做好跨章整合 實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)

【摘 要】 在深度學(xué)習(xí)的視角下，復(fù)習(xí)課不僅是學(xué)生做題、鞏固解題技巧的過程，更是教師把各章節(jié)內(nèi)容整合后，呈現(xiàn)給學(xué)生進(jìn)而引發(fā)深度學(xué)習(xí)的過程.在此過程中，教師應(yīng)更多關(guān)注學(xué)生再發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造能力的培養(yǎng)和提升，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從“學(xué)會”到“會學(xué)”的轉(zhuǎn)變.

【關(guān)鍵詞】 深度學(xué)習(xí);單元教學(xué);反比例函數(shù);中心對稱圖形

所謂深度學(xué)習(xí)，就是指在教師引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過程[1].深度學(xué)習(xí)倡導(dǎo)單元學(xué)習(xí)[2].從“課時(shí)學(xué)習(xí)”到“單元學(xué)習(xí)”，是新時(shí)期學(xué)習(xí)方式變革的具體體現(xiàn).而復(fù)習(xí)課的過程，不僅是學(xué)生做題、鞏固解題技巧的過程，更是教師把各章節(jié)內(nèi)容整合后呈現(xiàn)給學(xué)生進(jìn)而引發(fā)深度學(xué)習(xí)的過程.在此過程中，教師應(yīng)更多關(guān)注學(xué)生再發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造能力的培養(yǎng)和提升，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從“學(xué)會”到“會學(xué)”的轉(zhuǎn)變.

2021年6月，筆者有幸參加了2021年新課標(biāo)背景下北京—江蘇專家指導(dǎo)與交流研討會，并承擔(dān)了一節(jié)數(shù)學(xué)學(xué)科同課異構(gòu)課，授課內(nèi)容為蘇教版教材八年級下冊“反比例函數(shù)與中心對稱圖形專題”復(fù)習(xí)課，本節(jié)課是兩章內(nèi)容的跨章整合復(fù)習(xí)課，教學(xué)設(shè)計(jì)體現(xiàn)了主題單元教學(xué)思想、整體立意，能引發(fā)學(xué)生深度學(xué)習(xí).在研討會上得到了較好的呈現(xiàn)，獲得了與會專家和聽課教師的一致好評，現(xiàn)將本節(jié)課的教學(xué)實(shí)施過程與大家分享.

1 教材分析

本節(jié)課是反比例函數(shù)和中心對稱圖形這兩章內(nèi)容的跨章整合單元復(fù)習(xí)課.反比例函數(shù)是代數(shù)內(nèi)容，而中心對稱圖形——平行四邊形是幾何內(nèi)容.但是，反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形;而平行四邊形是中心對稱圖形.因此，這兩章知識存在內(nèi)在的聯(lián)系，反比例函數(shù)的圖象和平行四邊形有一個(gè)共同點(diǎn)——中心對稱性，因此它們具備一些相同的性質(zhì)，本節(jié)課就從圖形對稱性的應(yīng)用來展開研究.

本節(jié)的授課內(nèi)容面向初二年級學(xué)生，學(xué)生已學(xué)習(xí)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握了求反比例函數(shù)的表達(dá)式、k的幾何意義等知識，同時(shí)，學(xué)生也學(xué)習(xí)了中心對稱圖形的知識，能利用平行四邊形以及特殊平行四邊形的性質(zhì)和判定進(jìn)行推理證明，具備了對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行探究的意識和能力，這都為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).但本節(jié)課是兩章內(nèi)容整合的復(fù)習(xí)課，不是知識的簡單重復(fù)，而是要在原有知識的基礎(chǔ)上有新發(fā)現(xiàn)、新感悟，并有所突破，從而激發(fā)學(xué)生的求知欲.因此，本節(jié)課以“中心對稱”這一共同點(diǎn)，將反比例函數(shù)和中心對稱圖形的知識聯(lián)系起來，讓學(xué)生在活動探究的過程中，感悟知識的內(nèi)在聯(lián)系，并在活動探究過程中感悟利用中心對稱性解決問題的思路和方法.

2 教學(xué)目標(biāo)

1.學(xué)會利用反比例函數(shù)圖象的中心對稱性構(gòu)造平行四邊形及特殊的平行四邊形，掌握運(yùn)用圖形的中心對稱性解決有關(guān)問題的思路和方法.

2.通過活動探究等活動解決問題，提高運(yùn)用圖形的對稱性解決實(shí)際問題的能力，滲透數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)直觀想象能力，養(yǎng)成歸納總結(jié)的良好習(xí)慣.

3.感受數(shù)學(xué)的對稱美，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心.

