巧思妙想 讓解答更加簡潔
——一道解析幾何題的簡解與推廣

廣州市第七中學(xué)(510080) 馮 燕 陳世明

有如下一道流傳甚廣的解幾題:

題目已知橢圓C:= 1,過點A(1,1)的兩條直線MN和PQ分別交橢圓C于M、N、P、Q四點,直線MN和PQ的斜率分別為k1,k2,且k1+k2=1,線段MN和PQ的中點分別為E、F,求證: 直線EF過定點.

對于本題,下面的證法一是較為常規(guī)的解法..

1 思路自然,計算很繁

證法一依題意,直線MN的方程為y ?1=k1(x ?1),直線PQ的方程為y ?1=k2(x ?1),聯(lián)立

得到3x2+4(k1x ?k1+1)2=12.即

設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).因為A(1,1)在橢圓的內(nèi)部,所以x1,x2必是上述方程的兩個實根,所以

所以

所以直線EF的方程為:

要證直線EF過定點,首先應(yīng)考慮

是否為定值.因為k1+k2=1,所以

故直線EF過定點

證法一的基本思路是: 求出過A點的直線方程→聯(lián)立方程組→消去一個未知數(shù)得到一個一元二次方程→韋達定理→中點公式→得出E、F坐標→求出直線EF的方程→證明直線EF過定點.這種解法思路容易想到,但計算很繁,一般學(xué)生都算不出最后的結(jié)果.這導(dǎo)致我們思考: 對于此題,有沒有簡單的解法?

2 巧思秒想,簡單求解

從上述證法可以看出,證法一的計算很繁瑣,困難主要在于求kEF和化簡直線EF的方程上,若能聯(lián)想到E,F是橢圓內(nèi)過點A的動弦的中點軌跡上的兩點,則計算就簡單許多.

證法二首先,設(shè)過橢圓C內(nèi)的定點A(1,1,)的動弦ST的中點G坐標為(x,y),S(s,t),T(m,n),則s+m=2x,t+n=2y,由

由① ②得kEF=所以

即

由①,②又得到

因為k1+k2=1,所以一方面:

另一方面:

由③,④得3x1x2+4y1y2=?3(y1+y2?1),

證法二的關(guān)鍵是: 想到了E、F是橢圓內(nèi)過點A的動弦的中點軌跡上的兩點,從而應(yīng)用“設(shè)而不求”的思想求得了直線EF的方程,再通過對k1+k2=1“算兩次”,巧妙地化簡了直線EF的方程,從而簡單地證明了直線EF過定點.

證法二還告訴我們: 在數(shù)學(xué)解題中,審題越清楚,解題就越簡單.另外,由證法二還不難得到更一般的結(jié)論.

3 抓住本質(zhì),類比推廣

注意到“k1+k2= 1”里的“1”與點A(1,1)的坐標之間的關(guān)系“1=那么由證法二即得下列

定理設(shè)P(x0,y0)(x0y0?= 0)是圓錐曲線Γ 內(nèi)部(含焦點的區(qū)域)的一個定點,過點P作斜率為k1,k2的兩條直線MN和PQ分別交圓錐曲線Γ 于點M,N和P,Q,又E,F分別是弦MN和PQ的中點,若k1+k2=則直線EF必過定點R,且

(3)若Γ 為拋物線y2= 2px(p >0),則定點R為

證明(1)由點差法易得,過橢圓Γ 內(nèi)的定點A(x0,y0)的動弦的中點軌跡方程為b2x2+a2y2?b2x0x ?a2y0y=0設(shè)E(x1,y1),F(x2,y2),由于E、F是橢圓內(nèi)過點A的動弦的中點軌跡上的兩點,所以

由①,②得kEF=所以

即

由①,②得又k1+k2=一方面,即

由③,④得b2x1x2+a2y1y2=(y1+y2?y0),所以,所以直線EF過定點

同理可證(2),限于篇幅,此處從略.

(3)由點差法易得,過拋物線Γ 內(nèi)的定點A(x0,y0)的動弦的中點軌跡方程為y2?y0y=p(x ?x0)(y2<2px),設(shè)E(x1,y1),F(x2,y2),由于E,F是拋物線內(nèi)過點A的動弦的中點軌跡上的兩點,所以

由⑤,⑥得kEF=所以

即

要證直線EF過定點,首先應(yīng)考慮是否為定值.

另一方面y21?y0y1=p(x1?x0),即

所以由⑦,⑧得y21+y1y2?y1y0?px1=(y1+y2?y0),所以所以直線EF過定點證畢.