“找次品”問(wèn)題的再研究

陳海飛

[摘 要]“找次品”是人教版教材五年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)廣角的內(nèi)容，和“打電話”一樣，屬于解題策略和方案優(yōu)化問(wèn)題，這類問(wèn)題具有強(qiáng)烈而明顯的操作性和實(shí)踐性，需要通過(guò)實(shí)踐探究總結(jié)出一般策略，進(jìn)而建立一般的解題模型。

[關(guān)鍵詞]找次品;輕重;至少;次數(shù);分組

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）32-0029-02

有一篇論文（以下稱“論文A”）分析了一道關(guān)于找次品的練習(xí)題：“一批產(chǎn)品共有6件，其中1件是次品，從外觀上無(wú)法分辨，只有質(zhì)量略有差異，如何找出次品？用天平稱，至少稱幾次能確保找出次品？”并提出“一般通過(guò)分一分、稱一稱、找一找三個(gè)步驟，至少稱4次能確保找出次品”。文章作者還引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想“正常情況下，如果提前告知次品是重于或輕于正品，產(chǎn)品數(shù)量介于3[n-1]與3[n]之間，能確保找出次品的最少稱量次數(shù)就是n”，并在后文中驗(yàn)證了這個(gè)猜想，形成結(jié)論。

一、觀點(diǎn)對(duì)撞

而另一篇論文（以下稱“論文B”）則對(duì)論文A的結(jié)論予以駁斥，它不僅以檢測(cè)有1件次品的4件產(chǎn)品為例來(lái)反駁，還以有1件次品的14件產(chǎn)品為例，詳述了在不知道次品與正品誰(shuí)輕誰(shuí)重的前提下，找出次品的一般流程。按論文B的論述，當(dāng)產(chǎn)品數(shù)量為14時(shí)，至少稱5次才可以確保找出次品。論文B還論證了3～76件產(chǎn)品找次品（不知次品與正品誰(shuí)輕誰(shuí)重）的檢測(cè)流程，并歸納出一般公式：當(dāng)產(chǎn)品數(shù)量大于6時(shí)，產(chǎn)品數(shù)量與找出次品所需的最少稱量次數(shù)存在這樣的數(shù)量關(guān)系：當(dāng)2[n-1]< [產(chǎn)品數(shù)量-49] <[2n]時(shí)，能確保找出次品的最少稱量次數(shù)是（n+4）次。

例如：在不知道次品與正品誰(shuí)輕誰(shuí)重時(shí)，如果產(chǎn)品數(shù)量為9，由于[9-49] = [59]，2[-1]< [59] <[20]，0+4=4，那么能確保找出次品的最少稱量次數(shù)是4;如果產(chǎn)品數(shù)量為14，由于[14-49] = [109]，2[0] <[109] <[21]，1+4=5，那么能確保找出次品的最少稱量次數(shù)為5。

筆者對(duì)論文B的結(jié)論持保留意見(jiàn)。下面，筆者同樣以14件產(chǎn)品為例來(lái)闡述個(gè)人意見(jiàn)。筆者的操作方法是：

首先把14件產(chǎn)品隨機(jī)編號(hào)為1～14，然后按照編號(hào)分成三組：a1組為1～5號(hào)，b1組為6～10號(hào)，c1組為11～14號(hào)。第一次稱a1、b1兩組，可能出現(xiàn)兩種結(jié)果。

（1）天平平衡。那么次品在c1組中，第二次可以稱11號(hào)和12號(hào)，也可能有兩種結(jié)果。①天平平衡，則次品必然是13號(hào)或14號(hào)。第三次可以稱11號(hào)（已證實(shí)為正品）和13號(hào)，若天平平衡，則次品是14號(hào);若天平傾斜，則次品是13號(hào)。②天平傾斜，則次品不是11號(hào)就是12號(hào)，13號(hào)和14號(hào)必為正品。第三次可以稱11號(hào)和13號(hào)，若天平平衡，則次品必是12號(hào);若天平傾斜，則11號(hào)為次品。

