挖掘常微分方程課程的思政教育元素

竇霽虹

摘 ?要：常微分方程課程是數(shù)學類專業(yè)的重要平臺課程。文章從培養(yǎng)學生專業(yè)興趣、科學研究思維模式、胸懷大志的愛國情懷和團結(jié)協(xié)作精神四個方面，深度挖掘課程思政教育元素，以案例為載體，將其有機地融入課程教學，使學生在解決問題的過程中學習知識、鍛煉能力、提升素質(zhì)。課程思政教育在一流課程建設中起到重要的作用。

關鍵詞：課程思政;常微分方程;教學案例;一流課程建設

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A ? ? ? ? ?文章編號：2096-000X（2021）33-0109-04

Abstract： Ordinary differential equation course is an important platform course for mathematics majors. We deeply digs the ideological and political education elements in courses from four aspects， including cultivating the students' professional interests， the thinking mode of scientific research， the patriotic feelings with ambition and the spirit of unity and cooperation. By taking the case as the carrier， the elements are organically integrated into the course teaching， so that students can learn knowledge， exercise ability and improve their quality in the process of solving problems. Curriculum ideological and political education plays an important role in the construction of first-class curriculum.

Keywords： ideological and political education in courses; ordinary differential equation; teaching cases; first-class course construction

常微分方程是伴隨微積分產(chǎn)生和發(fā)展而成長起來的一門數(shù)學分支，從誕生之日起就顯現(xiàn)出它在應用上的重要性。常微分方程課程已經(jīng)形成較為完整的理論體系，是數(shù)學類專業(yè)的平臺課程。課程培養(yǎng)的知識目標是學生不僅掌握理論知識的數(shù)學思想，還要學會發(fā)現(xiàn)問題、分析問題及具有解決問題的思路及方法;能力目標是鍛煉創(chuàng)新思維和應用意識;素質(zhì)目標是使學生成為有道德、有文化、有理想的社會主義新型人才。如何將立德樹人貫穿到常微分方程課程教學過程之中，挖掘課程思政教育元素，提升教育質(zhì)量，是一線教師教學研究的重要課題，也是一流課程建設的重要組成部分。我們以培養(yǎng)學生專業(yè)興趣、科學研究思維模式、胸懷大志的愛國情懷和團結(jié)協(xié)作精神四個方面為目標，以設計教學案例為切入點，將思政元素融入到案例或案例實施過程之中，使學生在完成案例的過程中學習知識、鍛煉能力、提升素質(zhì)。

一、培養(yǎng)學生對數(shù)學的學習興趣

課堂是教師與學生互動的主要陣地，是學校教育的主戰(zhàn)場，在課堂上教師不僅要教學生課程知識，還有責任給予學生身心關懷和心理教育，逐步使學生形成對世界的正確認識。教師通過精心設計為教學服務的問題或案例，使學生在解決問題的過程中理解數(shù)學的意義，熱愛自己的專業(yè)，努力學習，服務于社會。

（一）新概念學習時設計實際背景案例

從新概念引入時就要牽住學生的注意力，設計一些有趣的數(shù)學背景案例，使學生了解數(shù)學問題的來龍去脈，更深刻地理解數(shù)學概念，增強學習數(shù)學專業(yè)課的動力。比如，從研究自由落體運動出發(fā)引入微分方程的解、通解和特解的概念;從研究數(shù)學擺的運動方程出發(fā)引入常微分方程及其初值問題的概念等。

（二）課程內(nèi)容學習時設計系列小案例

課程理論知識學習時要適時提出一些能夠展示學生能力的問題或案例，使學生在做題過程中體會到自己的價值，更加努力學習，養(yǎng)成良好的數(shù)學思維，更加熱愛自己的專業(yè)。

