2021年淮安市一道考題的思考

【摘 要】 對于2021年淮安市中考數(shù)學第26題的“拓展延伸”的第（1）小題，考生能夠猜到兩線段的數(shù)量關系是相等，但很多考生無法給出其證明.這個證明真的很難嗎？文章從學生的知識儲備、審題兩個方面分析了解題受阻原因，提出了應對策略，基于不同思想方法進行了解題分析.倡導教師加強對課本的研究，特別在處理課本例習題時，不能僅僅停留在解題層面上，還應加強問題的縱向挖掘橫向聯(lián)系，在歸納總結的過程中，努力提高學生的分析問題解決問題的能力.

【關鍵詞】 HL定理;等腰三角形;課本問題;解剖“麻雀”

1 考題呈現(xiàn)

題1 【知識再現(xiàn)】學完“全等三角形”一章后，我們知道“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（簡稱‘HL定理）”是判定直角三角形全等的特有方法.

【簡單應用】如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D，E分別在邊AC，AB上.若CE=BD，則線段AE和線段AD的數(shù)量關系是________.

【拓展延伸】在△ABC中，∠BAC=α（90°<α<180°），AB=AC=m，點D在邊AC上.

（1）若點E在邊AB上，且CE=BD，如圖2所示，則線段AE與線段AD相等嗎？如果相等，請給出證明;如果不相等，請說明理由.

（2）若點E在BA的延長線上，且CE=BD.試探究線段AE與線段AD的數(shù)量關系（用含有α，m的式子表示），并說明理由.

2 解題分析

題1是2021年淮安市中考數(shù)學第26題，這是一道閱讀說理題，問題層次清晰言簡意賅，寥寥數(shù)語就勾勒出問題的大致輪廓，道出了問題的背景，這也在某種程度上暗示考生：題1與直角三角形全等的判定HL有聯(lián)系，是HL定理的延續(xù).題1需考生回答的問題共有3個，本文僅分析第2個，即【拓展延伸】的第（1）小題.

圖2呈對稱性，可看作是由圖1向下“壓縮”的結果.借助于幾何直觀，考生容易猜出圖2中線段AE，AD的數(shù)量關系是AE=AD，但從考后反映看，很多考生無法給出其證明.那么這個證明真的很難嗎？

不難發(fā)現(xiàn)，在不添加輔助線的情況下，僅用初中知識還不足以證明AE=AD.那么如何添加輔助線思考呢？為了便于行文，現(xiàn)將【拓展延伸】的第（1）小題中的說理部分用命題形式表述如下：

題2 如圖2，在△ABC中，∠BAC=α（90°<α<180°），AB=AC，點D，E分別在邊AC，AB上，且CE=BD，求證：AE=AD.

2.1 課本問題

先分析與題2相關的幾個課本問題：

蘇科版《數(shù)學》八年級上冊（下稱“同冊”）第31頁第8題：

題3 已知：如圖3，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是高，求證：BD=CE.

題3用文字語言表述即為“等腰三角形的兩腰上的高相等”.這是等腰三角形的一個性質，是解決題2時，最容易聯(lián)想到的一個有價值的命題，只是這個命題被以問題的形式安排在教材的前一章“全等三角形”中.那么在進行等腰三角形的性質教學時，教師是否會引領學生回望一下這個曾經(jīng)研討過的問題？是否會對問題作變式教學（如頂角變?yōu)橹苯?，鈍角）？是否會對這個命題加以提煉，以便于學生將其納入等腰三角形的性質這個知識系統(tǒng)呢？顯然，任何一個環(huán)節(jié)教學不到位，都會影響這個命題信息在證明題2時不能及時被提取.

再如，同冊課本的教師用書在第65—66頁給出一個教學建議，即可根據(jù)實際情況，補充如下例題：

題4 已知：如圖4，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn).求證：DE=DF.

題4用文字語言表述即為“等腰三角形的底邊的中點到兩腰的距離相等”.這個命題對解決題2同樣有價值，不過，教師用書僅是一個建議，教師是否補充還需根據(jù)教學的實際情況.事實上，教材在“等腰三角形的軸對稱性”這一節(jié)中安排了等腰三角形的性質及判定，等邊三角形的性質及判定，直角三角形的斜邊上中線的性質等內(nèi)容，但只給了3個學時，由于內(nèi)容多，教學時間緊，實際的教學情況可能有部分老師無暇顧及這道補充例題.