（2）天平傾斜。則次品在a1、b1兩組的某一組中，不妨將這兩組產(chǎn)品混合，再分為（3，3，4）三組，第二次稱（3，3）兩組，也可能有兩種結(jié)果。①天平平衡，則次品在“4”組中，按4件產(chǎn)品找次品的步驟，至少稱2次能確保找出次品。因此，至少要稱4次。②天平傾斜（假設(shè)左“3”組重于右“3”組），則次品必然在這兩組中，第三次則可在“4”組中取出3件產(chǎn)品與左“3”組對(duì)比稱量。若天平平衡，則次品必然在右“3”組中，同時(shí)可以推知次品偏輕，那么第四次可在右“3”組中任取2件產(chǎn)品對(duì)比稱量，若天平平衡，則沒(méi)放到天平上的那件為次品;若天平傾斜，則較輕的那件是次品。若天平傾斜，則次品在左“3”組中，同時(shí)推知次品重于正品，那么第四次可在左“3”組中任取2件對(duì)比稱量，若天平平衡，則次品是沒(méi)放到天平上的那件;若天平傾斜，則較重那件是次品。

二、操作驗(yàn)證

通過(guò)上述操作方法可知，當(dāng)產(chǎn)品數(shù)量為14時(shí)，至少稱4次即可確保找出次品，并非論文B中所說(shuō)的5次。由此可見(jiàn)，論文B也有漏洞。那么在一批產(chǎn)品中，當(dāng)不知次品比正品輕還是重時(shí)（只含1件次品），如何盡快找出它呢？筆者以為仍需降低層級(jí)，從最簡(jiǎn)單的情況開始考慮。為敘述方便，設(shè)產(chǎn)品數(shù)量為n，依次編號(hào)為1～n，按照編號(hào)分為a2、b2、c2三組。

1.當(dāng)產(chǎn)品數(shù)量為3時(shí)，需稱2次。操作如下：

第一次，稱1號(hào)和2號(hào)。（1）天平平衡，則3號(hào)必然是次品。（2）天平傾斜，則第二次稱1號(hào)和3號(hào)（確認(rèn)為正品），若天平平衡，則2號(hào)是次品;若天平傾斜，則1號(hào)是次品。

2.當(dāng)產(chǎn)品數(shù)量為4時(shí)，至少稱2次。操作如下：

第一次，稱1號(hào)和2號(hào)。（1）天平平衡，則次品為3號(hào)或4號(hào)，第二次稱1號(hào)和3號(hào)。若天平平衡，則可以確定4號(hào)為次品;若天平傾斜，則3號(hào)定為次品。（2）天平傾斜，則次品為1號(hào)或2號(hào)，第二次稱1號(hào)和3號(hào)，若天平平衡，則可推知2號(hào)為次品;若天平傾斜，則1號(hào)為次品。

3.當(dāng)產(chǎn)品數(shù)量為5時(shí)，至少稱3次。操作如下：

把5件產(chǎn)品分成（2，2，1）三組，先稱（2，2）兩組。（1）天平平衡，則直接確認(rèn)5號(hào)是次品。（2）天平傾斜，則次品在（2，2）兩組中，再按4件產(chǎn)品找次品的步驟來(lái)處理，至少還需稱2次，一共是3次。

4.當(dāng)產(chǎn)品數(shù)量為6時(shí)，至少稱3次。操作如下：

把6件產(chǎn)品分成（2，2，2）三組，然后稱前（2，2）兩組。（1）天平平衡，則判斷次品為5號(hào)或6號(hào)。再稱1號(hào)和5號(hào)，若天平平衡，則判斷6號(hào)為次品;若天平傾斜，則5號(hào)為次品。（2）天平傾斜，則次品在前（2，2）兩組中，再按4件產(chǎn)品找次品的步驟操作，至少還需稱2次，一共是3次。

5.當(dāng)產(chǎn)品數(shù)量為7～10時(shí)，也至少需稱3次。具體操作略。

這也說(shuō)明，論文B中，產(chǎn)品數(shù)量為9時(shí)至少稱4次才能確保找到次品的結(jié)論是錯(cuò)誤的。

三、原理探索

筆者通過(guò)大量操作驗(yàn)證得出一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

從上表可以看出，當(dāng)產(chǎn)品數(shù)量大于2，且不知道次品與正品誰(shuí)輕誰(shuí)重時(shí)，產(chǎn)品數(shù)量與確保找到次品至少要稱的次數(shù)存在這樣的數(shù)量關(guān)系：當(dāng)[3n]+1<產(chǎn)品數(shù)量≤[3n+1]+ 1時(shí)，至少稱（n+2）次可以保證找到次品。例如當(dāng)產(chǎn)品數(shù)量為4時(shí)，由于[30]+1<4≤[31]+ 1，即n =0，所以至少要稱0+2=2（次）。又如當(dāng)產(chǎn)品數(shù)量為14時(shí)，由于[32]+1<14≤[33]+ 1，即n=2，所以至少要稱2+2=4（次）。

