含有“或”與“且”的有解與恒成立問題

浙江省寧波效實(shí)中學(xué)(315012) 童益民

函數(shù)中有一類綜合性的問題是有解與恒成立問題,對(duì)于含有“或”與“且”的有解與恒成立問題更是其中的重點(diǎn)與難點(diǎn).對(duì)于該類問題,很多學(xué)生在理解上存在一定的誤差,要想很好的掌握去解決,更是存在一定的難度,在文[1]中,已對(duì)含絕對(duì)值的恒成立問題進(jìn)行了研究.本文試圖從更基礎(chǔ)的角度出發(fā),在理解存在量詞與全稱量詞的基礎(chǔ)上,得出各種形式的有解與恒成立問題的等價(jià)條件,進(jìn)而對(duì)雙重有解與恒成立問題的解析,使得對(duì)該類問題有系統(tǒng)與整體的認(rèn)識(shí).

一、有解與恒成立符號(hào)語言表述的改進(jìn)

在人教版A 版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書(2005年)數(shù)學(xué)選修2-1 中,全稱命題p:?x ∈M,p(x); 它的否定?p:?x0∈M,?p(x0);特稱命題p:?x0∈M,p(x0);它的否定?p:?x ∈M,?p(x).

在人教版A 版普通高中教科書(2019年)數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)中,全稱量詞命題:?x ∈M,p(x); 它的否定:?x ∈M,?p(x); 存在量詞命題:?x ∈M,p(x); 它的否定:?x ∈M,?p(x).

從上面兩個(gè)版本的表述中,差別很明顯的是前一個(gè)版本的特稱命題中用?x0∈M,后一個(gè)版本的存在量詞命題中用?x ∈M.?x0∈M指存在某一個(gè)x0,強(qiáng)調(diào)能找到一個(gè)的意思;?x ∈M指存在一個(gè)或一些x;x0更多的是理解為常量,而x更多的是理解為變量,可以是一個(gè)動(dòng)態(tài)的變化過程.

題目1(2016年浙江高考數(shù)學(xué)理科試題第4 題)命題“?x ∈R,?n ∈N?,使得n≥x2”的否定形式是( ).

A.?x ∈R,?n ∈N?,使得n

B.?x ∈R,?n ∈N?,使得n

C.?x ∈R,?n ∈N?,使得n

D.?x ∈R,?n ∈N?,使得n

對(duì)于命題“?x ∈R,?n ∈N?,使得n≥x2”的表述形式,為什么沒有采用前一個(gè)版本中的“?x ∈R,?n0∈N?,使得n0≥x2”,這兩種表述形式在理解上是否會(huì)造成不同意思,需要我們?nèi)ンw會(huì)研究.

對(duì)于命題p:“?x ∈R,?n ∈N?,使得n≥x2”的理解,認(rèn)為當(dāng)x取不同值時(shí),n是可以取相應(yīng)的不同的值,所以命題p是真命題.它的否定形式?p:“?x ∈R,?n ∈N?,使得n < x2”,理解為對(duì)每一個(gè)取定的x值,n < x2對(duì)n ∈N?恒成立,這樣命題p的否定是假命題.而如果寫成命題q:“?x ∈R,?n0∈N?,使得n0≥x2”,這樣理解上會(huì)造成n0是一個(gè)確定不變的值,從而命題q是假命題,這樣表述形式上的細(xì)微差別,造成命題p與命題q理解上的巨大差別,而把命題q的否定形式寫成?q:“?x0∈R,?n ∈N?,使得n

二、含有“或”與“且”的有解與恒成立的等價(jià)性

已知函數(shù)F(x)與G(x)在x ∈M上是連續(xù)的,則有以下結(jié)論:

結(jié)論1

1.1?x ∈M,F(x)>0 且G(x)<0 恒成立等價(jià)于?x ∈M,F(x)>0 恒成立且?x ∈M,G(x)<0 恒成立.

1.2.?x ∈M,F(x)>0 或G(x)<0 成立等價(jià)于?x ∈M,F(x)>0 成立或?x ∈M,G(x)<0 成立.