還有，同冊課本第67頁的第9題：

題5 已知：如圖5，AB=AC，∠ABD=∠ACD.求證：BD=CD.

對于題5的教學，很多老師的課堂可能僅限于問題的證明，部分老師會將圖5中的四邊形ABCD演變?yōu)榘妓倪呅危蛳蚯霸倏缫徊?，如將“∠ABD=∠ACD”與“BD=CD”對調，但仍囿于問題的證明教學.倘若課堂上師生共同探討將圖5“裂變”為圖6，引出題6，題7，再共同歸納提煉，那么必有一些考生在證明題2時，將會多了一條“化歸法”的路子.

題6 已知：如圖6，△ABD和△ECF中，AB=EC，AD=EF，∠B=∠C=α（90°<α<180°），求證：△ABD≌△ECF.

題7 已知：如圖6，△ABD和△ECF中，∠B=∠C，AB=EC=a，AD=EF=b，且a

蘇科版《數(shù)學》八年級下冊第69—71頁還提及了反證法，隨后配備了相關的閱讀材料，但沒有配備相應的思考題，由于缺少系統(tǒng)的訓練，因而當考生證明題2受阻時，一時半會兒也不可能想到反證法.

鑒于上述知識儲備情況的分析，大部分考生無法證明題2也就不奇怪了.

2.2 解剖“麻雀”

考生證明題2卡殼的另一個因素是審題草率，分析問題解決問題的能力不強.對于圖1中等腰直角△ABC，很多考生對它僅是走馬觀花式地“瞟”了一眼，在對【簡單應用】中的問題作出回答后，就將其束之高閣了，這是一種不負責任的審題方式.如果對圖1，圖2的分析稍加入微些，標注出圖1，圖2中△ABC各角的度數(shù)，如圖1中△ABC各角的度數(shù)分別為90°，45°，45°，圖2中△ABC各角的度數(shù)分別為α，90°-12α，90°-12α，將會發(fā)現(xiàn)圖1到圖2的演變的跨度是很大的，等腰直角三角形的形狀是唯一的，而頂角為α（90°<α<180°）的等腰三角形的形狀不唯一，它是一類等腰三角形，要研究與這一類等腰三角形相關的問題的屬性，可以從其特殊性中選擇一個典型的問題入手——解剖“麻雀”.如

題8 如圖7，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，點D，E分別在邊AC，AB上.若CE=BD，則線段AE與線段AD相等嗎？如果相等，請給出證明;如果不相等，請說明理由.

在題8中，由于∠BAC=120°，容易聯(lián)想到與其相鄰的補角為60°，進而聯(lián)想并構造含30°的直角三角形，如作BF⊥AC，CG⊥AB，垂足分別為F，G，得AF=AG=1，BF=CG=3.也可作EP⊥AC，DQ⊥BA，垂足分別為P，Q.設AP=x，AQ=y，則EP=3x，DQ=3y，CP=2+x，BQ=2+y.再如根據(jù)∠ABC=∠ACB=30°，可作EM⊥BC，DN⊥BC，垂足分別為M，N，設EM=x，DN=y，MN=a，則BM=3x，CN=3y，BN=3x+a，CM=3y+a.顯然，當標注出相關線段的長度或線段之間的數(shù)量關系后，剩下的解題路徑就較明朗了.

3 四種證法

結合以上分析，下面給出題2的四種證法：

證法1 （綜合法）如圖8，作BF⊥AC，CG⊥AB，垂足分別為F，G，則∠F=∠G=90°.結合∠BAF=∠CAG，AB=AC，得△BAF≌△CAG（AAS）.進而BF=CG，AF=AG.由于CE=BD，因而Rt△CEG≌Rt△BDF（HL）.從而EG=DF.進而EG-AG=DF-AF，即AE=AD.

評注1 圖8中，△BCF，△BCG均是以BC為斜邊的直角三角形，因而以BC為直徑作⊙O交邊CA，BA的延長線分別于點F，G，連接BF，CG（圖略），類似可解.

若結合命題“等腰三角形的底邊的中點到兩腰的距離相等”及CE=BD，則構圖如下：如圖9，分別取BC，BE，CD的中點O，M，N，連接OM，ON，作OG⊥AB，OF⊥AC，垂足分別為G，F(xiàn)，可證△OBG≌△OCF（AAS），Rt△OGM≌Rt△OFN（HL）.進而BG=CF，MG=NF.從而2（BG-MG）=2（CF-NF），即BE=CD.因而AE=AD.

