論“截面”問(wèn)題 尋“直觀想象”素養(yǎng)落地之軌跡*

福建省德化第一中學(xué)(362500) 王瓊瓊 吳志鵬

1 陳題重論,別有洞天

題目1(2018年高考全國(guó)I 卷理科第12 題)已知正方體的棱長(zhǎng)為1,每條棱所在直線與平面α所成的角都相等,則α截此正方體所得截面面積的最大值為

在教學(xué)過(guò)程中,常用高考實(shí)測(cè)試題做為例題,教者常會(huì)以“題”論題,充分挖掘高考實(shí)測(cè)試題的教學(xué)價(jià)值.若僅停留于“題”答案的陳述,淺嘗輒止,就無(wú)法發(fā)揮“題”的作用.筆者認(rèn)為基于高考實(shí)測(cè)試題的以題“論”題,“論”的是如下三方面: 一、模擬初試者的狀態(tài),剖析思路形成或思路受阻的原因;二、要尋找解決該題問(wèn)題的規(guī)律,由特殊到一般,由一題會(huì)一類(lèi)題,總結(jié)通性通法;三、在問(wèn)題解決過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng),尋找素養(yǎng)落地之軌跡.本文從這三方面對(duì)上述高考試題進(jìn)行闡述.

1.1 溯初試之心,以學(xué)生為本

“不憤不啟,不悱不發(fā)”,對(duì)于有一定難度的高考實(shí)測(cè)試題,教者更需注重學(xué)情分析,了解初試者的狀態(tài),以學(xué)生的原有認(rèn)知為出發(fā)點(diǎn),尋找解題的突破口.面對(duì)這道試題,初試者主要體現(xiàn)出“沒(méi)思路”和“突然頓悟”兩種情況.答對(duì)的學(xué)生,大都是避開(kāi)了繁瑣的數(shù)學(xué)運(yùn)算,利用直觀想象,發(fā)現(xiàn)截面為那個(gè)“特殊的正六邊形”,但又說(shuō)不出理由.數(shù)學(xué)是“看”出來(lái)的,不是“證”出來(lái)的,在教學(xué)中要注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀.但作為從教者,不能只告訴學(xué)生“悟”的結(jié)果,因?yàn)椤拔颉钡膶?shí)質(zhì)是素養(yǎng)沉淀的體現(xiàn),而追溯“悟”的成因,才是尋求“直觀想象”素養(yǎng)落地的過(guò)程.讓“直觀想象”素養(yǎng)的落實(shí)具有可操作性,這正是研究這道高考實(shí)測(cè)試題的價(jià)值之一.

1.2 回歸教材,有跡可循

雖筆者認(rèn)為“悟”出有因,但很長(zhǎng)一段時(shí)間都在琢磨滿足題意的“截面”學(xué)生是如何直觀取得,在這些平行平面中又如何找到面積最大的“截面”,源在哪里?

課例再現(xiàn)1(2004 版人教A 版教材必修二第二章的復(fù)習(xí)參考B 組第2 題)如圖1,在正方體ABCD ?A1B1C1D1中,求證:

(1)對(duì)角線B1D⊥平面A1BC1;

(2)B1D與平面A1BC1的交點(diǎn)H是ΔA1C1B的重心(三角形三條中線的交點(diǎn)).

課例再現(xiàn)2(2004 版人教A 版教材選修2-1 習(xí)題3.2 第4 題)如圖2,正方體ABCD ?A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F,G,H,K,L分別是AB,BB1,B1C1,C1D1,D1D,DA各棱的中點(diǎn).

(1)求證:A1C⊥平面EFGHKL;(2)略.

圖1

圖2

上述兩個(gè)經(jīng)典的例題,2019 版人教A 版教材均將其保留于對(duì)應(yīng)的章節(jié)中.再次回歸教材之后,突然明白“頓悟”的根源: 教材的這兩道習(xí)題中空間幾何體的截面模型已經(jīng)是學(xué)生“截面知識(shí)”儲(chǔ)備的一部分,對(duì)學(xué)生解決新的“截面”問(wèn)題,起到了很大的幫助作用.可見(jiàn)“直觀想象”素養(yǎng)的落地,離不開(kāi)幾何圖形、數(shù)學(xué)模型等數(shù)學(xué)原型的直觀,除了獲取課例中所要證明的兩個(gè)結(jié)論之外,我們還可以從上面兩個(gè)空間幾何體的原型中獲得以下相關(guān)信息:

(1)圖1 中直線B1A1,B1C1,B1B與平面A1BC1所成的角均相等; 根據(jù)兩平行直線與同一個(gè)平面所成的角相等,可知正方體的12 條棱與平面所成的角相等;

(2)圖1 中H是體對(duì)角線B1D的一個(gè)三等分點(diǎn),直線與面D1AC的交點(diǎn)是線段B1D的另一個(gè)三等分點(diǎn).