在學習高階線性齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)時，教師先要設計簡單易入手的例子，如，“二階線性齊次方程x"+x=0的解具有什么性質(zhì)？”讓學生討論或獨立完成。學生通過觀察和嘗試，容易找到該方程兩個線性無關的解sinx、cosx，又可以驗證它們?nèi)我饩€性組合也是方程的解，進一步發(fā)現(xiàn)并得到結(jié)論：任意高階線性齊次方程都具有這樣的線性性質(zhì)。大部分學生都能理解并做到這些，有了很大的信心渴望繼續(xù)學習。接著，再提出一個有深度的問題：“以上二階線性齊次方程還有其他形式的解嗎？”可以通過三人一組的討論相互帶動完成。利用泰勒展式可以證明該方程的任意一個解都可由線性無關的解線性表示沒有其他形式的解了。引導同學們得到重要結(jié)論：“二階線性齊次方程x"+x=0的所有解關于函數(shù)的加法與數(shù)乘構(gòu)成了二維線性空間。”同學們順著這個思路就自然會提出問題：“是否任意n階線性齊次方程所有解構(gòu)成的集合關于函數(shù)的加法與數(shù)乘構(gòu)成了n維線性空間？”學生學會自己提出問題，帶著問題去學習，層層深入直至問題本質(zhì)，這期間有同學之間的相互競爭，也有相互帶動，有動力有激情，逐步使學生養(yǎng)成良好的思考方式，喜歡這樣的學習，喜歡上這樣的課程。

（三）課程知識應用時設計建模案例

課程知識應用時融入數(shù)學建模案例，能使課程內(nèi)容更加豐富多彩，使課程教學充滿生機，也讓學生感受到數(shù)學并不是空泛的理論，它與實際問題有密切的聯(lián)系，使學生從思想上認識數(shù)學的真正含義，提高學習數(shù)學課程的信心，樹立學以致用的思想。比如，在學習一階線性方程的應用時，引入“某地區(qū)人口的預測與控制問題”“油畫的甄別問題”“碳-14推測年代問題”等有趣的建模案例;在學習微分方程組的應用時，引入“傳染病模型問題”“醉酒駕車問題”“殺蟲劑的使用效用問題”等與實際密切相關的建模案例。

（四）課后練習和思考時設計個性化案例

個性化案例的設計，旨在豐富教學內(nèi)容、發(fā)揮學生特長、激發(fā)學生興趣、提升課程的研究性與挑戰(zhàn)度。使學生利用課余時間自主學習，滿足對知識的更高追求。

思考題舉例：在學習一階線性非齊次微分方程求解時，不能不提到一個有重要意義的方程，即黎卡提方程，該方程在已知一個特解的條件下，可以通過變量變換轉(zhuǎn)化成伯努利方程，從而可以化成線性方程求解問題，但有些黎卡提方程，比如：=x2+y2，被證明其解不能用初等函數(shù)及初等函數(shù)的積分形式來表示，這就意味著有一部分常微分方程不能用初等積分法求解，在這里我們就可以設計個性化問題：“能求解的黎卡提方程具有什么特點？”“查閱資料，關于黎卡提方程都有哪些重要的結(jié)果？”以小論文形式完成，讓學生們初步嘗試科學研究過程，開闊學習思路，產(chǎn)生興趣繼續(xù)深入研究。

討論題舉例：初值問題解的存在唯一性定理是常微分方程課程中的重要定理，在整個微分方程領域的研究及應用中起到理論支撐作用，在學習這些內(nèi)容時，不僅要讓學生理解定理意義、證明推導及其應用，還要教會學生以研究觀點審視問題，因此，設計案例“以不動點視角研究解的存在唯一性定理”，以獨立或三人一組討論完成，并撰寫論文，使學生主動學習不動點相關理論，提升學習和研究能力，感受科學研究魅力。

課后練習題舉例：常微分方程課程中的代表性科學家很多，如柯西、歐拉、劉維爾、伯努利、黎卡提、李雅普諾夫等，在課后練習時，適時引入科學家故事，讓學生了解科學家的事跡及取得的成就，教育學生學習科學精神，熱愛科學研究。在學習伯努利方程時，它雖不是線性方程，但它可以通過適當?shù)刈儞Q轉(zhuǎn)換成線性方程，從而可以求解。在這里設計了一個課后練習，“請查閱伯努利的科學貢獻”，學生通過查閱資料得知伯努利是一個家族，是17-18世紀瑞士的數(shù)學家族，祖孫三代出過十余位數(shù)學家和物理學家。最杰出的是丹尼爾伯努利（Daniel Bernoull），他解決了微分方程中的黎卡提方程，他的貢獻涉及天文學、力學、磁學等多個方面，曾十次獲得法國科學院頒發(fā)的獎金。最值得稱頌的是丹尼爾伯努利與歐拉的友誼，歐拉曾經(jīng)是丹尼爾的助手，他們是最親密的朋友，也是競爭對手。他們通信40年，在通信中，丹尼爾向歐拉提供最重要的科學信息，歐拉以杰出的分析才能和豐富的工作經(jīng)驗，向丹尼爾提供最及時的幫助，被譽為“科學通信”。教育學生學習科學家的科學奉獻精神，引導學生理解“近朱者赤”的觀點，要積極上進，銳利進取。

