“裂項相消萬能求和法”在數(shù)列求和中的解題方法研究

廣東省廣州市大同中學(xué)(510545) 袁 安

“裂項相消法”求數(shù)列的前n項和,是一種強(qiáng)大的數(shù)列求和方法,并不是只局限于某幾種類型,對于高中出現(xiàn)的數(shù)列求和基本都可以用“裂項相消法”進(jìn)行求和.

1 裂項求和的基本原理

學(xué)習(xí)不能憑空產(chǎn)生,應(yīng)在學(xué)生原有知識的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué).對照新舊知識,識別出“裂項相消萬能求和法”的關(guān)鍵特征,培養(yǎng)學(xué)生的觀察分析能力,使學(xué)生能直觀地意識到新舊方法之間的不同和聯(lián)系,再通過數(shù)學(xué)抽象得到“裂項相消萬能求和法”的公式和數(shù)學(xué)思想.讓學(xué)習(xí)始終保持在最近發(fā)展區(qū)進(jìn)行高效學(xué)習(xí).

原理1數(shù)列{an}的通項an與前n項和sn的關(guān)系:

原理2如果數(shù)列{an}的通項an可以表示成an=f(n+ 1)?f(n),則數(shù)列{an}的前n項和sn= [f(2)?f(1)]+[f(3)?f(2)]+[f(4)?f(3)]+···+[f(n+1)?f(n)]從而化簡得到sn=f(n+1)?f(1)

由兩原理得到“裂項相消萬能求和法”的核心數(shù)學(xué)思想:把原數(shù)列{an}的通項an分解成一個新數(shù)列{bn}的間距相等的兩項之差的形式.對分解后bn的2n項進(jìn)行相加求和,bn中間的多數(shù)(無窮)項可以相互抵消,達(dá)到化繁為簡,化無窮為有限,最后只需求余下的幾項之和.

歸納總結(jié)出數(shù)列{an}裂項求和的方法: 若數(shù)列通項an可以分解成一個新數(shù)列bn的后一項與前一項或(等距項)之差即

(1)若an=bn+1?bn時,sn=a1+a2+...+an,sn=(b2?b1)+(b3?b2)+...+(bn+1?bn),sn=bn+1?b1.

(2)若an=bn+2?bn時,sn=a1+a2+...+an,當(dāng)n= 1 時,sn=b3?b1,當(dāng)n≥2 時,sn= (b3?b1)+(b4?b2)+...+(bn+2?bn),sn=bn+2+bn+1?b2?b1,經(jīng)驗證可知,上式對n=1 也成立.

2 培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維,理解“裂項相消法”的本質(zhì)

“裂項相消萬能求和法”,強(qiáng)調(diào)學(xué)生對數(shù)列通項公式an結(jié)構(gòu)特點(diǎn)形式的理解,注重考查學(xué)生對知識的積累,及其逆向使用.這要求學(xué)生掌握數(shù)學(xué)代數(shù)運(yùn)算的特點(diǎn)和本質(zhì),不能只是懂得化簡計算,還要對計算前與計算后的本質(zhì)特點(diǎn)進(jìn)行歸納總結(jié),對學(xué)生計算能力、推理能力、抽象概括能力提出了更高的要求.

2.1 等差數(shù)列到自然數(shù)的K 次冪用“裂項相消萬能求和法”

例1等差數(shù)列{an}的通項an=a1+(n ?1)d,用“裂項相消求和法”證明其前n項和sn=na1+

引導(dǎo)分析等差數(shù)列通項公式an=a1+(n ?1)d中,a1與d均為常數(shù),通項an是關(guān)于變量n的一次式.怎樣式了通過連續(xù)或(等距)兩項之差是一次式? 引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行猜想.

猜想一若bn為一次式,設(shè)bn=n,則bn+1?bn=(n+1)?n= 1,所以得到不管系數(shù)為多少的連續(xù)兩項一次式的差是一個常數(shù),不符合題意.