筆者在操作實(shí)踐后發(fā)現(xiàn)，在不知次品與正品誰(shuí)輕誰(shuí)重時(shí)，為了盡快找出次品，分組很關(guān)鍵，分組和操作時(shí)應(yīng)遵循如下原則：

一是盡量將產(chǎn)品平分成三組（a、b、c），如果實(shí)在無(wú)法平分成三組，至少要保證其中兩組（a組與b組）的產(chǎn)品數(shù)量相等，且c組的產(chǎn)品數(shù)量與它們的相差1，第一次稱時(shí)選擇a、b兩組。

二是當(dāng)[3n]+1<產(chǎn)品數(shù)量≤[3n+1]+1時(shí)，a（b）組的產(chǎn)品數(shù)量≤[3n]，且c組的產(chǎn)品數(shù)量≤[3n]+1。例如當(dāng)產(chǎn)品數(shù)量是5～10時(shí)，由于[31]+1<產(chǎn)品數(shù)量≤[31+1]+1，即n =1，所以a、b兩組的產(chǎn)品數(shù)量不超過(guò)3（[31]），同時(shí)c組的產(chǎn)品數(shù)量不超過(guò)4（[31]+1），這樣首次稱量時(shí)，若天平平衡，則次品范圍可以縮小到c組中。由于c組的產(chǎn)品數(shù)量≤[3n]+ 1，所以至少稱（n + 1）次即可找出次品。還是以產(chǎn)品數(shù)量是5～10時(shí)為例，由于 [31]+1<產(chǎn)品數(shù)量≤[31+1]+ 1，即n=1，所以a、b兩組的產(chǎn)品數(shù)量不多于3（[31]），同時(shí)c組的產(chǎn)品數(shù)量不超過(guò)4（[31]+1）。

當(dāng)稱a、b兩組時(shí)，若天平平衡，那么次品可以鎖定在c組中，因?yàn)閏組的產(chǎn)品數(shù)量不超過(guò)4，所以找出次品要稱的次數(shù)不超過(guò)2次，總次數(shù)也不超過(guò)3次。

三是考慮到如果首次稱量時(shí)天平傾斜，則次品在a、b兩組中，所以在分組時(shí)還應(yīng)考慮到二次稱量后確定次品所在組別，同時(shí)還應(yīng)能夠判斷出次品是輕于還是重于正品。例如產(chǎn)品數(shù)量為70時(shí)，若分成（20，20，30）三組，當(dāng)（20，20）組平衡時(shí)，次品在30件組中。由于30>28，根據(jù)前述理論可知，在不知道次品是輕于還是重于正品的情況下，30件產(chǎn)品無(wú)法稱4次保證找到次品;若分成（25，25，20）三組時(shí)，在稱（25，25）組傾斜后，鎖定次品在這兩組產(chǎn)品共50件中，第二次無(wú)論怎么稱，既無(wú)法確定次品在a組還是在b組，也無(wú)法獲知次品是輕于還是重于正品，這樣對(duì)于50件產(chǎn)品，同樣無(wú)法保證在4次稱量?jī)?nèi)找出次品。而如果分成（21，21，28）三組，若天平平衡，則次品在c組的28件產(chǎn)品中，按前述理論稱4次即可找出次品;若天平傾斜，則次品在a、b兩組的某一組中，記住a、b傾斜的情況，第二次在c組中取21件產(chǎn)品與a組對(duì)比稱量，即可判斷出次品所在組別，并確定次品是輕于還是重于正品，按理論已知次品輕或重于正品的前提下，21件產(chǎn)品只需稱3次即可找出次品，共5次即可找出次品。根據(jù)上述原則，分成（22，22，26）三組或（23，23，24）三組，同樣稱5次即可保證找出次品。

（責(zé)編 吳美玲）