關(guān)于丟番圖方程x4-q4=py5*

管訓(xùn)貴

(泰州學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，江蘇 泰州 225300)

0 引言及主要結(jié)論

設(shè)Z,N*,P分別表示整數(shù)集、正整數(shù)集和奇素數(shù)集.熟知，方程

x4-q4=pys，x,y∈N*，p,q,s∈P，gcd(x,y)=1

(1)

是一類基本而又重要的丟番圖方程,由于它與著名的廣義Fermat方程有關(guān)(見文[1-4]),因此判別(1)是否有解,是一個非常困難的問題,目前僅有一些零散的結(jié)果.

2010年,Luca和Togbé[6]運(yùn)用橢圓曲線整數(shù)點(diǎn)的存在性證明了:s=3時,方程(1)沒有解.

2013年,劉艷艷[7]運(yùn)用Lucas數(shù)的算術(shù)性質(zhì)證明了:如果s>3且p≡3(mod 4),則(1)沒有解(x,y,s)適合2?y.

本文運(yùn)用同余理論和代數(shù)數(shù)論的有關(guān)結(jié)論證明了如下定理.

定理1 設(shè)p,q均為奇素數(shù)，且p≡3(mod 4)，則丟番圖方程

x4-q4=py5，x,y∈N*，gcd(x,y)=1

(2)

此定理改進(jìn)了文[5]中的結(jié)論.

1 若干引理

引理1[8]設(shè)M是唯一分解整環(huán)，2≤k∈Z，α,β∈M，gcd(α,β)=1.若αβ=γk，γ∈M，則

α=ε1μk，β=ε2νk，μ,ν∈M，

這里ε1,ε2是M中的單位元素，并且ε1ε2=εk，ε也是M中的單位元素.

引理2[9]設(shè)p是一個奇素數(shù)，則方程x4-py2=1除p=5,x=3,y=4和p=29,x=99,y=1820外，無其他的正整數(shù)解.

引理3[7]若s>3且p≡3(mod 4),則(1)沒有解(x,y,s)適合2?y.

2 定理的證明

設(shè)(x,y)是(1)的一組解.若p=q，則q|x，進(jìn)而q3|y5，從而q|y，與gcd(x,y)=1矛盾，故p≠q.

由p≡3(mod 4)知p?(x2+q2).于是p|(x+q)或p|(x-q)，且gcd(x,q)=1.

情形Ⅰ2?x

此時2‖(x2+q2)且x-q,x+q中必有一個模4余2，故由式(1)可得

x+q=8pw5，x-q=2u5，x2+q2=2v5，

(3)

或

x-q=8pw5，x+q=2u5，x2+q2=2v5，

(4)

這里u,v,w兩兩互素，y=2wuv.

根據(jù)引理1，在Z[i]中，(3)或(4)的第三個方程可寫成

(x+qi)(x-qi)=i(1-i)2v5.

(5)

設(shè)δ=gcd(x+qi,x-qi)，則δ|gcd(2x,2qi)=2，即δ可能取值1，1-i，2.若δ=1，則i(1-i)2=2一定只能整除x+qi或x-qi中的一個，但這是不可能的；同樣δ=2也不可能.所以必有δ=1-i.由此及式(5)得

故有

x+qi=(1+i)(a+bi)5，a,b∈Z，

即

x=(a-b)[(a-b)4-20a2b2]，

(6)

q=(a+b)[(a+b)4-20a2b2].

赫施在《解釋的有效性》中說：“沒有人能夠確定地重建別人的意思，解釋者的目標(biāo)不過是證明某一特定的讀解比另一種讀解更為可能罷了。在闡釋學(xué)中，證明即是去建立種種相對可能性的過程?！?/p>

(7)

由q為素數(shù)及式(7)知，(a+b)4-20a2b2=±1或a+b=±1.

當(dāng)(a+b)4-20a2b2=±1時，q=±(a+b).對(a+b)4-20a2b2=-1兩邊取模4知(a+b)4≡-1(mod 4)，這不可能.因此(a+b)4-20a2b2=1，q=a+b>0.根據(jù)引理2，方程X4-20Y2=1即X4-5(2Y)2=1僅有整數(shù)解(X,Y)=(±1,0)和(±3,±2)，所以

解之得(a,b)=(2,1)或(1,2).從而q=3，x=79.但794-34=24·55·19·41,不合題意，故此時(1)沒有解.

當(dāng)a+b=±1時，q=±(1-20a2b2).考慮到對于q>1，有a+b=-1，即b=-a-1,所以

q=20a2b2-1=20a2(a+1)2-1=20a4+40a3+20a2-1，

(8)

x=(2a+1)[(2a+1)4-20a2(a+1)2]=-8a5-20a4+20a2+10a+1.

(9)

由式(9)可得x=-4a4(2a+5)+10a(2a+1)+1.因為x>0，故有a≤-3或0≤a≤1.又當(dāng)a=0時，q=-1，不合題意；當(dāng)a=1時，q=79，此時x=3，但34-794=-24·55·19·41,也不合題意，所以只能有a≤-3.

令a=-m，則式(8)、式(9)成為

q=20m2(m-1)2-1=20m4-40m3+20m2-1，

(10)

x=8m5-20m4+20m2-10m+1,

(11)

這里3≤m∈Z.

(12)

但當(dāng)m≥3時，可推出式(12)不成立.因此q

情形Ⅱ2|x

此時2?y.根據(jù)引理3，在此情形時方程(1)沒有解.

定理得證.

說明:對于一般情形，若p≡3(mod 4)，2|y,則有

x+ηq=2us，x2+q2=2vs，η∈{±1}， gcd(u,v)=1.

(13)

將(13)的前兩式相乘得

(x+ηq)(x2+q2)=4(uv)s.

(14)

令X=ηx/q，Y=ηuv/q，則式(14)成為

(X+1)(X2+1)=4Ys.

(15)

因此，(1)是否有解最終歸結(jié)為超橢圓曲線(15)是否有有理解.