變量為五元三次型的除數(shù)函數(shù)均值問(wèn)題

王琳琳

(華北水利水電大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,河南 鄭州 450046)

0 引言和主要結(jié)果

除數(shù)函數(shù)

表示不定方程x1x2…xk=n的正整數(shù)解的個(gè)數(shù),其中k≥2.它是經(jīng)典解析數(shù)論中的一個(gè)重要研究對(duì)象.特別地，d2(n)稱(chēng)為狄利克雷除數(shù)函數(shù)，以下簡(jiǎn)記作d(n).

1993年Gafurov[1]研究了變量為二元二次型的除數(shù)函數(shù)均值問(wèn)題，得到漸近公式

定理1

其中

符號(hào)說(shuō)明：e(x)表示e2πix；ε表示充分小的正常數(shù)；γ是歐拉常數(shù)；S(a,b,q)表示高斯和形式的指數(shù)和，即

1 預(yù)備知識(shí)

在本文中,x是充分大的正實(shí)數(shù).對(duì)任意α∈R，y>1,定義

我們有

為了應(yīng)用圓法,我們引進(jìn)兩個(gè)參數(shù)P,Q且滿足以下條件：

logxx2+ε，PQ≤x3.

(1)

其中a,q均為整數(shù)且滿足1≤a≤q≤Q以及(a,q)=1.記M(a,q)為形如式(1)的α的集合，定義主區(qū)間M和余區(qū)間C(M)如下:

我們有

S(x):=S1(x)+S2(x),

(2)

其中

于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為給出S1(x)的漸近公式和S2(x)的上界.

我們還需要用到以下幾個(gè)引理，其中引理1和引理7是眾所周知的.

引理1

引理2[12]設(shè)實(shí)值函數(shù)f(t)在區(qū)間[t1,t2]上連續(xù)可導(dǎo)，且存在正數(shù)Δ使得|f'(t)|?Δ，?t∈[t1,t2]，則有

引理7 設(shè)復(fù)數(shù)列{bn}n≥1的和函數(shù)為

其中M(u)在區(qū)間(0，∞)上連續(xù)可導(dǎo).若函數(shù)f(u)在區(qū)間[u1,u2]上連續(xù)可導(dǎo)，其中u1≥0，則有

2 S1(α;x)在主區(qū)間和余區(qū)間上的估計(jì)

指數(shù)和S1(α;x)的估計(jì)在定理證明中非常重要，下面我們討論S1(α;x)在主區(qū)間和余區(qū)間上的估計(jì).首先給出以下引理，其證明詳見(jiàn)[14,Theorem 4.1].

現(xiàn)在研究S1(α;x)在余區(qū)間上的估計(jì).根據(jù)狄利克雷有理逼近定理，對(duì)任意α∈C(M)，存在整數(shù)a和q使得

根據(jù)引理6有

(3)

由上式可得以下引理.

3 S2(-α;5x3)在主區(qū)間上的估計(jì)

采用與文獻(xiàn)[4]中相同的記號(hào)，我們?cè)O(shè)整數(shù)r滿足1≤r≤q，且對(duì)u>0，記

現(xiàn)在引用Heath-Brown[15]中有關(guān)D(u;q,r)的結(jié)果：

D(u;q,r)=R(u;q,r)+Δ(u;q,r),

其中

(4)

A(q,r)和B(q,r)分別定義為

Δ(u;q,r)滿足

(5)

和

(6)

估計(jì)式(5)和(6)分別是文獻(xiàn)[4]中的估計(jì)式(7.10)和(7.12).

于是在引理7中取M(u)=R(u;q,r),E(u)=Δ(u;q,r),可得

其中

我們先處理J1.記

我們可以將式(4)重新表示為

R(u;q,r)=c1(q,r)ulogu+c2(q,r)u.

由此可得

現(xiàn)在，我們定義

由[4]中的(7.6)和(7.7)可知

因此，

作變量替換u=vx3，logu=3logx+logv，上式變?yōu)?/p>

接著處理J2，先用兩次分部積分，再利用式(5)和式(6)，我們有

這里QP≤x3.由此我們得到以下引理：

4 定理1的證明

首先處理主區(qū)間上的積分，我們有

(7)

因此，

(8)

其中H1(λ)和H2(λ)的定義在定理1中給出.

(9)

根據(jù)分部積分公式和式(9)中的第一個(gè)估計(jì),我們有

因此我們得到

并且當(dāng)U≥2時(shí)我們有

(10)

將上述兩個(gè)估計(jì)式代入式(8)，我們有

(11)

合并式(7)和式(11),得

3x5logxC1I1+(C1I2+C2I1)x5+

(12)

(13)

其中Ci和Ii(i=1,2)的定義在定理1中給出.

現(xiàn)在研究余區(qū)間上的積分.我們有

由[16]中的Theorem 2可得

由[14]中的Lemma 2.5可得

再結(jié)合引理9便可得

(14)

最后，由(2)、(13)和(14)得

其中Ci和Ii(i=1,2)的定義在定理1中給出.證畢.