通過數(shù)據(jù)分析來理解抽屜原理中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)規(guī)律

周善玲

[摘 要]在抽屜原理的語境里， “不管”“總有”“至少”這些邏輯關(guān)聯(lián)詞屬于“新面孔”，學(xué)生理解起來費(fèi)勁，對此，教師應(yīng)該重理解內(nèi)化輕結(jié)論描述，從數(shù)據(jù)分析著手，不僅指點(diǎn)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)量變化規(guī)律，還要讓學(xué)生運(yùn)用“不管”“總有”“至少”等抽象的邏輯詞來揭示規(guī)律。

[關(guān)鍵詞]抽屜原理;數(shù)據(jù)分析;數(shù)學(xué)規(guī)律

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）32-0021-02

“抽屜原理”是人教版教材第十二冊“數(shù)學(xué)廣角”的內(nèi)容，它體現(xiàn)的是一種排列組合的基本數(shù)學(xué)思想方法，應(yīng)用廣泛。但是教材卻以一種抽象和理論的面目呈現(xiàn)該內(nèi)容。教學(xué)時(shí)，怎樣才能將排列組合的解法簡單明了地詮釋出來？許多教師都付出過艱辛的努力，效果卻不盡如人意。

【課堂現(xiàn)狀】

師：有三個(gè)偉大的蘋果為人類科學(xué)做出了卓越的貢獻(xiàn)，你們知道嗎？

生1：一個(gè)是掉到牛頓頭上的那個(gè)蘋果。

師：見多識廣。

生2：還有喬布斯的“蘋果”手機(jī)。

師：這個(gè)被咬了一口的蘋果帶給人類全新的手機(jī)體驗(yàn)方式。第三個(gè)蘋果呢？

生3：不知道。

師：西方神話中，亞當(dāng)和夏娃偷吃了蘋果，締造了人類。

師：老師這里也有3個(gè)蘋果，將它們隨意裝進(jìn)2個(gè)果盤里，一共有多少種不同的放法？分組合作探究，可以采用學(xué)具拼擺、稿紙上畫示意圖、分批計(jì)數(shù)等方法研究。

師：每組選派兩名代表匯報(bào)，一人解說操作方法，一人進(jìn)行動作演示。

展示學(xué)生成果：（2，1）、（1，2）、（0，3）、（3，0）。

師：（2，1）和（1，2）、（0，3）和（3，0）都只是順序不同，只算作一種情況。為了辨認(rèn)方便，以第一個(gè)果盤的蘋果數(shù)為基準(zhǔn)，統(tǒng)一按照由多到少的順序排列。如此一來，3個(gè)蘋果裝進(jìn)2個(gè)果盤里，出現(xiàn)兩種分裝方案（3，0）和（2，1）。

師：如果數(shù)字繼續(xù)變大呢，把4個(gè)蘋果裝進(jìn)3個(gè)果盤里，共存在幾種不同的分裝方法？

展示學(xué)生成果：（4，0，0）、（3，1，0）、（2，2，0）、（2，1，1）。

師：將4個(gè)蘋果裝進(jìn)3個(gè)果盤里，先分析數(shù)量關(guān)系，什么是恒定的？

生4：無論采取何種分裝方案，3個(gè)果盤里的蘋果總數(shù)恒等于4。

生5：一個(gè)果盤里最多可以裝4個(gè)蘋果。

生6：最少可以一個(gè)都不放。

師：也就是說，無論怎么放，容量最多的果盤里會有4個(gè)、3個(gè)、2個(gè)。換言之，無論怎么設(shè)計(jì)，必然有一個(gè)果盤里放置的蘋果數(shù)不少于2個(gè)。