(3)圖2 中平面EFGHKL過(guò)對(duì)角線的中點(diǎn),且把正方體分成體積相等的兩部分.

平面A1BC1滿足了“每條棱所在直線與平面α所成的角都相等”這個(gè)要求,與平面A1BC1平行的平面有無(wú)數(shù)多個(gè),考題研究的是這些平行平面組被正方體所截得的截面面積最大的情形.

1.3 從特殊到一般,從動(dòng)態(tài)中探求規(guī)律

先直觀判斷,作出預(yù)測(cè),然后證明,這是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的基本思路.特殊位置雖是解題的一個(gè)突破口,在日常的教學(xué)中,若僅停留于特殊值位置,就錯(cuò)過(guò)了培養(yǎng)思維深刻性的機(jī)會(huì),也錯(cuò)過(guò)了讓學(xué)生進(jìn)行“直觀想象”的好機(jī)會(huì),“形缺數(shù)時(shí)難入微,數(shù)缺形時(shí)少直觀”,為了激發(fā)學(xué)生對(duì)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程的自主探索,體驗(yàn)截面圖形的變化情形,筆者設(shè)置了如下探究.

探究如圖3,正方體ABCD ?A1B1C1D1棱長(zhǎng)為a,動(dòng)點(diǎn)P在對(duì)角線B1D上,過(guò)點(diǎn)P作垂直于B1D的平面α.

(1)當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B1時(shí),平面α截正方體所得到的截面圖形有什么變化?

圖3

(2)若DP=x,記所得的截面多邊形的周長(zhǎng)和面積分別為L(zhǎng)和S,請(qǐng)分別寫(xiě)出周長(zhǎng)L和面積S關(guān)于x的解析式,并研究面積與周長(zhǎng)何時(shí)能取到最大值.

1.3.1 分析規(guī)律,直觀判斷

針對(duì)第一問(wèn),有了教材習(xí)題做鋪墊,學(xué)生便會(huì)聯(lián)想到從正三角形D1AC與正三角形A1C1B這兩個(gè)特殊位置入手.經(jīng)分析,可推斷截面圖形的變化規(guī)律: 從D →一般正三角形→正三角形D1AC →一般的六邊形EFGIJK →正六邊形E0F0G0I0J0K0→一般的六邊形EFGIJK →正三角形A1C1B →一般正三角形→B1.在分析的過(guò)程中,大部分學(xué)生能直觀感知面積的變化是關(guān)于某一個(gè)位置對(duì)稱(chēng)的,而正六邊形E0F0G0I0J0K0恰好過(guò)正方體的中心,將正方體的體積一分之二,因而可認(rèn)定這個(gè)中間位置就是正六邊形E0F0G0I0J0K0,也就是截面面積最大的位置.通過(guò)對(duì)截面圖形變化情形的想象與推斷獲得相應(yīng)的結(jié)論,這也使得學(xué)生數(shù)學(xué)“直觀想象”核心素養(yǎng)得到進(jìn)一步的提升.

1.3.2 以數(shù)解形,深化認(rèn)知

針對(duì)第二問(wèn),當(dāng)0

根據(jù)截面變化的規(guī)律,研究周長(zhǎng)與面積最大值的問(wèn)題,只需研究當(dāng)時(shí)的情況,此時(shí)設(shè)平面α截正方體所得的多邊形是對(duì)邊分別平行的六邊形EFGIJK(如圖3).可算得EF=所以EF+FG=(D1F+FC1)=

同理可證:GI+IJ=JK+KE=此時(shí),六邊形EFGIJK的周長(zhǎng)為定值

不同于正六邊形E0F0G0I0J0K0具有良好的對(duì)稱(chēng)性,為了方便計(jì)算面積,筆者連結(jié)KG,將六邊形EFGIJK分割為兩個(gè)梯形,并過(guò)E,F,J,I分別做KG的垂線EE1,FF1,JJ1,II1(如圖4).

