的方法建立不等式.用根的符號(hào)求解兩個(gè)不等式是很麻煩的，如果我們根據(jù)三個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系畫出圖像，并用二次函數(shù)和數(shù)的圖像特征求解，問(wèn)題就變得非常簡(jiǎn)單了.

這樣一來(lái)，學(xué)生對(duì)二次函數(shù)有了更全面的理解，對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)、位置、形狀也能更清楚地顯示出來(lái).教師在教學(xué)中運(yùn)用數(shù)字與圖形的組合，可以為學(xué)生找到解決問(wèn)題的新思路，如以圖形的形式顯示函數(shù)，便于標(biāo)記相應(yīng)的范圍或變化趨勢(shì)，減少出錯(cuò)的可能性，也可以更容易、更準(zhǔn)確地確定最大值和對(duì)稱軸.

總之，教師在課堂中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，可以幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)問(wèn)題，拓展學(xué)生的思維能力，這種能力也將會(huì)在幾何、統(tǒng)計(jì)、概率、函數(shù)等方面得到運(yùn)用.因此，教師在平時(shí)的教學(xué)中，不僅要注重鉆研教材，充分找到教材中的精髓，也要合理利用數(shù)形結(jié)合法，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，最終實(shí)現(xiàn)高效解決問(wèn)題的目的.

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