3 教學(xué)實(shí)施

環(huán)節(jié)1 熱身練習(xí)，溫故知新

引入語 本學(xué)期已接近尾聲，在復(fù)習(xí)的時(shí)候，我們最好能把具有相同點(diǎn)的知識歸類整理，以便發(fā)現(xiàn)規(guī)律，更好地解決問題.本節(jié)課老師就與大家一起來復(fù)習(xí)反比例函數(shù)和中心對稱圖形這兩章的內(nèi)容.請大家思考：反比例函數(shù)與平行四邊形有哪些相同的性質(zhì)？

復(fù)習(xí)回顧：正比例函數(shù)y=kx（k>0）與反比例函數(shù)y=12x的圖象的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，6），則兩圖象的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是________.

追問1：你是如何求得兩圖象的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)的？

學(xué)生1：利用函數(shù)圖象的中心對稱性，反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的圖形都是以原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形，因此它們的交點(diǎn)坐標(biāo)也關(guān)于原點(diǎn)對稱.

追問2：如圖1，老師在黑板上畫出任意兩條反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的圖象，它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為P1（x1，y1），P2（x2，y2），你能得到什么結(jié)論？

學(xué)生2：歸納小結(jié)1：若反比例函數(shù)y=kx（k≠0）與正比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象相交于點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2），則有x1=-x2，y1=-y2.

學(xué)生3：還可以得到OP1=OP2.

設(shè)計(jì)說明 通過做練習(xí)，回顧反比例函數(shù)的性質(zhì)，喚醒學(xué)生思維，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，同時(shí)讓學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用;通過追問2，讓學(xué)生歸納具有相同對稱中心的兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的特征，形成規(guī)律，為環(huán)節(jié)2的活動探究做好鋪墊.

過渡語 既然平行四邊形也是中心對稱圖形，我們能否利用反比例函數(shù)的圖象構(gòu)造平行四邊形呢？讓我們通過下面的“活動探究”感受圖形中心對稱性的美妙之處！

環(huán)節(jié)2 活動探究，發(fā)現(xiàn)問題

活動1：如圖2，請你在反比例函數(shù)y=12x的圖象上任意選取四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D畫四邊形，使四邊形ABCD是平行四邊形，并簡述你的畫法.

課堂評價(jià) 教師在學(xué)生畫圖時(shí)巡視，發(fā)現(xiàn)學(xué)生主要有兩種不同的畫法，選兩位學(xué)生代表展示并敘述自己的畫法.

學(xué)生4：（投屏，如圖3所示，）在反比例函數(shù)的每一個(gè)分支上各選擇一個(gè)點(diǎn)A，B，連接AB，并畫AB的平行線CD，連接BC，AD.

學(xué)生5：（按自己的畫法將圖形畫在老師事前準(zhǔn)備在黑板上的反比例函數(shù)圖象上，如圖4所示）在反比例函數(shù)第一象限的圖象上任選兩點(diǎn)A，D，分別連接AO，DO并延長，交反比例函數(shù)在第三象限的圖象于點(diǎn)C，B，順次連接A，B，C，D四點(diǎn)即可.

追問3：學(xué)生4和學(xué)生5畫出的四邊形ABCD一定是平行四邊形嗎？為什么呢？怎樣驗(yàn)證學(xué)生4所畫的四邊形是不是平行四邊形呢？

學(xué)生6：學(xué)生4畫出的四邊形只保證了一組對邊平行，因此不一定是平行四邊形，可以連接兩條對角線AC和BD，看它們是否交于點(diǎn)O，如果不交于點(diǎn)O就說明它的對角線不互相平分，就不是平行四邊形（教師按學(xué)生6的敘述在屏幕上畫圖驗(yàn)證）;學(xué)生5畫出的四邊形一定是平行四邊形，因?yàn)樗膶蔷€互相平分.

設(shè)計(jì)說明 比較畫平行四邊形的不同方法，體會利用反比例函數(shù)圖象的中心對稱性畫圖的便捷之處，同時(shí)感受利用平行四邊形的中心對稱性（即對角線互相平分）來判定平行四邊形的簡潔之處.

追問4：觀察黑板上學(xué)生5畫出的的平行四邊形，思考：y軸把平行四邊形分成的兩部分有何關(guān)系？

追問5：你還能找到這樣的直線嗎？你還有別的發(fā)現(xiàn)嗎？

追問6：具備什么條件的直線能把中心對稱圖形分成全等的兩部分？

歸納小結(jié)2：經(jīng)過中心對稱圖形的對稱中心的任意一條直線把中心對稱圖形分成全等的兩部分.