1.3 當(dāng)F(x)≤G(x)時(shí),?x ∈M,F(x)>0 或G(x)<0恒成立等價(jià)于?x ∈M,F(x)>0 恒成立或?x ∈M,G(x)<0 恒成立.

1.4 當(dāng)F(x)>G(x)時(shí),?x ∈M,F(x)>0 且G(x)<0成立等價(jià)于?x ∈M,F(x)>0 成立且?x ∈M,G(x)<0成立.

證明結(jié)論1.1 與結(jié)論1.2 顯然成立.接下來證明結(jié)論1.3.?x ∈M,F(x)>0 或G(x)<0 恒成立,相當(dāng)于?x ∈M1,F(x)>0 恒成立且?x ∈M2,G(x)<0 恒成立,并且M1∪M2=M,假設(shè)M1∩M2?=?,即x0∈M1∩M2.因?yàn)閤0∈M1,所以F(x0)>0,因?yàn)閤0∈M2,所以G(x0)<0,所以F(x0)> G(x0),與F(x)≤G(x)矛盾,所以假設(shè)不成立,即M1∩M2=?.

假設(shè)M1?=?且M2?=?,設(shè)x1∈M1,x2∈M2.因?yàn)閤1∈M1,所以F(x1)>0,因?yàn)閤2∈M2,M1∩M2=?且M1∪M2=M,所以x2/∈M1,所以F(x2)≤0,因?yàn)镕(x)在x ∈M上是連續(xù)的,根據(jù)零點(diǎn)存在定理,可得存在x3∈M,使得F(x3)=0,所以x3∈M2,所以G(x3)<0,所以F(x3)> G(x3),與F(x)≤G(x)矛盾,所以假設(shè)不成立,即M1=?或M2=?.所以結(jié)論1.3 即證.

注對(duì)于結(jié)論1.4 的證明,首先要弄清楚的是,結(jié)論1.3 的另外一種形式是:

當(dāng)F(x)< G(x)時(shí),?x ∈M,F(x)≥0 或G(x)≤0 恒成立等價(jià)于?x ∈M,F(x)≥0 恒成立或?x ∈M,G(x)≤0恒成立(證略).因?yàn)?x ∈M,F(x)>0 且G(x)<0 成立的否定為?x ∈M,F(x)≤0 或G(x)≥0 恒成立,又?x ∈M,F(x)>0 成立且?x ∈M,G(x)<0 成立的否定為?x ∈M,F(x)≤0 恒成立或?x ∈M,G(x)≥0 恒成立,

根據(jù)結(jié)論1.3 的另外一種形式,當(dāng)G(x)< F(x)時(shí),?x ∈ M,F(x)≤ 0 或G(x)≥ 0 恒成立 等 價(jià)于?x ∈M,F(x)≤0 恒成立或?x ∈M,G(x)≥0 恒成立,所以當(dāng)F(x)> G(x)時(shí),?x ∈M,F(x)>0 且G(x)<0 成立等價(jià)于?x ∈M,F(x)>0 成立且?x ∈M,G(x)<0 成立,結(jié)論1.4 即證.

結(jié)論1.4 的另外一種形式是: 當(dāng)F(x)≥G(x)時(shí),?x ∈M,F(x)≥0 且G(x)≤0 成立等價(jià)于?x ∈M,F(x)≥0 成立且?x ∈M,G(x)≤0 成立(證略).

對(duì)結(jié)論1 可以適當(dāng)?shù)淖冃?令F(x)=λ ?f(x),G(x)=λ ?g(x),也就是說在函數(shù)F(x)與G(x)中能分離出參數(shù)λ,可得

結(jié)論2

2.1?x ∈M,λ > f(x)且λ < g(x)恒成立等價(jià)于?x ∈M,λ>f(x)恒成立且?x ∈M,λ

2.2?x ∈ M,λ > f(x)或λ < g(x)成立等價(jià)于?x ∈M,λ>f(x)成立或?x ∈M,λ

2.3 當(dāng)f(x)≥g(x)時(shí),?x ∈M,λ > f(x)或λ < g(x)恒成立等價(jià)于?x ∈M,λ > f(x)恒成立或?x ∈M,λ