開放性問題舉例：請觀察草坪的拐角踩踏曲線的形狀，建立踩踏曲線的數(shù)學模型，解釋為什么會形成那樣一種弧線。這個問題沒有確切的答案，希望同學們發(fā)散思維，廣泛思考，做出合理解答。有的說是圓弧的一部分，有的說是最速降線，有的說“沉沒成本”原理，有的說“破窗理論”思想，打開了學生的思維，激發(fā)了學生的好奇心，訓練了學生探索能力、解決實際問題的綜合能力，同時教育學生遵紀守法、增強保護環(huán)境的意識，理解自然與人類命運共同體的理念。

二、培養(yǎng)學生科學研究的思維模式

每一門課程都有其自身的特點，都有完整的課程體系與結(jié)構(gòu)。教師要通過課程教學，總結(jié)凝練課程中的研究思想和方法，將其滲透到教學過程中去，使學生掌握和領悟科學思想的精髓，嘗試和體驗科學研究，樹立熱愛科學的思想，立志成為對社會有用的人。

（一）課程中的普遍規(guī)律

常微分方程課程學習的大框架是從一維到多維，從線性到非線性，從方程到方程組，遵循人們從淺入深、從易到難認識事物的一般規(guī)律。課程學習的思路從點到面，先學到的是局部，最后掌握的才是全部。比如一階常微分方程的求解問題，先學習分離變量方程、線性方程、恰當方程等基本方程，再學習可以轉(zhuǎn)化成基本方程的類型，并且理解了能求解的方程只有一部分，還有些方程不能用初等積分法求解，那就要開辟新思路，從而掌握一階微分方程整體規(guī)律。還比如初值問題的逐步逼近法思想，在保證解存在唯一時，雖然求不出精確解，但可以通過迭代一步一步逼近真正解，也是從淺入深的過程。讓同學們看到，科學研究就是從簡單到復雜不斷深入的過程，人生奮斗過程何嘗不是這樣呢？掌握這些基本思路和規(guī)律，不僅對課程的學習有幫助，也對人生目標的理解和規(guī)劃有指導意義。

（二）課程中的變量變換思想

在常微分方程課程中常用的科學研究方法就是變量變換方法，它幾乎貫穿到整個課程教學之中，教會學生正確理解和應用變量變換思想，可以達到事半功倍的效果，對課程的學習和思維方式的養(yǎng)成有重要的指導意義。比如，變量變換方法可以通過適當?shù)淖兞孔儞Q把待求解方程轉(zhuǎn)換成已知類型的方程來求解;齊次方程可以轉(zhuǎn)化為分離變量方程來求解，伯努利方程可以轉(zhuǎn)化為線性方程來求解，非恰當方程可以通過積分因子轉(zhuǎn)化為恰當方程來求解等;歐拉方程是變系數(shù)線性方程，它可以引入自變量的指數(shù)函數(shù)變換化為常系數(shù)線性方程求解，而常系數(shù)線性方程求解問題又可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程求根問題。這種例子很多，如拉普拉斯變換法求解、一階隱式方程求解、高階方程的降階法、高階常系數(shù)線性方程特征值方法、非線性問題比較原理等都是變量變換法的應用。變量變換的思想還可以指導我們在日常生活和工作中遇到困難時，若換個角度去考慮問題就可能迎刃而解。

（三）課程中的科學猜想思想

科學猜想是一種重要的科學研究方法，它直觀、易操作、好理解，給我們探索未知提供了重要思路，在常微分方程課程中也不乏有這樣的例子。教師鼓勵學生大膽猜想，然后證明推測，或逐步找到問題的本質(zhì)，從中顯現(xiàn)出學生的聰明才智，這對學生的能力也是一種肯定，促使學生自然而然地不斷追求真理。

