立足基本圖形 彰顯變式精彩

祝霞霞

摘 要：通過挖掘、構(gòu)造基本圖形，讓學(xué)生積累數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗。通過對中考題進(jìn)行適度的變式、引申、拓展、整合，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)這類問題的本質(zhì)規(guī)律，進(jìn)而掌握解決問題的本質(zhì)方法并體會蘊含其中的數(shù)學(xué)思想方法。從而達(dá)到發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)、培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的。

關(guān)鍵詞：基本圖形;一題多解;本質(zhì)

以2020年溫州中考卷第10題為例，本道題以勾股圖為模型，主要考查勾股圖中的線段關(guān)系，利用圖形間的聯(lián)系，考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)等知識。題中搭建的模型蘊含豐富的基本圖形，學(xué)生可以從多個角度進(jìn)行探究，借助相似或合理添加輔助線，構(gòu)造相似三角形是解決本題的主要思路。本題及其變式的探究有利于培養(yǎng)學(xué)生的識圖構(gòu)圖能力，培養(yǎng)學(xué)生的分析問題和解決問題的能力。

一、原題呈現(xiàn)及分析

（一）知識鋪墊

思考一：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，你能得到哪些結(jié)論？

利用思考1對直角三角形的知識進(jìn)行回顧，可以從邊、角、線、面積等方面進(jìn)行求解，采用開放性問題打開學(xué)生的思路，回顧利用勾股定理、三角函數(shù)、相似三角形解決直角三角形，為后面探究的問題做了鋪墊。

追問1：如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三邊為邊向外作正方形，你能得到哪些結(jié)論？請簡單說明理由。

這一問具有一定的開放性，考查了勾股圖的基本圖形衍生，也能培養(yǎng)學(xué)生的理性思維能力，學(xué)會數(shù)學(xué)的思考。

生1：得到這三個正方形，S正方形ACDE、S正方形BCIH、S正方形ABGF面積的關(guān)系.

生2：得到這三個正方形邊長的關(guān)系.

生2：得到這三個正方形對角線的關(guān)系.

在原有勾股圖的基礎(chǔ)上，進(jìn)行添線構(gòu)圖，進(jìn)一步研究圖形的數(shù)量關(guān)系，連結(jié)CE、CH，進(jìn)行追問EH的線段長，此處要證明C、E、H三點共線，為后面的題目做鋪墊。過C作CR⊥FG于點R，交AB于點H，利用線段的和差進(jìn)行求解CR。發(fā)現(xiàn)給定條件，確定中間Rt△ABC的形狀，則EH、CR的值均為定值。將這幅勾股圖中數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)點明，提高學(xué)生的解題能力、以及數(shù)學(xué)思維。

（二）原題呈現(xiàn)

如圖4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三邊為邊向外作正方形，過點C作CR⊥FG于點R，再過點C作PQ⊥CR分別交邊DE，BH于點P、Q，若QH=2PE，PQ=15，則CR的長為__________________.

分析：本圖基于勾股圖的深入探究，切入點明顯。條件QH=2PE，由線段比容易聯(lián)想到相似，而圖中已經(jīng)存在著多對相似三角形，如圖，這些三角形都存在著相似關(guān)系，但是他們都無法與QH=2PE聯(lián)系在一起，因此需要添加輔助線構(gòu)造相似三角形。

二、變式教學(xué)，促進(jìn)圖形自生長

要關(guān)注學(xué)生深度的思維過程，教材的習(xí)題一般具有基礎(chǔ)性與代表性，期末測試題、中考試題等均源于對教材例、習(xí)題的改編或者變式。

（一）改變條件的呈現(xiàn)方式，探究線段的位置關(guān)系

對原題進(jìn)行追問，進(jìn)一步探究得到其他結(jié)論，由此延伸出如下題。

變式1：如圖5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三邊為邊向外作正方形，過點C作CR⊥FG于點R，再過點C作PQ⊥CR分別交邊DE，BH于點P、Q，若QH=2PE，則的值為_________________.

可以改變題目的結(jié)論，進(jìn)一步追問的值為多少？由線段的求值問題，轉(zhuǎn)化為線段的比值問題，引導(dǎo)學(xué)生思考是否能確定Rt△ABC的形狀，通過連結(jié)CE、CH得到△PEC∽△QHC，得到EC與CH的比值為1：2，最后得到CA：CB=1：2.，確定了Rt△ABC的形狀。再通過設(shè)單位“1”進(jìn)行表示，從而得到線段的比值。

（二）互換條件和結(jié)論，探究線段數(shù)量關(guān)系

對原題進(jìn)行條件和結(jié)論互換，由此延伸出如下題。

此題是中考題的簡單變式題，改變條件的描述方式，互換題設(shè)的條件與結(jié)論，圖形不變，求證兩條線段的位置關(guān)系。通過條件和結(jié)論的互換，有意識地引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)互換條件和結(jié)論可對原題進(jìn)行變式練習(xí)。

（三）改變線段的位置，探究新結(jié)論

通過連結(jié)其他線段，繼續(xù)探究線段的比例關(guān)系，延伸出如下題目。

本題保持了原題的條件，連結(jié)CG交AB于點M，已有前邊題目的經(jīng)驗，學(xué)會設(shè)單位“1”，對各邊進(jìn)行表示。但要表示AM、GM兩條線段，需要進(jìn)一步構(gòu)造基本相似三角形。找到的基本相似圖形非常的多，圖①的方法最簡單直觀。

（四）深化變式，思維提升

通過在勾股圖的基礎(chǔ)上，想到中間的直角三角形能否用一般三角形，發(fā)現(xiàn)本質(zhì)后，在題目中給出三個條件（至少有一條邊），就能夠確定三角形的形狀，可以繼續(xù)探究線段的比例關(guān)系，延伸出如下題目。

題目中給出△ABC的三個條件，即可確定三角形的形狀，從而求解旁邊正方形以及線段的比值問題。問題一直在變，但不管怎么變，我們只要抓住本質(zhì)，變中求通，打開解題思路，定能提升學(xué)生解決問題的能力。

三、結(jié)束語

在《新課標(biāo)》和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的高要求下，單純依靠解決課后習(xí)題是不夠的，必須回歸教材，深入解讀教材，通過一系列的知識聯(lián)動、整合、延伸和拓展，不斷提升學(xué)生的思維，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，提高解題效率，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展。在平時的教學(xué)中多引導(dǎo)學(xué)生從不同視角、不同層次去觀察、分析和探索。通過探索，促進(jìn)學(xué)生將新的數(shù)學(xué)思想方法融入到原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，并且能將新的思想方法結(jié)合原有的知識，遷移到新的問題情境中，以求學(xué)生學(xué)會舉一反三、觸類旁通。

參考文獻(xiàn)：

[1]林松.習(xí)題教學(xué)要引領(lǐng)學(xué)生走探究之路——一道函數(shù)應(yīng)用題的改編、教學(xué)及思考[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2020（4）：53-55.

[2]蔡宗熹.千古第一定理---勾股定理[J].2009.