設(shè)計(jì)說明 通過追問4—6，利用畫出的平行四邊形觀察中心對稱圖形的其它性質(zhì)，引發(fā)學(xué)生深度思考并及時(shí)歸納總結(jié)，形成規(guī)律.

活動2：如圖2，你能否在反比例函數(shù)y=12x的圖象上選取四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D畫四邊形，使四邊形ABCD是矩形？請簡述你的畫法及理由.

課堂評價(jià) 學(xué)生畫圖過程中教師巡視，發(fā)現(xiàn)學(xué)生都能積極思考、勇于探索，也觀察到學(xué)生有兩種不同的畫法，選兩位學(xué)生代表展示并敘述自己的畫法及理由.

學(xué)生7：（投屏，如圖5所示）

先畫出第一、三象限的角平分線MN，然后在反比例函數(shù)的圖象上任選一點(diǎn)A，過點(diǎn)A畫線段AD⊥MN，交反比例函數(shù)于點(diǎn)D，分別過點(diǎn)A，D畫線段AB⊥AD，CD⊥AD，與反比例函數(shù)的另一個(gè)分支交于點(diǎn)B，C，連接BC.理由：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.

學(xué)生8：（投屏，如圖6所示）在反比例函數(shù)的圖象上任選一點(diǎn)A，連接AO，以O(shè)為圓心、AO為半徑作圓，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)B，C，D，順次連接A，B，C，D四點(diǎn)即可.理由是：對角線互相平分且相等的四邊形是矩形.

追問7：這樣的矩形可以作幾個(gè)？它們在位置上有什么關(guān)系呢？

總結(jié)語 矩形與反比例函數(shù)的圖象不僅是中心對稱圖形還都是軸對稱圖形，利用它們的軸對稱性解決問題也是一種比較好的方法;中心對稱性是平行四邊形和所有特殊平行四邊形共同的性質(zhì)，中心對稱性的體現(xiàn)就在于對角線互相平分.因此，利用與對角線有關(guān)的判定方法來判定特殊的平行四邊形應(yīng)該是更便捷的方法.

設(shè)計(jì)說明 活動2引發(fā)大部分學(xué)生深度學(xué)習(xí)，學(xué)生在動手畫圖的過程中深刻體會反比例函數(shù)的中心對稱性和軸對稱在解題中的作用.同時(shí)，追問7可以引發(fā)學(xué)生深度思考.

追問8：請大家思考，能否在反比例函數(shù)y=12x的圖象上找出四點(diǎn)A，B，C，D，畫出菱形、正方形呢？請說明理由.

設(shè)計(jì)說明 有了活動1和活動2的畫圖經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生可以在原有圖象的基礎(chǔ)上進(jìn)行邏輯推理，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力.

過渡語 我們學(xué)習(xí)了利用反比例函數(shù)圖象構(gòu)造平行四邊形以及特殊的平行四邊形，又回顧了中心對稱圖形的性質(zhì)，請大家來解決下面類比遷移中的問題.

環(huán)節(jié)3 類比遷移，解決問題

1.我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)：反比例函數(shù)的圖象是一個(gè)中心對稱圖形.你可以利用這一結(jié)論解決問題.

如圖7，在同一直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)的圖象可以看作是：將x軸所在的直線繞著原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度角后的圖形.若它與反比例函數(shù)y=3x的圖象分別交于第一、三象限的點(diǎn)B，D，已知點(diǎn)A（-m，0）、C（m，0）.

（1）直接判斷并填寫：不論α取何值，四邊形ABCD的形狀一定是________;

（2）①當(dāng)α=30°，四邊形ABCD是矩形時(shí)，試求B點(diǎn)坐標(biāo)和m的值;

②觀察猜想：對①中的m值，能使四邊形ABCD為矩形的點(diǎn)B共有幾個(gè)？請求出它們的坐標(biāo).

（3）探究：四邊形ABCD能不能是菱形？若能，直接寫出B點(diǎn)的坐標(biāo)，若不能，說明理由.

設(shè)計(jì)說明 本題首先應(yīng)用了平行四邊形的中心對稱性，而后再利用在活動2中體驗(yàn)到的方法構(gòu)造特殊的平行四邊形——矩形，構(gòu)造方法與活動2既有聯(lián)系又有區(qū)別;同時(shí)，在求點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)還利用了方程思想、矩形的軸對稱性，鍛煉學(xué)生的直觀想象能力;在解題過程中鼓勵(lì)學(xué)生大膽發(fā)表自己的看法，培養(yǎng)學(xué)生綜合應(yīng)用相關(guān)知識解決具體問題的能力.