不難看出，圖9與圖8是有聯(lián)系的，如以點C（B）為位似中心，位似比為12，將圖8中的△BDF（△CEG）縮放，得圖9中的△ONF（△OMG）.

證法2 （以數(shù)解形法）如圖10，作EM⊥BC，DN⊥BC，垂足分別為M，N，則∠EMB=∠DNC=90°.由AB=AC，得∠EBM=∠DCN.因而△BEM∽△CDN.進而EBDC=EMDN=BMCN.設EM=x，DN=y，BM=nx，則CN=ny.再設MN=a，由BD=CE，得BN2+DN2=CM2+EM2，即（nx+a）2+y2=（ny+a）2+x2.整理，得（x-y）[（n2-1）（x+y）+2an]=0.由AB=AC，90°<∠A<180°，得0°<∠EBM<45°.因而BM>EM，即nx>x.所以n>1.從而（n2-1）（x+y）+2an>0.所以x-y=0，即x=y.于是EB=DC.進而AE=AD.

評注2 證法2是在前文題2解答分析的基礎上提出的.這里通過作高線EM，DN，分別將斜△EBC，△DCB分割成兩個小直角三角形（即“化斜為直”），其中Rt△BEM與Rt△CDN相似，Rt△CEM，Rt△BDN的斜邊CE，BD相等，進而緊扣對稱性設未知數(shù)，結合BD=CE列出等量關系，并瞄準因式x-y（=0）整合方程，從而達到了以數(shù)解形的目的.類似地，作△ACE，△ABD的高線EP，DQ（如圖11），也可將這兩個斜三角形“化斜為直”：

如圖11，作EP⊥AC，DQ⊥AB，垂足分別為P，Q，則∠P=∠Q=90°.結合∠EAP=∠DAQ，得△EAP∽△DAQ.

進而AEAD=APAQ=EPDQ.設AP=x，AQ=y，EP=nx，則DQ=ny.由BD=CE，得DQ2+BQ2=EP2+CP2.再設AB=AC=m，因而（ny）2+（m+y）2=（nx）2+（m+x）2.整理，得（x-y）[（n2+1）（x+y）+2m]=0.顯然，（n2+1）（x+y）+2m>0.因而x-y=0，即x=y，亦即AP=AQ.所以AE=AD.

證法3 （反證法）如圖12，假設AE≠AD.在AB上取點E′，使AE′=AD，連接CE′.因而AE′≠AE.結合AC=AB，∠A=∠A，得△ACE′≌△ABD.所以CE′=BD.由于CE=BD，因而CE′=CE.接下來，選擇以下一種方法可說明假設不成立.

①由CE′=CE，得∠CE′E=∠CEE′.因而∠CE′E，∠CEE′均為銳角，但這是不可能的.因為當點E′在AE上時（如圖12（1）），∠CE′E=∠A+∠ACE′>∠A>90°;當點E′在BE上時（如圖12（2）），∠CEE′=∠A+∠ACE>∠A>90°.故假設不成立.

②如圖13，再作CH⊥BA，垂足為H.由于CE′=CE，CH=CH，因而Rt△CHE′≌Rt△CHE.所以HE′=HE（也可由勾股定理推得）.因而AE′=AE，這與AE′≠AE矛盾.故假設不成立.

因而AE=AD.

評注3 在直接證明較為困難的情況下，可以考慮間接證法，方法3采用的是間接證法中的反證法.當然，證法3中的第一段內(nèi)容也可用如下方法替換：

①假設AE≠AD，作△BCD的外接圓⊙O，交AB于點E′，連接CE′（圖略）.由AB=AC，得∠ABC=∠ACB.進而CE′=BD.

②如圖12，假設AE≠AD，在AB上取點E′，使AE′=AD，連接CE′，則AE′AB=ADAC.由于△CAB∽△BAC，因而CE′BD=BCCB=1.進而CE′=BD.（注：這里將△ABC看成是相似比為1的兩個相似三角形疊放成的，再運用相似三角形的對應線段的比等于相似比）

證法4 （化歸法）如圖14，以CE（=BD）為一邊作△CEA′，使△CEA′≌△BDA，連接AA′，則A′C=AB，A′E=AD，∠CA′E=∠BAD.由于AB=AC，所以AC=A′C.從而∠CAA′=∠CA′A.進而∠EAA′=∠EA′A.因而A′E=AE.所以AE=AD.

