橢圓切線的尺規(guī)作圖法

廣東省東莞市東莞實驗中學 尹淑芬

學生在初中階段已經對尺規(guī)作圖作角平分線、線段的垂直平分線比較熟練,也能作出圓的切線.但是來到高中階段,學生大多不能作出圓錐曲線的切線.于是筆者查閱了關于利用尺規(guī)作圖法過橢圓上一點作切線的論文,發(fā)現大多數作法都步驟繁多,因此筆者就在本文介紹利用尺規(guī)作圖作出橢圓的切線的幾種簡潔作法.

設點P為橢圓上一點,要過點P作橢圓的切線.

作法一

(1)連接PF1,PF2;

(2)構造∠F1PF2的內角平分線PM;

(3)過點P作PM的垂線l,

直線l即橢圓在點P處的切線.

圖1

證明(橢圓的光學性質)

如圖1,設點P(x0,y0)是橢圓=1(a>b>0)上的一點,∠F1PF2的角平分線交橢圓的長軸于點M(m,0).對橢圓方程兩邊求導,= 0,得y′=即橢圓上在點P的切線斜率為

根據角平分線的性質可知:

化簡可得m=直線PM的斜率為由于直線l是直線PM垂線,所以直線l的斜率為所以直線l為橢圓在點P處的切線.

作法二

(1)過橢圓的左頂點A1作長軸的垂線連接PA1;

(2)作出線段PA1的中點D,O為橢圓的中心,連接OD交長軸的垂線于點Q;

(3)連接PQ,

圖2

直線PQ即橢圓在點P處的切線.

證明設點P(x0,y0)是橢圓= 1(a > b >0)上的一點.A1(?a,0),D(),lOD:y=可得

所以直線PQ為橢圓在點P處的切線.

作法三

(1)A1,A2是橢圓的左右頂點,連接A1P;

(2)過點P作橢圓長軸的垂線,垂線交橢圓于點Q;

(3)連接QA2交A1P于點M;

圖3

(4)過點M作橢圓長軸的垂線,垂足為N;

(5)連接PN,

直線PN為橢圓在點P處的切線.

證明設點P(x0,y0)是橢圓= 1(a > b >0)上的一點.由作法的證明得知,在點P處的切線斜率為,Q(x0,?y0),A1(?a,0),A2(a,0),聯立兩直線的方程:

解得xM=得

所以直線PN為橢圓在點P處的切線.

本文提供的幾種橢圓切線的作法比較簡單直接,學生易于掌握,證明思路清晰簡潔,方便學生理解.