二項式定理教學感想

林祖燦

【摘要】二項式定理是數(shù)學高考的一個考點，主要從數(shù)、圖兩個方面來考查二項式定理的變形與應用.二項式定理是代數(shù)式乘法的推廣，能利用組合性質(zhì)證明二項式定理.用楊輝三角和組合的性質(zhì)從數(shù)圖兩個方面認識二項展開式的特點，分析二項式的展開式各項系數(shù)的特點，能利用通項公式求二項式系數(shù)、展開式系數(shù)、常數(shù)項、有理項等.

【關鍵詞】代數(shù)乘法;組合思想;通項公式;規(guī)律總結

二項式定理是數(shù)學高考常考的考點，主要從數(shù)、圖兩個方面來考查二項式定理的正用與逆用.二項式定理是代數(shù)式乘法的推廣，能利用組合性質(zhì)推導二項式定理.學生通過合作交流，自主探究二項式定理的形成過程，可以培養(yǎng)學生觀察、分析、比較、總結的能力，以及轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想，領會從特殊到一般、一般到特殊的數(shù)學方法，領會數(shù)學語言表達的規(guī)范化.用楊輝三角和組合性質(zhì)從數(shù)圖兩個方面分析二項式定理的展開過程，分析二項式的展開式各項系數(shù)的特點，能利用通項公式求二項式系數(shù)、展開式系數(shù)、常數(shù)項、有理項等.

在課堂教學中，教師引導學生探究數(shù)學史中牛頓在二項式定理“數(shù)”方面的發(fā)現(xiàn)，以及楊輝在《九章算法》中“形”方面的貢獻，分析規(guī)律，歸納猜想，讓學生由圖到數(shù)，數(shù)形結合，觀察、分析、比較、總結楊輝三角及展開式的結構特點，認識二項式定理;同時引導學生利用組合性質(zhì)，借助楊輝三角的“圖”特征，總結歸納項的數(shù)字系數(shù)，字母系數(shù)，單項式的個數(shù)，字母a，b次數(shù)的變化特點，為推導（a+b）n的展開式提供了方法，使學生在后續(xù)學習過程中有“法”可依.通過（a+b）3，（a+b）4展開式的探究方法，學生類比得到（a+b）n的展開式.二項式定理的證明采用“說理”的方式，從計數(shù)原理的角度對展開過程分析，概括出二項式的展開式的特點，利用組合知識分析展開式中具有同一形式的項的個數(shù)，從而得出用組合數(shù)表示的展開式.其中，二項式定理的常用結論有：

下面就二項式定理在數(shù)學高考試題中?？嫉念}型的變式訓練加以舉例說明.

一、利用通項公式求展開式中指定項或特定項

利用通項公式來求二項式系數(shù)、展開式系數(shù)、常數(shù)項、有理項等，此類題的解題步驟：①寫出通項公式;②令未知數(shù)的次數(shù)等于指定的次數(shù)，求出r的值;③帶入通項公式中，即可求出指定項或特定項.

二、利用賦值法求有關系數(shù)的和

利用二項式展開式中各項系數(shù)的規(guī)律，求有關系數(shù)的和.此類題的解題步驟：①寫出已知二項式的展開式;②一般令未知數(shù)值等于1，0，-1;③通過加減運算，即可求出有關系數(shù)的和.

三、利用二項式定理證明整除問題和證明有關不等式問題

二項式定理在高考試題中還考查與其他知識點的綜合運用，通常利用二項式定理證明整除問題和證明有關不等式問題，以及求近似值的問題.此類題的解題步驟：①利用二項式展開式的通項公式;②根據(jù)二項式展開式中各項系數(shù)的規(guī)律;③結合證明的問題，進行推理論證和運算求解.

總之，二項式定理是數(shù)學高考中常考的一個考點，本文就二項式定理在數(shù)學高考試題中?？嫉念}型加以改編并舉例說明.此外，與二項式定理有關的題型還有二項式系數(shù)、展開式系數(shù)、展開式中的項最值問題、二項式定理的正用與逆用等，與二項式定理有關的題型不勝枚舉，本文就不一一列舉了.在課堂教學中，教師需要不斷地探索課程改革與教學改革，推陳出新，不斷發(fā)現(xiàn)新問題、新思路、新方法，從而不斷完善自我.

【參考文獻】

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