圖4

設(shè)EF=m,FG=?m,因?yàn)镚K=AC=則GF1=?m),可得:FF1=?m),所以梯形EFGK的面積為:+m)(?m),即(2a2?m2).

設(shè)JI=n,IG=?n,同理可得梯形KGIJ的面積為:(2a2?n2).所以,六邊形EFGIJK的面積為[4a2?(m2+n2)].又因?yàn)镕G+GI=則可得m+n=由基本不等式有:m2+n2=(m+n)2?2mn≥=a2,當(dāng)m=n=時(shí),六邊形EFGIJK的面積有最大值此時(shí)六邊形EFGIJK是正六邊形.

從上述的分析過(guò)程可知,從正三角形D1AC到正三角形A1C1B這個(gè)范圍內(nèi)截面均為六邊形,六邊形的周長(zhǎng)為定值當(dāng)該六邊形的各邊均相等時(shí),面積達(dá)到最大值

這一問(wèn)讓學(xué)生體會(huì)了適當(dāng)?shù)淖兞考僭O(shè),便可將幾何問(wèn)題抽象為代數(shù)問(wèn)題,然后借助嚴(yán)格的邏輯推理驗(yàn)證直觀判斷的結(jié)果.

1.4 變式應(yīng)用,凸顯素養(yǎng)

變式如圖5,已知四面體ABCD為正四面體,AB=2,E,F分別是BC,AD中點(diǎn).若用一個(gè)與直線EF垂直,且與四面體的每一個(gè)面都相交的平面α去截該四面體,由此得到一個(gè)多邊形截面,則該多邊形截面面積最大值為( ).

圖5

圖6

分析正四面體是學(xué)生較為熟悉的幾何體,在教材中也多次談及過(guò)棱中點(diǎn)的截面,本題論及過(guò)棱中點(diǎn)的截面,所以學(xué)生在解題時(shí),也可參考這個(gè)截面作直觀想象.

因?yàn)楦鱾€(gè)面是正三角形,AE=ED,可知EF⊥AD,同理可得EF⊥BC.

只需在AC上任取點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)H分別作HI//AD交CD于點(diǎn)I,GH//BC交AB于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)G作GJ//AD交BD于J,由線面平行的判定與性質(zhì)可證GH//IJ,得到四邊形GHIJ為平行四邊形(如圖6),再由線面垂直的判定,可證EF⊥面GHIJ.

易證BC⊥面AED,則BC⊥AD,所以四邊形GHIJ是矩形.易證: ΔAGH和ΔHCI都是等邊三角形,因此GH+HI=AH+HC= 2.故矩形GHJI的面積為GH ·HI≤

2 一石激起千層浪,再論截面問(wèn)題

截面問(wèn)題是教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn),其難點(diǎn)正是來(lái)自于截面圖形的確定以及運(yùn)動(dòng)變化時(shí)引發(fā)截面圖形變化的想象與思考.如何幫助學(xué)生突破這個(gè)難點(diǎn)是值的思索的問(wèn)題.筆者認(rèn)為可以基于該高考實(shí)測(cè)試題這個(gè)熟悉的情境,設(shè)置探究問(wèn)題,幫助學(xué)生經(jīng)歷利用尺規(guī)作出空間幾何體截面圖形的過(guò)程,體驗(yàn)“直觀想象”素養(yǎng)的落地.

探究1在正方體ABCD ?A1B1C1D1中,E,H,I分別為A1D1,BC,AB的中點(diǎn),請(qǐng)作出平面EHI截此正方體所得的截面.

圖7

分析如圖 7,IH ?面ABCD,直線IH為截面的一條邊,而E ∈面A1B1C1D1且 面ABCD// 面A1B1C1D1,故可過(guò)點(diǎn)E作EF//IH交C1D1于 點(diǎn)F,可 知F為C1D1的中點(diǎn).延長(zhǎng)EF交B1C1的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,M ∈B1C1?面BCC1B1,H ∈面BCC1B1,連結(jié)MH交CC1于點(diǎn)G,則HG為截面的另一條邊.同理可作出截面的邊IJ,再連結(jié)JE,GF,得到截面EFGHIJ,根據(jù)做圖過(guò)程,可證明該六邊形為正六邊形.

