滲透數(shù)形結(jié)合思想，促學(xué)生思維發(fā)展

顧麗濱

摘要：“數(shù)”與“形”反映了事物兩個(gè)方面的屬性。數(shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái)，通過(guò)“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”即通過(guò)抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化，從而實(shí)現(xiàn)優(yōu)化解題途徑的目的。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合;概念形象化;概念直觀化

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休?！痹谛W(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)形結(jié)合是經(jīng)常用到的思想方法，數(shù)形結(jié)合方法的實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)。利用數(shù)形結(jié)合的方法可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、生動(dòng)化，把抽象難理解的問(wèn)題變?yōu)橹庇^形象簡(jiǎn)易化的問(wèn)題，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì);另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問(wèn)題便迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷。

一、滲透數(shù)形結(jié)合思想，有助于理解數(shù)學(xué)概念

小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容充滿了抽象化的數(shù)學(xué)概念，這種情況的出現(xiàn)就使得教學(xué)的過(guò)程過(guò)于枯燥，而學(xué)生在這一過(guò)程中往往會(huì)因?yàn)殡y以理解相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)而出現(xiàn)厭煩的心理，繼而導(dǎo)致學(xué)習(xí)效率的降低。在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，如果能夠建立抽象的數(shù)學(xué)概念與形象的圖形之間的聯(lián)系，把數(shù)學(xué)概念中最本質(zhì)的屬性用恰當(dāng)?shù)膱D形演示出來(lái)，將數(shù)和形結(jié)合起來(lái)，就可以豐富學(xué)生的感性材料，為建構(gòu)數(shù)學(xué)概念奠定基礎(chǔ)。通過(guò)以形悟數(shù)，將抽象的內(nèi)容具體化，能幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)概念。

（一）概念形象化

在教學(xué)正方形周長(zhǎng)公式時(shí)，教師先將長(zhǎng)方形縮小為正方形，引導(dǎo)學(xué)生觀察正方形的特征，并嘗試求出正方形的周長(zhǎng)。學(xué)生進(jìn)而提出求解正方形周長(zhǎng)的幾種方式，如“一條邊長(zhǎng)乘4”“四條邊長(zhǎng)相加”“邊長(zhǎng)加邊長(zhǎng)再乘2”，再組織學(xué)生對(duì)此進(jìn)行探討。如此一來(lái)，學(xué)生則可以更準(zhǔn)確地了解正方形周長(zhǎng)的概念，在實(shí)際運(yùn)用中也可以基于需要使用不同的方法。

（二）概念直觀化

例如，在“正數(shù)和負(fù)數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)中，教師可以先出示情境圖，讓學(xué)生辨別方向。師：小華如果向東走2千米，到達(dá)郵局。小林如果向西走2千米，到達(dá)公園。師：如果把向東走2千米記作+2千米，那么向西走2千米可以記作什么？課件再展示表示東西方向運(yùn)動(dòng)的路程線段圖，讓學(xué)生思考哪里可以標(biāo)上0，小華與小林的位置大概在哪兒，怎么表示？師再問(wèn)：看了線段圖，你有什么發(fā)現(xiàn)？（板書：正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0）而在這一過(guò)程中學(xué)生深切感悟數(shù)形結(jié)合思想的助益，數(shù)形結(jié)合思想也滲透于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之中。

二、滲透數(shù)形結(jié)合思想，有助于理解算理

計(jì)算在小學(xué)教學(xué)內(nèi)容中占相當(dāng)多的部分，計(jì)算教學(xué)首先要引導(dǎo)學(xué)生理解算理。在教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)以清晰的理論指導(dǎo)學(xué)生理解算理，在理解算理的基礎(chǔ)上掌握計(jì)算方法，正所謂“知其然，更要知其所以然”。

（一）利用簡(jiǎn)圖幫助學(xué)生理解算理

在滬教版數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)“用一位數(shù)乘”的教學(xué)中，筆者在新授課的設(shè)計(jì)中為了讓學(xué)生更好地理解算理，滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，通過(guò)簡(jiǎn)圖將直觀圖像和數(shù)學(xué)語(yǔ)言充分結(jié)合起來(lái)，幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)。如圖1所示，筆者用簡(jiǎn)圖表示3×42。其中，一個(gè)短橫代表的是10，一個(gè)小圓點(diǎn)代表的是2。