2.如圖8，在矩形ABCD中，M，N，P，Q分別為邊AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合）.對于任意矩形ABCD，下面四個(gè)結(jié)論中：

①存在無數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是平行四邊形;

②存在無數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是矩形;

③存在無數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是菱形;

④至少存在一個(gè)四邊形MNPQ是正方形.

所有正確結(jié)論的序號是________.

設(shè)計(jì)說明 該題是2019年北京市中考試題，為填空題的最后一道，當(dāng)時(shí)中考試題解讀時(shí)是用幾何畫板演示做的說明.其實(shí)利用圖形的中心對稱性來解決本題比較方便，如果本節(jié)課學(xué)生實(shí)現(xiàn)了深度學(xué)習(xí)，那么他會畫出與矩形ABCD對角線交點(diǎn)互相重合的四邊形MNPQ，如圖8所示，進(jìn)而利用與對角線有關(guān)的判定方法對四邊形MNPQ的形狀做出判斷.

環(huán)節(jié)4 回顧反思，歸納總結(jié)

問題：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們對反比例函數(shù)和平行四邊形應(yīng)該又有了新的認(rèn)識，你有哪些收獲想跟同伴分享？還有哪些感悟？

設(shè)計(jì)說明 培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成及時(shí)歸納反思的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣.

4 思考與感悟

4.1 有效的問題串激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

蘇霍姆林斯基曾說：“學(xué)習(xí)如果具有思想、感情、創(chuàng)造、美和游戲的鮮艷色彩，那它就能成為孩子們深感興趣和富有吸引力的事情.”[3]本節(jié)課從反比例函數(shù)圖象和平行四邊形一個(gè)共同性質(zhì)——中心對稱性入手，找到了二者一個(gè)很好的結(jié)合點(diǎn)，建立了二者之間的聯(lián)系，讓學(xué)生感受了中心對稱性的美妙之處.而貫穿本節(jié)課始終的問題串的推進(jìn)，極大的激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.本節(jié)雖然是復(fù)習(xí)課，但不是知識的機(jī)械重復(fù)，是讓學(xué)生在已有知識的基礎(chǔ)上有了新的發(fā)現(xiàn)和感悟.因此，學(xué)生有較強(qiáng)的好奇心和求知欲，在探究過程中始終能夠積極參與，勇于質(zhì)疑并發(fā)表自己的觀點(diǎn).

4.2 學(xué)生真正成為“活動與體驗(yàn)”的主體

活動與體驗(yàn)是深度學(xué)習(xí)的核心特征.本節(jié)課活動1和活動2的設(shè)置，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)過程的體驗(yàn)性、互動性和生成性，整個(gè)活動過程學(xué)生都能全身心地投入，真正成為了教學(xué)活動的主體.并且在系列化問題解決過程中，學(xué)生能逐步發(fā)現(xiàn)解決問題的方法，感受到圖形中心對稱性的作用無處不在，也感受到了數(shù)形結(jié)合的奇妙之處，更好地發(fā)展了學(xué)生的核心素養(yǎng).

4.3 “遷移與應(yīng)用”得以有效落實(shí)

“遷移與應(yīng)用”需要學(xué)生有綜合的能力、創(chuàng)新的意識.本節(jié)課的學(xué)習(xí)，滲透了數(shù)形結(jié)合思想、方程思想，培養(yǎng)了學(xué)生的直觀想象能力.而類比遷移中兩個(gè)問題的設(shè)置，更增加了本節(jié)課內(nèi)容的深刻性與豐富性，整個(gè)學(xué)習(xí)過程，學(xué)生都能主動參與探究活動，學(xué)習(xí)的主動性、自覺性都得以加強(qiáng)，學(xué)生的理論知識與實(shí)踐應(yīng)用得到有效整合，學(xué)科能力和學(xué)科素養(yǎng)均得到有效提升，最終達(dá)到了深度學(xué)習(xí)的目的.

參考文獻(xiàn)

[1]郭華.深度學(xué)習(xí)及其意義[J].課程·教材·教法，2016，36（11）：25-32.

[2]劉月霞，郭華.深度學(xué)習(xí)：走向核心素養(yǎng)[M].北京：教育科學(xué)出版社，2018：72.

[3]蘇霍姆林斯基.把整個(gè)心靈獻(xiàn)給孩子[M].唐其慈，畢淑芝，趙瑋，譯.天津：天津人民出版社，1981：154.

作者簡介 程霞（1975—），女，河北石家莊人，中學(xué)高級教師，區(qū)級學(xué)科帶頭人.主要研究數(shù)學(xué)教育，曾榮獲首都勞動獎?wù)?、師德榜樣等榮譽(yù)稱號，發(fā)表論文7篇.