探究2在正方體ABCD ?A1B1C1D1中,G,H,I分別為CC1,BC,AB的中點(diǎn),請(qǐng)作出平面GHI截此正方體所得的截面.

圖8

分析如圖8,GH,HI顯然是截面的兩條邊,G ∈面GHI∩面CDD1C1,故這兩個(gè)面必要一條交線,交線的確定除了點(diǎn)G外,還需要另外一個(gè)點(diǎn).此點(diǎn)的確定,考慮的是三角形IHG中不過(guò)點(diǎn)G的另一邊IH,因此利用直線的“延展性”,延長(zhǎng)IH交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,由作圖過(guò)程可知GM為面GHI與面CDD1C1的交線,故延長(zhǎng)MG并延長(zhǎng)交C1D1于點(diǎn)F.可知點(diǎn)F為C1D1的中點(diǎn),此時(shí)便是與探究1 類(lèi)似的模型.只需再過(guò)F作FE//A1C1交A1D1于點(diǎn)E,連結(jié)EN交AA1于點(diǎn)J,可得截面EFGHIJ.

探究3在正方體ABCD ?A1B1C1D1中,E,G,I分別為A1D1,CC1,AB的中點(diǎn),請(qǐng)作出平面EGI截此正方體所得的截面.

圖9

分析E,G,I分別在不同的平面上,作直線EG與底面ABCD的交點(diǎn),但由于交點(diǎn)在平面外,故將正方體補(bǔ)形(如圖9),即延長(zhǎng)直線BC,B1C1,DC,D1C1作與原正方體全等的正方體CPQR ?C1P1Q1R1.取PQ的中點(diǎn)M,連結(jié)CM,EC1.易證ΔEGC1與ΔMGC全等且E,G,M三點(diǎn)共線.連結(jié)MI交BC于點(diǎn)H,可證H為BC的中點(diǎn),便可轉(zhuǎn)化為探究1 的模型.

作空間幾何體的截面的原理是在“過(guò)不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面”這個(gè)基本事實(shí)及三個(gè)推論來(lái)確定點(diǎn)、線的共面,并結(jié)合“如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),則它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線”,由公共點(diǎn)確定兩面的交線,繼而實(shí)現(xiàn)“面的有效延展”.如探究1,2 中均有兩點(diǎn)已在正方體的同一個(gè)表面,這兩點(diǎn)的連線便是截面與正方體表面的交線,即截面邊所在的直線.其中探究1 的第三點(diǎn)在這兩點(diǎn)所在表面的平行平面中,可“作平行”確定共面直線,較易實(shí)現(xiàn);探究2 的第三個(gè)點(diǎn)在相鄰的表面中,則需把“面面交線”利用直線與平面的無(wú)限延伸性轉(zhuǎn)化為“線面交點(diǎn)”,找出兩個(gè)平面的兩個(gè)公共點(diǎn),從而確定交線,這類(lèi)型也是考查最為頻繁的,學(xué)生在尺規(guī)作圖時(shí)需要多嘗試,才能掌握好;而探究3 的三個(gè)點(diǎn)是在正方體三條兩兩異面的邊所在的直線上,任意兩點(diǎn)的連線都不是截面的邊,則可通過(guò)補(bǔ)形的方式,輔助空間想象.

上述三個(gè)問(wèn)題情境雖有區(qū)別,但作出的截面卻是一致的,可謂是殊途同歸.筆者在與學(xué)生交流時(shí),發(fā)現(xiàn)學(xué)生面對(duì)上述三個(gè)探究時(shí),主要是“直觀”地看出截面就是那個(gè)“特殊的正六邊形”,為了更好地培養(yǎng)學(xué)生“直觀想象”核心素養(yǎng),讓學(xué)生的“想象”來(lái)得更準(zhǔn)確,更“有據(jù)可依”,有必要要求學(xué)生深究作圖的原理,保留作圖痕跡.

結(jié)語(yǔ): 數(shù)學(xué)“直觀想象”素養(yǎng)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一,直觀想象是借助于幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)和變化,利用空間形式特別是圖形來(lái)理解和解決問(wèn)題的素養(yǎng),空間幾何體中的截面變化問(wèn)題,是“直觀想象”素養(yǎng)形成的重要載體,對(duì)教材內(nèi)容的深度挖掘?qū)λ仞B(yǎng)落地有著”潤(rùn)物無(wú)聲的效果“.