評注4 證法4就是根據(jù)題6（或題7）與題5之間的關系，結合BD=CE，將△BDA拼接到△CEA上，將問題化歸為題5.

當然，還可以將△BDA“移動”到△B′D′A′的位置（如圖15），其中，點B′與點C重合，A′D′落在邊BA的延長線上.具體證明如下：

在BA的延長線上取點A′，D′，使A′C=AB，A′D′=AD，連接CD′，作CH⊥AB，垂足為H.結合AB=AC，得A′C=AC.因而∠CA′A=∠CAA′，A′H=AH.進而∠CA′D′=∠BAD.因而△CA′D′≌△BAD（SAS）.所以CD′=BD.結合BD=CE，得CD′=CE.所以D′H=EH.進而D′H-A′H=EH-AH，即A′D′=AE.所以AD=AE.

其實，這個證法也是有（題）“根”可尋的，同冊課本第74頁第9題是：

題9 如圖16，點D，E在BC上，且AB=AC，AD=AE.圖中還有哪些相等的線段？試用不同的方法證明你的結論.

運用圖15證明題2，其過程雖然沒有證法4簡捷，但此法有明顯優(yōu)點，就是讓題1的【拓展延伸】的第（2）小題搭上了解題的“順便車”，駛入了解題的快車道.

4 反思提升

以上給出了題2的四種證法，這也是題1的【拓展延伸】的第（1）小題的AE=AD的四種證法.在這些證法中，即使等腰三角形的相關性質在某些環(huán)節(jié)上存在或多或少的教學不到位，但由于它們是常規(guī)的問題，在平時的教學中會不時地涉及到，因而綜合法仍然是學生最容易想到的方法.相對于綜合法，后三種方法就顯得非常規(guī)了，如果沒有前文的解剖“麻雀”，那么想建立以數(shù)解形法將會困難得多.當然，由解剖“麻雀”也容易聯(lián)想到文中的綜合法.反證法是間接證法，是正難則反思想中的一種方法，雖然反證法在課堂教學中偶爾提及，但就本文而言，學生不難理解.化歸法是運用全等變換，將題2化歸為課本習題，建立的是題與題之間的聯(lián)系，是在兩個不同的問題之間找到共同點，這不僅要求解題者對課本習題非常熟悉，同時還需具有敏銳的洞察力，以及較強的思維應變能力.可見，題2的證明是有難度的，但由于其解決的路徑比較多，只要基本功扎實，思維靈活，考生總能找到一款適合自己的方法.同時說明，2021年淮安市中考第26題是一道好題，是一道將眾多數(shù)學思想方法融為一體的思維性極高的考題，要解好這類既源于課本又高于課本的考題，在平時的教學中，教師應加強對課本的研究，特別是例習題的教學不能僅僅停留在解題層面上，還應加強問題的縱向挖掘橫向聯(lián)系的教學，在歸納總結的過程中，努力提高學生的分析問題解決問題的能力.

最后，需提及的是，由題2的四種證法，均可證明圖2中的△ABD≌△ACE，因而也就證明了題7，此命題用文字語言表述即為：“有兩邊及較大邊所對的角分別相等的兩個三角形全等.”這實質上推廣了HL定理.基于這個推廣，可以看出用圖6中的兩個三角形“組圖”，除了可以組合成圖2、圖5、圖16等圖形外，還有其他組合形式，這里再列舉幾個，供教學參考.

題10 如圖17，四邊形ABCD中，AB=DC，AD∥BC，∠ADB=α（90°<α<180°）.四邊形ABCD是平行四邊形嗎？為什么？

題11 如圖18，四邊形ABCD中，AB=CD，∠B=∠D=α（90°<α<180°）.四邊形ABCD是平行四邊形嗎？為什么？

題12 如圖19，AC⊥BC，DC⊥EC，AE=BD，DC=EC.圖中AE，DB有怎樣的位置關系？為什么？

題13 如圖20，△ABC中，AB=AC，D是其內(nèi)部一點，∠ADB=∠ADC.AD與BC有怎樣的位置關系？為什么？

作者簡介 何良（1968—），男，江蘇淮安人，中學高級教師，主要從事初中數(shù)學教學研究.