基于數(shù)學(xué)抽象 示范問題提出

張小川 石寶明

【摘 要】 從數(shù)學(xué)抽象、問題提出兩個方面解讀了2021重慶中考數(shù)學(xué)壓軸題.中考原題從數(shù)學(xué)抽象的角度給讀者展示了一種提出新問題的思路.此問題給讀者帶來的教學(xué)啟發(fā)是教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力和養(yǎng)成題后反思的習(xí)慣.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)抽象;問題提出;解題策略

1 中考原題

（2021重慶中考數(shù)學(xué)壓軸題）在△ABC中，AB=AC，D是邊BC上一動點，連接AD，將AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至AE的位置，使得∠DAE+∠BAC=180°.

（1）如圖1，當(dāng)∠BAC=90°時，連接BE，交AC于F.若BE平分∠ABC，BD=2，求AF的長;

（2）如圖2，連接BE，取BE的中點G，連接AG.猜想AG與CD存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

2 特色解讀

2.1 立足數(shù)學(xué)抽象，示范問題提出

本壓軸題首先在角度為特殊值的背景下，探索線段的長度，繼而舍去角度的特殊值，在一般性的情況中，探索兩條線段之間的數(shù)量關(guān)系.將問題一般化，讓學(xué)生通過抽象和概括去認(rèn)識問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，這是培養(yǎng)學(xué)生形成理性思維的重要思想方法，這樣的探索，容易找出問題的本質(zhì)特征，養(yǎng)成一般性思考問題的習(xí)慣.并且，本壓軸題從第（1）題到第（2）題的變化，展示了一個提出新問題的思路，那就是將問題進(jìn)行一般化處理，改變問題的條件，探索新的結(jié)論.教育部頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》和《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（大綱）》（1996年、2003年、2001年、2012年、2017年）也均提到了“……發(fā)現(xiàn)問題和提出問題……從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)并提出問題”[1].文獻(xiàn)[2][3][4]表明在教學(xué)活動中融入問題提出對學(xué)生的學(xué)習(xí)有積極的作用，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維.對于如何提出新問題，大多數(shù)學(xué)生只能憑感覺模仿，沒有形成行之有效的提出問題方法，本壓軸題給讀者提供了一個良好的示范.

2.2 開放解題入口，領(lǐng)會解題策略

第（2）題在第（1）題共頂點兩個等腰三角形的基礎(chǔ)上，給出線段的中點，探索兩條線段之間的數(shù)量關(guān)系.通過對多種基本圖形的組合形成新問題，因為基本圖形的多樣性，解答的切入點較多，可以有多種思路，解題思路主要有：構(gòu)造中位線解答、倍長中線（補(bǔ)短）解答、可以構(gòu)造中線（截長）解答……通過分析這些解題思路的過程，感悟問題的多種解題思路的區(qū)別，在解決問題時，欲尋找問題解法突破點，可以從知識探源的角度，運(yùn)用波利亞解題表的提示語進(jìn)行自我提問，探索解答思路.

3 解法

思路一 構(gòu)造三角形中位線

方法1 如圖3，因為點G是BE的中點，可以過點E作AG的平行線，交BA的延長線于點F，則AB=AF，EF=2AG，再證明EF=CD即可.證明兩條線段相等常用的方法有：三角形全等、角平分線的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、平行四邊形對邊相等、平行四邊形對角互相平分、等弧所對的弦、垂徑定理……結(jié)合本題給出的條件，可以選擇用三角形全等解答，也就是證明△ADC≌△AEF.現(xiàn)在分析這兩個三角形全等的條件，因為AB=AC，AB=AF，所以AC=AF;原題中有AD=AE，只需要再證明∠DAC=∠EAF即可.根據(jù)原題給出的條件∠DAE+∠BAC=180°，所以（∠DAC+∠CAE）+∠BAC=180°，又（∠EAF+∠CAE）+∠BAC=180°，所以∠DAC=∠EAF.得出△ADC≌△AEF后有EF=CD，因為EF=2AG所以，CD=2AG.

方法2 如圖4，過點B作AG的平行線交EA的延長線于點F，則AE=AF=AD，BF=2AG.再證明BF=CD，也就是證明△ABF≌△ACD.現(xiàn)在三角形全等的條件已經(jīng)有AB=AC，AF=AD，只需要證明∠FAB=∠DAC即可.而∠FAB+∠BAE=180°，有∠FAB+（∠BAC+∠CAE）=180°;因為∠DAE+∠BAC=180°，所以（∠DAC+∠CAE）+∠BAC=180°.所以∠FAB=∠DAC.得出△ABF≌△ACD后就有BF=CD，所以CD=2AG.思路二 倍長中線

方法3 如圖5，因為G是BE的中點，延長AG到F使得AG=GF，連接BF，則有△AEG≌△FBG，所以BF=AE，AG=GF，得出AF=2AG.再證明AF=CD即可.

而證明AF=CD可通過證明△ABF≌CAD實現(xiàn)，現(xiàn)在已經(jīng)有AB=AC，BF=AE=AD，只要再證明∠ABF=∠CAD即可.

因為BF∥AE，所以∠ABF+∠BAE=180°;因為∠BAC+∠DAE=180°，所以∠BAC+（∠DAC+∠CAE）=180°，也就是（∠BAC+∠CAE）+∠DAC=180°，所以∠DAC+∠BAE=180°.得出∠ABF=∠DAC.剩下的部分與方法2類似，略.

方法4 如圖6，延長AG到F使得AG=GF，連接EF，有△ABG≌△FEG.得出AB=EF=AC，AG=GF，從而有AF=2AG.要證明AF=CD，只需要證明△AEF≌△DAC即可.現(xiàn)在已經(jīng)有AE=AD，EF=AB=AC，只要再實現(xiàn)∠AEF=∠DAC即可.因為AB∥EF，所以∠AEF+∠BAE=180°;因為∠BAC+∠DAE=180°，所以∠BAC+（∠DAC+CAE）=180°，故（∠BAC+∠CAE）+∠DAC=180°，所以∠DAC+∠BAE=180°，所以∠AEF=∠DAC.剩下的證明過程，略.

思路三 平分線段CD

方法5 如圖7，找CD的中點H，連接AH并延長使得AH=HF，連接DF，有△ACH≌△FDH，所以AC=AB=DF，DH=CH=12CD，DF∥AC.因為DH是△ADF的中線，AG是△ABE的中線，只要證明△ADF≌△ABE就可證明出AG=DH.證明△ADF≌△ABE已經(jīng)具備的條件有AB=AC=DF，AE=AD，只要再探索出∠ADF=∠BAE即可.