2.4 當(dāng)f(x)< g(x)時(shí),?x ∈M,λ > f(x)且λ < g(x)成立等價(jià)于?x ∈M,λ>f(x)成立且?x ∈M,λ

拓展2當(dāng)f(x)< g(x)時(shí),“?x ∈M,λ > f(x)或λf(x)且λ

老陳又說和我喝酒，我說一會(huì)還有事，要出門。老陳說，那我們改天再喝。我已領(lǐng)教過老陳的酒量，他那酒量，就是再加上一個(gè)我，也喝不過他的。老陳回到家，開了錄音機(jī)，又聽他的京劇了。那天，我確實(shí)有事。一個(gè)朋友說他淘到了一個(gè)寶貝，叫我過去看看。從朋友那里回來，已是晚上。讓我想不到的是，老陳真的出事了。

對(duì)結(jié)論1 又可以適當(dāng)?shù)淖冃?令F(x)=f(x)?g(x),G(x)=f(x)+g(x),可得結(jié)論3.2 與結(jié)論3.3; 令F(x)=f(x)+g(x),G(x)=f(x)?g(x),可得結(jié)論3.1與結(jié)論3.4.

結(jié)論3

3.1?x ∈M,|f(x)| < g(x)恒成立等價(jià)于?x ∈M,f(x)?g(x)恒成立.

3.2?x ∈M,|f(x)| > g(x)成立等價(jià)于?x ∈M,f(x)>g(x)成立或?x ∈M,f(x)

3.3 當(dāng)g(x)≥0 時(shí),?x ∈M,|f(x)| > g(x)恒成立等價(jià)于?x ∈M,f(x)> g(x)恒成立或?x ∈M,f(x)< ?g(x)恒成立.

3.4 當(dāng)g(x)>0 時(shí),?x ∈M,|f(x)|< g(x)成立等價(jià)于?x ∈M,f(x)?g(x)成立.

拓展3當(dāng)g(x)<0 時(shí),“?x ∈M,|f(x)| > g(x)恒成立”是恒成立的;當(dāng)g(x)≤0 時(shí),“?x ∈M,|f(x)| < g(x)成立”是不成立的.

小結(jié)結(jié)論1 是對(duì)一般形式的含有“或”與“且”的有解與恒成立的等價(jià)性表述,結(jié)論2 是能夠參數(shù)分離情況的含有“或”與“且”的有解與恒成立的等價(jià)性表述,結(jié)論3 是對(duì)絕對(duì)值形式的含有“或”與“且”的有解與恒成立的等價(jià)性表述.對(duì)于含“且”的恒成立與含“或”的有解的等價(jià)問題不需要附加條件,對(duì)于含“或”的恒成立與含“且”的有解的等價(jià)問題需要附加條件,熟練系統(tǒng)理解掌握上述各個(gè)結(jié)論,對(duì)幫助解題有很好的指導(dǎo)作用.

題目2(2021年1月浙江省學(xué)考數(shù)學(xué)試題第22 題)已知a ∈R,b>0,若存在實(shí)數(shù)x ∈[0,1),使得|bx ?a|≤b ?ax2成立,則的取值范圍是____.

解因?yàn)閎>0,所以原題等價(jià)于

所以

所以

所以?x ∈[0,1),使得成立且?x ∈[0,1),使得成立,所以≥?1 且所以?1 ≤

分析絕大部分學(xué)生都是用以上步驟進(jìn)行解題,但各步驟之間是否等價(jià)不是很清楚,步驟(1)與步驟(2)是等價(jià)的,步驟(2)與步驟(3)是否等價(jià),根據(jù)結(jié)論3.4,當(dāng)時(shí),步驟(2)與步驟(3)是等價(jià)的,如果粗略一看,得不到這個(gè)條件,有部分同學(xué)轉(zhuǎn)而用別的方法去做,如用數(shù)形結(jié)合的思想考慮兩個(gè)函數(shù)的圖像位置,同樣也得到