顯然，整個(gè)教學(xué)過程流暢有序，條理清晰。由3個(gè)蘋果引發(fā)學(xué)生的好奇心，學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)活動探究“3個(gè)蘋果裝進(jìn)2個(gè)果盤”時(shí)，會將分布情況相同但是數(shù)值順序不同的方案歸并為一種方案，而且受有序思維的影響，會以某一盤為標(biāo)準(zhǔn)，按照由多到少的順序排列;接著根據(jù)活動經(jīng)驗(yàn)和思維方式解決“4個(gè)蘋果裝進(jìn)3個(gè)果盤”怎么分配的問題時(shí)，學(xué)生輕車熟路，很快得出結(jié)論;最后，教師想通過指導(dǎo)學(xué)生觀察數(shù)量關(guān)系的變化規(guī)律，進(jìn)一步挖掘?qū)嶒?yàn)結(jié)果背后的數(shù)據(jù)，得出數(shù)學(xué)化的法則和結(jié)論，使學(xué)生的思維從感性走向理性，從定量分析走向定性分析。但理想很豐滿，現(xiàn)實(shí)很骨感，“無論采取哪種分裝方案，必然有一個(gè)果盤里放置的蘋果數(shù)不少于2個(gè)”這個(gè)結(jié)論最終還是由教師自問自答、自說自話。

【教學(xué)改進(jìn)】抽屜原理的結(jié)論是這節(jié)課的難點(diǎn)，難度過大，就要分散攻克，數(shù)據(jù)分析依然是有效的突破口。

師：把4個(gè)蘋果裝進(jìn)3個(gè)果盤，一共有幾種分裝方案？

（學(xué)生先用學(xué)具代替蘋果拼擺，然后在紙上畫出示意圖，分塊記數(shù)）

展示學(xué)生成果：（4，0，0）、（3，1，0）、（2，2，0）、（2，1，1）。

師：還有其他方案嗎？

生：沒有了。

1.初步觀察，檢查確認(rèn)感知

師：觀察以上四種方案。各種方案里，蘋果數(shù)最多的果盤最多時(shí)能達(dá)到多少？是第幾種？為什么？

生1：顯然是第一種分裝方案，因?yàn)樗械奶O果都放進(jìn)這一個(gè)果盤了。

師：所有蘋果集中于一盤，數(shù)目最多。那么最少是多少呢？這又是為什么？

生2：裝有蘋果最多的果盤里的蘋果數(shù)最少時(shí)是2個(gè)，也就是第3種和第4種分裝方案，因?yàn)樘O果最大限度地平均分散了。

師：裝有蘋果最多的果盤里的蘋果數(shù)由4個(gè)、3個(gè)到2個(gè)，為何一路下降？

生3：因?yàn)閷⑹Ｏ碌奶O果轉(zhuǎn)移到其他果盤了。

師：也就是說，要讓最大量變少，其他果盤就要多分擔(dān)、多分?jǐn)偂?/p>

2.再次觀察，總結(jié)規(guī)律

師：回過頭來綜合對比分析各種不同的放法，蘋果數(shù)最多的果盤，在數(shù)量上有什么變化規(guī)律？

生4：逐漸遞減。

生5：但是有最低值，最少有2個(gè)蘋果。

師：“最少有2個(gè)蘋果”，用數(shù)學(xué)的專業(yè)邏輯術(shù)語，應(yīng)該說成“至少有2個(gè)蘋果”。（板書：至少）

師：換言之，不管怎么放，數(shù)量最多的那個(gè)果盤里至少有2個(gè)蘋果。那是不是意味著每個(gè)果盤都是這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)？

生6：不一定。有的果盤達(dá)到不少于2個(gè)的標(biāo)準(zhǔn)，有的則少于2個(gè)蘋果。

師：能概括一下嗎？

生7：把4個(gè)蘋果裝進(jìn)3個(gè)果盤，無論采取哪種分裝方案，至少有2個(gè)蘋果會裝進(jìn)同一個(gè)果盤。

師：這種現(xiàn)象是偶然還是必然？

生8：必然的。

師：把4個(gè)蘋果裝進(jìn)3個(gè)果盤，無論采取哪種分裝方案，必然會發(fā)生某一個(gè)果盤里至少放進(jìn)2個(gè)蘋果的現(xiàn)象。換成數(shù)學(xué)專業(yè)語言就是：把4個(gè)蘋果裝進(jìn)3個(gè)果盤里，至少會有2個(gè)蘋果裝進(jìn)同一個(gè)果盤里。（板書：至少）

師：這個(gè)結(jié)論是我們通過實(shí)踐活動驗(yàn)證出來的。

3.三次觀察，假設(shè)推導(dǎo)

