“滑落的梯子”的邊界曲線

新疆烏魯木齊市新疆師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(830017) 楊潤(rùn)冰 楊 軍

1 問題提出

高中數(shù)學(xué)人教版必修2“圓與方程”B 組第2 題是“長(zhǎng)度為2a的線段PQ的兩個(gè)端點(diǎn)P和Q分別在x軸和y軸上滑動(dòng),求線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程”.該習(xí)題源于生活情境“滑落的梯子”,求的是“滑落的梯子”的中點(diǎn)軌跡.根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”,易知“滑落的梯子”的中點(diǎn)軌跡是以原點(diǎn)為圓心,a為半徑的圓.

另一方面,“梯子”在滑動(dòng)過程中掃過一個(gè)平面區(qū)域,這個(gè)區(qū)域的邊界曲線的方程是什么呢? 這個(gè)問題本質(zhì)上是平面曲線的包絡(luò),可以利用高等幾何的知識(shí)解決,但是基于“滑的最遠(yuǎn)”的位置就是“邊界”的樸素思想,本文試著通過高中數(shù)學(xué)求函數(shù)最大值的方法探求“滑落的梯子”的邊界曲線,以饗讀者.

2 在互相垂直的直線上“滑落的梯子”的邊界曲線

如圖1,長(zhǎng)度為d的線段PQ的兩個(gè)端點(diǎn)P和Q分別在x軸非負(fù)半軸和y軸非負(fù)半軸上滑動(dòng),傾斜角為α(α ∈的射線OT與滑動(dòng)的線段PQ交于點(diǎn)M.記線段OM長(zhǎng)度最大時(shí)的點(diǎn)M為N,則點(diǎn)N即為“滑落的梯子”PQ掃過的平面區(qū)域邊界曲線上的點(diǎn).下面求射線OT的傾斜角在變化過程中,點(diǎn)N的軌跡(即邊界曲線)方程.

設(shè)線段PQ與x軸的夾角∠OPQ=t,則OP=dcost,OQ=dsint,利用正弦定理有解得OM=f(t)=其中t ∈(0,).下面求函數(shù)f(t)的最大值.

圖1

圖2

求導(dǎo)得f′(t)=記tan3t0= tanα(其中t0∈利用函數(shù)tan3t的單調(diào)性可知,當(dāng)t ∈(0,t0),f′(t)>0,當(dāng)t ∈f′(t)<0.故f(t)在區(qū)間(0,t0)上為增函數(shù),在區(qū)間上為減函數(shù).從而fmax(t)=f(t0),其中t0∈且滿足方程tan3t= tanα.故而“滑落的梯子”掃過區(qū)域邊界曲線上點(diǎn)N的坐標(biāo)為整理得

注意到極端情形t+α= 0 或π時(shí),邊界曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)也滿足上式,從而邊界曲線(如圖2)的參數(shù)方程為進(jìn)而,如果允許“滑落的梯子”的兩個(gè)端點(diǎn)在x軸負(fù)半軸或y軸負(fù)半軸上滑動(dòng),基于對(duì)稱性,得到完整的邊界曲線如圖3 所示,此曲線是一種特殊的圓內(nèi)旋輪線“星形線”.

圖3

圖4

3 在不互相垂直的直線上“滑落的梯子”的邊界曲線

如圖4,射線l的傾斜角為長(zhǎng)度為6 的線段PQ的兩個(gè)端點(diǎn)P和Q分別在x軸非負(fù)半軸和射線l上滑動(dòng),傾斜角為的射線OT與滑動(dòng)的線段PQ交于點(diǎn)M.記線段OM長(zhǎng)度最大時(shí)的點(diǎn)M為N,則點(diǎn)N即為“滑落的梯子”PQ掃過的平面區(qū)域邊界曲線上的點(diǎn).下面求射線OT的傾斜角α在變化過程中,點(diǎn)N的軌跡(即邊界曲線)方程.

設(shè)線段PQ與x軸的夾角∠OPQ=t,利用正弦定理得故OP=進(jìn)而得OM=f(t)=其中,α ∈

令

則f′(t)與g(t)異號(hào).下面討論g(t)的正負(fù)和其零點(diǎn)問題.求導(dǎo)得

因g′(t)的分母恒大于零,只需討論分子

的正負(fù).為此先討論復(fù)合函數(shù)h(t)的單調(diào)性.

故h(t)在區(qū)間上為增函數(shù),在區(qū)間上為減函數(shù).

故h(t)在區(qū)間上為增函數(shù).

下面討論h(t)的正負(fù),進(jìn)而推知g′(t)的正負(fù)和其零點(diǎn).

由h(t)在區(qū)間上為增函數(shù),且=4>0,故均有h(t)>0.由h(t)在上為增函數(shù),且= 0,故?t ∈均有h(t)<0;又h(t)在區(qū)間上為減函數(shù),且= 15>0,故h(t)在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點(diǎn)t′,且當(dāng)t ∈,t′)時(shí),h(t)>0,當(dāng)時(shí),h(t)<0.

綜上可知,當(dāng)t ∈時(shí),g′(t)>0; 當(dāng)t ∈時(shí),g′(t)<0.從而g(t)在區(qū)間上為增函數(shù),在區(qū)間上為減函數(shù).

由g(t)在區(qū)間上為減函數(shù),故?t ∈g(t)>=?tanα≥0.又=?tanα≤0,?tanα≥0,故函數(shù)g(t)在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)t0,且當(dāng)t ∈[,t0),g(t)≤0; 當(dāng)t ∈(t0,),g(t)>0.

注意到f′(t)與g(t)異號(hào),從而t ∈t ∈(t0,),f′(t)<0,故f(t)在區(qū)間上為增函數(shù),在區(qū)間(t0,)上為減函數(shù).又f(t)在區(qū)間(0,]上為增函數(shù)(見前),從而f(t)僅在t0處取到最大值,其中t0為函數(shù)g(t)在區(qū)間上的唯一隱含零點(diǎn),即t0滿足

且t ∈

從而“滑落的梯子”掃過區(qū)域邊界曲線上的點(diǎn)N的坐標(biāo)為

整理得邊界曲線(如圖5)的參數(shù)方程為

進(jìn)一步,如果“滑落梯子”的兩個(gè)端點(diǎn)分別在由原點(diǎn)出發(fā)的6 條射線中的任相鄰兩條射線(夾角均為)上運(yùn)動(dòng),則得到完整的邊界曲線如圖6 所示.

圖5

圖6

本文以“滑落的梯子”為情境,探究了其掃過的平面區(qū)域的邊界曲線問題.這樣的探究無疑對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和提升教師數(shù)學(xué)解題教學(xué)能力均具有重要的意義和價(jià)值.