師：如何在簡(jiǎn)圖上圈一圈，把算式表示出來(lái)？

圈法一：所有的短橫圈在一起，表示3×40;所有的小圓點(diǎn)圈在一起，表示3×2。

圈法二：一組一圈，表示3個(gè)42相加，即3×42。

教師根據(jù)簡(jiǎn)圖出示：

3×42=（? ? ）

3×40=（? ? ）

3×2 =（? ? ）

（? ）+（? ?）=（? ? ）

在教學(xué)過(guò)程中，教師可使用直觀圖形輔助教學(xué)。學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中通過(guò)圈一圈、寫一寫，從而理解乘數(shù)是一位數(shù)乘法的算理，掌握算法。

（二）數(shù)形結(jié)合促學(xué)生掌握算法

以滬教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)“小數(shù)乘小數(shù)”這一章節(jié)中“小巧搬新家啦！她的房間長(zhǎng)4.1米，寬3.2米，小巧房間的面積有多大？”為例。

算法一：

結(jié)合題目要求：把4.1米、3.2米轉(zhuǎn)化成以分米為單位，求出面積后，再把平方分米轉(zhuǎn)化為平方米。繪制出相對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)方形圖示（如圖2所示），再結(jié)合圖形進(jìn)行運(yùn)算。這樣，學(xué)生既能夠清晰地理解題目?jī)?nèi)涵，也能夠根據(jù)圖形計(jì)算，不容易出錯(cuò)。

4.1米×3.2米=13.12平方米

41分米×32分米 = 1312平方分米

4.1×3.2 = 41×32÷100 = 1312÷100 = 13.12

算法二：把它放在方格圖上，通過(guò)數(shù)格數(shù)進(jìn)行計(jì)算。

學(xué)生學(xué)習(xí)、理解和掌握“數(shù)的運(yùn)算”內(nèi)容時(shí)，都要經(jīng)歷從抽象到具體、從感性到理性的過(guò)程，這就需要教師在教學(xué)過(guò)程中不僅要關(guān)注結(jié)果、關(guān)注方法，還要關(guān)注得到結(jié)果、方法的思維過(guò)程，這個(gè)思維過(guò)程就是學(xué)生理解算理、掌握算法的過(guò)程。算理的抽象和算法的直觀形成了鮮明的對(duì)比，在低年級(jí)段計(jì)算教學(xué)中，教師通常用小圓片等學(xué)具來(lái)組織學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)，從而把算理形象化、具體化，而到了高年級(jí)段，抽象的邏輯思維成了大多數(shù)學(xué)生的思維特點(diǎn)，此時(shí)，學(xué)具的應(yīng)用逐漸由符號(hào)、示意圖及空間想象等代替。數(shù)形結(jié)合的思想則幫助學(xué)生清晰每一步算的是什么，明白這樣計(jì)算的道理在哪里，有效溝通新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，形成知識(shí)串。

三、滲透數(shù)形結(jié)合思想，有助于解決問(wèn)題

數(shù)形結(jié)合思想能夠幫助學(xué)生透過(guò)問(wèn)題表象認(rèn)知問(wèn)題實(shí)質(zhì)，學(xué)生的想象力、思維能力等被調(diào)動(dòng)，因而能夠從多個(gè)角度出發(fā)考慮問(wèn)題。尤其是在應(yīng)用題的教學(xué)中，教師滲透數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行教學(xué)，可以幫助學(xué)生巧妙地將數(shù)量之間進(jìn)行關(guān)聯(lián)，而數(shù)量關(guān)系作為數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本特征，也是學(xué)生科學(xué)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵。

教材中常常把抽象的問(wèn)題置于直觀的情境中，在直觀圖示的引導(dǎo)和教師的啟發(fā)下，學(xué)生就能比較容易地理解各種數(shù)量之間的關(guān)系，從而有效提高學(xué)生比較、分析和綜合的思維能力。在解決問(wèn)題這一部分，可以根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題指導(dǎo)學(xué)生借助線段圖來(lái)理解題中的數(shù)量關(guān)系，從而化繁為簡(jiǎn)，事半功倍。

（一）幫助學(xué)生直觀理解數(shù)量關(guān)系，從而使解題過(guò)程簡(jiǎn)單化

如植樹問(wèn)題，教師可讓學(xué)生想象：在道路兩旁種上四棵樹，能有幾種種法？學(xué)生獨(dú)自操作完成后，教師根據(jù)學(xué)生的反饋相應(yīng)地把三種情況都貼于黑板（如圖3所示）：

師生共同小結(jié)，得出以下結(jié)論：（1）兩端都種的情況下，棵數(shù) = 段數(shù) + 1; （2）一端栽種的情況下，棵數(shù) = 段數(shù);（3）兩端都不種的情況下，棵數(shù) = 段數(shù) - 1。