常數(shù)變易法是線性非齊次方程求特解的一種方法，借助于對應齊次方程通解結(jié)構(gòu)，將其中的任意常數(shù)換成函數(shù)來求解的方法，其實蘊含著“先猜想，再證明”的思路。還比如常系數(shù)線性非齊次方程求特解的待定系數(shù)法，右端函數(shù)是多項式與指數(shù)函數(shù)乘積的形式時，假設它的特解與右端函數(shù)有類似的函數(shù)形式，然后確實可求得其特解，這個思想既有猜想，又有類比。尋求特殊黎卡提方程一個特解，冪級數(shù)解法都是科學猜想法的應用。

三、培養(yǎng)學生胸懷大志的愛國情懷

任何一門科學的目的都是來服務于社會的，數(shù)學也是如此。教師要善于發(fā)現(xiàn)和聯(lián)想，關注數(shù)學原理與實際問題的關系，提煉出能夠承載教學目標的案例，將其有機融入到教學之中，實現(xiàn)教學目標。教師要不斷學習新知識，提升自己，更好地適應新的教學環(huán)境。

（一）案例“請用數(shù)學方法證明毛澤東提出的‘星星之火，可以燎原的論斷?！?/p>

在學習一階線性齊次微分方程時，我們設計了一個案例“請用數(shù)學方法證明毛澤東‘星星之火，可以燎原的論斷?！边@個問題的基本原理就是“馬爾薩斯人口模型”。做題時，學生查詢資料了解到，毛澤東1930年1月15日給林彪的一封信中提到了“星星之火，可以燎原”，批評了當時林彪以及黨內(nèi)一些同志對時局估量的悲觀思想，強調(diào)新生事物現(xiàn)在雖只有一點小小的力量，但它的發(fā)展會很快的，前途是光明的。做這個題目時，不僅溫習了課程知識，還學會了用所學理論解決實際問題的建模方法，鍛煉了能力，更了解了中國共產(chǎn)黨的發(fā)展歷史、毛澤東思想，堅定了愛黨愛國的信心。

（二）案例“2020年初新冠肺炎疫情席卷全球，請結(jié)合傳染病模型分析中國武漢新冠肺炎病情發(fā)展演化規(guī)律，并研究中國政府所采取抗疫決策的正確性?！?/p>

在學習微分方程組時，我們根據(jù)現(xiàn)實熱點問題設計了這個題目，是想讓學生們結(jié)合課程學習解決身邊存在的具體問題，鍛煉學生的應用意識和創(chuàng)新能力，是具有一定的探索性、研究性和個性化的綜合性實例。采取三人一組的討論形式進行，鍛煉同學們團結(jié)協(xié)作、撰寫論文、查閱資料文獻等能力。因為這是大家親身經(jīng)歷的事件，學生們很感興趣，促使學習傳染病模型的相關知識，利用常微分方程定性理論和微分方程近似求解方法分析解決現(xiàn)實問題，讓學生們深深體會到所學知識能真正用到實際中解決實際問題，也了解到了中國人民團結(jié)抗疫的感人事跡，更看到了中國共產(chǎn)黨的政治決策能力，樹立愛黨、愛國的堅定信念。

（三）案例“求出‘一帶一路中任意兩個國家和地區(qū)間用時最短的路徑?！?/p>

在學習微分方程的應用時，基于連接兩點用時最短路徑模型，設計了與“一帶一路”倡議相關的題目，這個問題的設計是想讓學生們學以致用，理解“一帶一路”合作倡議思想，獲取“一帶一路”沿線國家的地理位置及其經(jīng)濟狀況資料，對我國的管理理念——利益共同體、命運共同體和責任共同體有深刻的理解，了解中國在世界范圍內(nèi)的作用與地位，感受到作為中國人的驕傲和自豪，立志努力學習，報效祖國，使我們的國家更加繁榮昌盛。

（四）案例“基于人口模型，分析我國人口老齡化現(xiàn)狀，如何應對人口老齡化問題?！?/p>

在學習一階微分方程求解的應用時，根據(jù)2021年第七次全國人口普查結(jié)果顯示，人口老齡化是社會發(fā)展的重要趨勢，也是今后較長一段時期我國的基本國情。我們設計這個案例，旨在讓學生了解中國國情、社會發(fā)展現(xiàn)狀及國家決策思想，參與社會問題調(diào)查研究，樹立為社會服務的志向。

（五）案例“學習皮卡逐步逼近序列的構(gòu)造過程，你受到什么啟發(fā)？”