師：對比四種裝法，哪種更能直觀地反映這個(gè)結(jié)論呢？為什么？

生9：第四種更能直觀地反映這個(gè)結(jié)論。因?yàn)樘O果被最大限度地平分到各個(gè)果盤，避免兩極分化。

師：如果要讓裝的蘋果最多的果盤的蘋果數(shù)量最少，你覺得該怎么操作？

生10：先在每個(gè)果盤里裝1個(gè)蘋果，剩下的那個(gè)無論裝到哪個(gè)果盤，這個(gè)果盤里就會出現(xiàn)2個(gè)蘋果。

師：這其實(shí)是假設(shè)法，先假設(shè)每個(gè)果盤里裝1個(gè)蘋果，這種做法其實(shí)就是哪種分配方案？

生11：平均分。

師：剩余的1個(gè)如何安置？

生12：隨機(jī)放進(jìn)一個(gè)盤里，那么這個(gè)果盤一共就有2個(gè)蘋果。

師：只有平均分才能盡可能讓各個(gè)果盤數(shù)量最少，不至于出現(xiàn)“冒尖”的。平均分后，還多1個(gè)，只能塞進(jìn)某一個(gè)果盤里，不可避免出現(xiàn)有個(gè)果盤里裝了2個(gè)蘋果。誰能用算式來表達(dá)這個(gè)規(guī)律？

生13：4÷3=1……1。

師：商1和余數(shù)1各自表示什么意義？

師：在探究把4個(gè)蘋果放進(jìn)3個(gè)果盤一共有幾種方法的問題中，主要采取兩種研究法，一是一一列舉所有擺放法，二是運(yùn)用假設(shè)法來揭示其中的數(shù)學(xué)規(guī)律，你更傾向于哪種方法？

【教學(xué)反思】

首先，抽屜原理的應(yīng)用十分廣泛，其背后的深刻數(shù)學(xué)規(guī)律，學(xué)生卻鮮有涉足，更不要說用算式去證明和推導(dǎo)了。教師指導(dǎo)學(xué)生利用學(xué)具操作或者畫示意圖來解說這種現(xiàn)象，通過解說達(dá)到理解內(nèi)化“抽屜原理”的目的，這就是數(shù)學(xué)證明的低級形式和初級階段。通過這樣的方式訓(xùn)練培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，能為學(xué)生以后學(xué)習(xí)嚴(yán)謹(jǐn)專業(yè)的數(shù)學(xué)證明打下基礎(chǔ)。因此教學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)，重在指引學(xué)生將生活問題進(jìn)行“數(shù)學(xué)化”處理，幫助他們積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，體會用數(shù)學(xué)理論解釋生活現(xiàn)象的樂趣和科學(xué)性。

其次，重理解輕發(fā)現(xiàn)。理解是先出示結(jié)論，然后解釋這個(gè)結(jié)論，還是邊理解邊生成結(jié)論？顯然，對于結(jié)論描述的術(shù)語里涉及的“不管”“總有”“至少”等邏輯關(guān)聯(lián)詞，需要與學(xué)生的口語互譯互通，才能讓溝通更為順暢。教師要將文字性和語言性的學(xué)習(xí)素材納入學(xué)生已有話語體系里，融為一體，學(xué)生才能從原有知識結(jié)構(gòu)中找到與新知高度相關(guān)的連接點(diǎn)。這樣，新舊知識在學(xué)生的頭腦中就會交匯合流，碰撞出智慧的火花，學(xué)生對新知的認(rèn)知也更加自信和深刻，同時(shí)原有的知識也會得到提升和升華，這些語言文字上隱性的學(xué)習(xí)素材就能轉(zhuǎn)化為學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

最后，數(shù)據(jù)分析是歸納出抽屜原理結(jié)論的必由之路。小學(xué)階段慣用的數(shù)據(jù)分析法是對比分析法，通過對比多組數(shù)據(jù)的差異和增減關(guān)聯(lián)性，從而揭示其背后隱藏的事物變化規(guī)律，其特點(diǎn)是直觀反映事物數(shù)量方面的變化規(guī)律，并且可以將這種規(guī)律用數(shù)學(xué)運(yùn)算進(jìn)行量化。

（責(zé)編 金 鈴）