一圖抵千言。數(shù)形結(jié)合，抓住了數(shù)形之間的關(guān)系，幫助學(xué)生直觀地理解某些數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。畫出線段圖，這種關(guān)系就顯現(xiàn)出來(lái)了，也就找到了解決問(wèn)題的路徑。

（二）幫助學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系，明確解題思路

1.借助線段圖、示意圖讀懂題意

教學(xué)中的問(wèn)題，大多以純文字表述，看上去枯燥乏味。學(xué)生平時(shí)看多了直觀的圖形，其抽象思維能力相對(duì)被削弱了，他們遇到純文字的問(wèn)題，讀不懂題意，缺乏解題的自信，更有學(xué)生不愿讀題、懶得讀題。這時(shí)就需要借助于圖形，讓圖形來(lái)架起學(xué)生形象思維和抽象思維之間的橋梁。用畫圖法是提高理解、分析問(wèn)題能力的第一步，就是借助線段圖或?qū)嵨飯D把抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題具體化，還原問(wèn)題的本來(lái)面目，使學(xué)生讀懂題意、理解題意。讀懂題意、理解題意是解決問(wèn)題的第一步，只有讀懂題意，學(xué)生才有信心解題。所以借助線段圖、示意圖幫助學(xué)生理解題意是本課題至關(guān)重要的一步，它是學(xué)生打開解決問(wèn)題大門的一把“金鑰匙”。

以相遇問(wèn)題為例：

滬寧高速公路全長(zhǎng)約270千米，一輛轎車和一輛客車分別從上海和南京兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，轎車平均每小時(shí)行100千米，客車平均每小時(shí)行80千米，經(jīng)過(guò)幾小時(shí)兩車在途中相遇？如圖4所示。

在教學(xué)中，教師可以讓學(xué)生收集信息，并進(jìn)行討論，逐步出示線段圖：

題中有幾個(gè)物體在運(yùn)動(dòng)？（兩個(gè)物體）以怎樣的速度運(yùn)動(dòng)？（轎車平均每小時(shí)行100千米，客車平均每小時(shí)行80千米）

運(yùn)動(dòng)的方向與結(jié)果各是怎樣的？（相向而行;相遇）

要解決一個(gè)怎樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題？（幾小時(shí)相遇？）

你還有什么信息要補(bǔ)充嗎？（全長(zhǎng)270千米，相遇點(diǎn)在哪兒？）

根據(jù)線段圖說(shuō)一說(shuō)等量關(guān)系。（轎車行的路程+客車行的路程=相距的路程）

由此可見，借助線段圖，學(xué)生很容易理解題目的數(shù)量關(guān)系，從而解決問(wèn)題。

2.借助線段圖、示意圖，提高問(wèn)題的分析能力

小學(xué)生年齡小，理解能力、分析能力都有限，線段圖不僅能幫助學(xué)生讀懂題意、理解題意，還能使題目中的數(shù)量關(guān)系更明朗，更形象、直觀，教學(xué)中能幫助學(xué)生厘清思路，分析數(shù)量關(guān)系。

以和倍問(wèn)題為例：

蝴蝶、蜻蜓和蜜蜂共有180只，其中蝴蝶的數(shù)量是蜻蜓數(shù)量的2倍，蜜蜂的數(shù)量是蜻蜓數(shù)量的3倍。三種昆蟲各有多少只？

有三個(gè)量，怎么找出倍數(shù)關(guān)系呢？（可引導(dǎo)學(xué)生畫圖，如圖5所示。借助圖形比較得出一倍量和幾倍量的關(guān)系）

等量關(guān)系是什么呢？

學(xué)生迎刃而解：蜻蜓的只數(shù)+蝴蝶的只數(shù)+蜜蜂的只數(shù)=總只數(shù)

一圖抵萬(wàn)語(yǔ)。數(shù)形結(jié)合，抓住了數(shù)形之間的關(guān)系，幫助學(xué)生直觀地理解某些數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

總而言之，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，基于學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，在教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合的方法，是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的綜合培養(yǎng)，也是發(fā)展學(xué)生邏輯思維能力的良好契機(jī)。教學(xué)實(shí)踐表明，數(shù)形結(jié)合的思想方法可以把抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得更加直觀、具象，有利于學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)。同時(shí)，數(shù)形結(jié)合思想提高了學(xué)生解決問(wèn)題的能力，有效地促進(jìn)了學(xué)生思維能力的提升。所以，我們應(yīng)該在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中大膽地探索與實(shí)踐數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用，讓我們的數(shù)學(xué)課堂更精彩！

參考文獻(xiàn)：

[1]董麗君.談?wù)劇皵?shù)形結(jié)合”[J].湖南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2007（02）.

（責(zé)任編輯：奚春皓）