在學習解的存在唯一性定理證明的時候，這部分有五個命題，大篇幅的證明會使學生產(chǎn)生疲倦，學習效果也會受到影響，教師適時提出問題：“學習皮卡逐步逼近序列的構(gòu)造過程，你受到什么啟發(fā)？”一方面是為了調(diào)節(jié)課堂氣氛和學生情緒，加深印象，另一方面想通過逼近序列構(gòu)造過程使學生們明白人生奮斗過程也是如此，同時宣傳中國共產(chǎn)黨的“紅船精神”思想。

逐步逼近序列如下：

這是一組函數(shù)序列，一步一步逼近真解的過程。同學們回答“心中有目標，奮力前行”“不怕艱難險阻，堅定信念，越來越接近目標”時，教師適時宣傳中國共產(chǎn)黨的“紅船精神”，中國共產(chǎn)黨建黨一百年發(fā)展史就是逐步逼近序列的一個代表例子。不忘初心、砥礪前行，從一葉紅船到巍巍巨輪，每一次到岸都是下一次航行的起點，不斷地向目標靠近，駛向我們所向往的美好明天。

四、培養(yǎng)團結(jié)協(xié)作的精神

教師通過組織集體教學活動，使學生之間的交流、師生之間的互動更加頻繁，拉近了人與人的距離，建立起了更加深厚的同學情和師生情，加強了學生間的團結(jié)協(xié)作，增強集體責任感和集體榮譽感，學生在課堂里不僅學習知識，還能體會到人文關懷、團結(jié)協(xié)作帶來的精神力量，更加關愛周圍的每個人，熱愛班集體，樹立集體觀念。

（一）分組討論方式

三人一組的討論是最常見的互學研究小組，根據(jù)教師設計案例和教學目標，可以在課堂進行，也可是課外研究，使學生在解決問題的過程中充分交流，互相取長補短，也能最大化展示個人才能，增進同學之間的友誼。

（二）互糾互改方式

該方式是學生完成了課堂練習（當然是教師精心設計的）后，老師隨機安排學生相互批改糾錯，并提出點評意見。學生在互改過程中，發(fā)現(xiàn)自己的不足，看到了同學的長處，并能給同學提出建議，互相尊重，這種知識的汲取是很直接的、容易接受的，可以提高學習效率，也加深了同學之間的友情。

（三）學生報告會方式

此方式是一種展示學生自我和團結(jié)協(xié)作的綜合性教學活動，三人一組完成教師布置的課外任務。任務一般具有一定難度和挑戰(zhàn)性，比如：“從數(shù)學建模角度研究三孩政策對女性工作的影響?！弊鲱}時間相對較長，完成后除了提交論文，還要在全班范圍內(nèi)匯報，報告會一般由學生自己組織開展，由學生主持人安排和組織報告會進展，教師和學生代表是評委，或特邀嘉賓（輔導教師或其他老師）。這樣的報告會不僅要把題做好，論文寫好，還要在規(guī)定的時間內(nèi)講好，做好PPT課件等輔助工作，全方位展示學生學習研究狀況和能力。鍛煉學生們的學習研究能力、表達能力、寫作能力、團結(jié)協(xié)作能力和面對公眾的應變能力，同時展示班集體的精神面貌。

（四）學習比賽方式

學習比賽一般會在課余時間或課程教學結(jié)束后的復習課上進行，把復習課活躍起來，把學生的學習積極性調(diào)動起來。比如，把學生隨機分成幾個大組，教師事先準備好比賽題目及分值，如必答題、簡答題、抽答題、搶答題、風險題、思考題等，通過比賽的方式幫助學生復習概念和重要的知識點，最后得分最高的組勝出。這個活動不僅考驗各組內(nèi)部的配合和智慧，也展示全班的競爭和互動，激發(fā)了學生們的學習熱情，增強了集體榮譽感。

新時代下教育理念更加強調(diào)課程在人才培養(yǎng)中的核心地位，挖掘課程思政元素，正是把立德樹人作為教學的根本目標，對課程進行教學改革，以提升課程的高階性、創(chuàng)新性和挑戰(zhàn)度。課程思政教學研究是一流課程建設的重要組成部分，西北大學常微分方程課程已經(jīng)被認定為省級第一批線上線下混合式一流本科課程。希望這些做法能對相關課程的教學改革和一流課程建設提供一些參考建議。

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