其實(shí)仔細(xì)分析一下,還是可以得到1?≥0 這個(gè)條件的.因?yàn)樵}等價(jià)于存在實(shí)數(shù)x ∈[0,1),使得成立,它的否定: 對(duì)于任意實(shí)數(shù)x ∈[0,1),使得恒成立,所以當(dāng)x= 0 時(shí),所以則取補(bǔ)集?1 ≤≤1,即原題中隱含了?1 ≤≤1,所以當(dāng)x ∈[0,1)時(shí),1?≥0 這個(gè)條件成立,從而得到步驟(2)與步驟(3)是等價(jià)的.

三、含有“或”與“且”的雙重有解與恒成立問題

題目3對(duì)于任意的實(shí)數(shù)b,總存在x ∈[0,1],使得x2+ax+b≥1 成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解法1因?yàn)?b ∈R,?x ∈[0,1],使得x2+ax+b≥1成立,根據(jù)結(jié)論3.2,可得?b ∈R,?x ∈[0,1],使得x2+ax+b≥1 成立或?x ∈[0,1],使得x2+ax+b≤?1 成立,所以?b ∈R,b≥(?x2?ax+1)min或b≤(?x2?ax ?1)max,根據(jù)拓展2,可得(?x2?ax+1)min≤(?x2?ax ?1)max.令f(x)=?x2?ax+1,x ∈[0,1],g(x)=?x2?ax ?1,x ∈[0,1],

所以?a≤?1,即a≥1.

②當(dāng)0<即?1 ≤a<0 時(shí),

④當(dāng)?>1,即a

所以1 ≤?2?a,即a≤?3.

綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤?3 或a≥1.

解法2根據(jù)對(duì)題1 的分析可知,對(duì)于任意的實(shí)數(shù)b,總存在x ∈[0,1],使 得｜x2+ax+b｜ ≥ 1 成 立,確切的含義是對(duì)于不同的實(shí)數(shù)b,x的取值是可以不同的,所以該題最好不要寫成對(duì)于任意的實(shí)數(shù)b,總存在x0∈[0,1],使得｜x20+ax0+b｜≥1 成立.可以先從反面入手,命題的否定: 存在實(shí)數(shù)b,對(duì)于任意x ∈[0,1],使得｜x2+ax+b｜<1 成立,即存在實(shí)數(shù)b,對(duì)于任意x ∈[0,1],使得?1< x2+ax+b <1 成立,即存在實(shí)數(shù)b,對(duì)于任意x ∈[0,1],使得?x2?1< ax+b < ?x2+1 成立,根據(jù)數(shù)形結(jié)合,可得?3< a <1,取補(bǔ)集,得到a的取值范圍為a≤?3 或a≥1.

分析有學(xué)生認(rèn)為題目3 正面比較難解決,是否可以改成“存在x ∈[0,1],對(duì)于任意的實(shí)數(shù)b,使得｜x2+ax+b｜≥1 成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.”那么根據(jù)對(duì)題目1 的分析可知,當(dāng)x在[0,1]內(nèi)取某一個(gè)確定的值時(shí),對(duì)于任意的實(shí)數(shù)b,｜x2+ax+b｜≥1 是不能成立的,所以存在量詞與全稱量詞的次序是不能隨便調(diào)換的.

當(dāng)然,題目3 還可以用另外兩種思路解答.思路1:令h(x)=x2+ax+b,x ∈[0,1],對(duì)于任意的實(shí)數(shù)b,總存在x ∈[0,1],使得｜x2+ax+b｜≥1 成立,等價(jià)于h(x)max?h(x)min≥2; 思路2: 令F(x)=｜x2+ax+b｜,x ∈[0,1],F(x)max=M(b),對(duì)于任意的實(shí)數(shù)b,總存在x ∈[0,1],使得｜x2+ax+b｜≥1 成立,等價(jià)于M(b)min≥1,具體解題過程從略,思路2 的解題過程可參考文獻(xiàn)[2].