猜想二嘗試二次式bn+1=n(n+1),則bn+1?bn=n(n+1)?(n ?1)n= 2n,連續(xù)兩項二次式之差為一次式,但系數(shù)不同,我們只需調(diào)整系數(shù).從而由加法我們可以進(jìn)一步歸納總結(jié)出: 一次式an=a1+(n ?1)d=(a1?d)+nd可以通過構(gòu)造二次多項式作差形成,最后得到an=(a1?d)+nd=[n?(n?1)](a1?d)+

小結(jié)推廣用裂項相消求和法引導(dǎo)學(xué)生證明等差數(shù)列求和公式,需要從學(xué)生原來已有的知識點(diǎn)出發(fā),在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)進(jìn)行教學(xué),從猜想到嘗試,從嘗試到證明,再進(jìn)行優(yōu)化解決問題.從自然數(shù)冪的形式來幫助學(xué)生理解,給學(xué)生提供更多地思考方式和思考空間,對培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維意識和創(chuàng)新意識起到積極作用.同時還應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從二項式定理來進(jìn)一步認(rèn)識自然數(shù)冪的和,推廣得到變易圖式1.

變易圖式1

優(yōu)化通過對常數(shù)、一次、二次的猜想、推理、與論證,由二項展開式的性質(zhì)可以用變易圖式得到李善蘭自然數(shù)的k次冪數(shù)列的前n項和的規(guī)律.從而得到變易圖式2.

變易圖式2

從上式可以得到李善蘭自然數(shù)的k次冪數(shù)列的前n項和有以下性質(zhì):

(1)自然數(shù)的k次冪數(shù)列的前n項和sn是一個關(guān)于n的k+1 次多項式,且常數(shù)項為0.

(2)和式sn中nk+1的系數(shù)為,nk的系數(shù)為

(3)和式sn中從第4 項開始,偶數(shù)項系數(shù)為0,當(dāng)學(xué)生掌握此類方法后,還可以引導(dǎo)學(xué)生對此類題型用待定系數(shù)法進(jìn)行求解,本文省略.

2.2 等比數(shù)列到等差比數(shù)列用“裂項相消萬能求和法”

例2等比數(shù)列{an}的通項an=a1qn?1(q ?= 0 且q ?=1),求數(shù)列{an}的前n項和sn.

引導(dǎo)分析等比數(shù)列通項公式an=a1qn?1中,a1與q均為常數(shù),是關(guān)于變量n的指數(shù)式.怎樣的連續(xù)兩項之差是指數(shù)式,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比推理,并針對指數(shù)式的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行歸納猜想.可能也是一個指數(shù)式,不妨設(shè)bn+1=qn,則bn+1?bn=qn ?qn?1= (q ?1)qn?1與an=a1qn?1只是系數(shù)的不同,從而進(jìn)行調(diào)整,重新構(gòu)造出新的數(shù)列bn+1=則bn+1?bn==a1qn?1=an,

小結(jié)推廣用裂項求和法引導(dǎo)學(xué)生尋找求解等比數(shù)列求和公式,先猜想,嘗試,再歸納總結(jié)可以仿照等差數(shù)列,思維流暢,還讓學(xué)生體驗了指數(shù)運(yùn)算的性質(zhì),為解決等差比數(shù)列及多項式與指數(shù)相乘的式子求和找到了更快捷的方法和思路.對培養(yǎng)學(xué)生的綜合應(yīng)用、解決問題的能力起到促進(jìn)的作用.同時還可以引導(dǎo)學(xué)生用裂項相消法解決等差比數(shù)列的和.

例3已知等差比數(shù)列{an}中,通項an=nqn(q ?= 0且q ?=1),求數(shù)列的前n項和sn.

引導(dǎo)分析等差比數(shù)列通項公式an=nqn中,a1與q均為常數(shù),是變量n的一次式與變量n的指數(shù)式的乘積.結(jié)合等差數(shù)列及等比數(shù)列應(yīng)用裂項求和方法及其特點(diǎn),猜想是一個多項式與指數(shù)冪相乘.由自然數(shù)的K次冪an=nk裂項相消法可知,構(gòu)造數(shù)列bn是關(guān)于n的K+1 次式.但等差比數(shù)列中不會出現(xiàn)這種情況,最高次系數(shù)不相同,作差時最高次不會消去,從而多項式的次數(shù)不會升高,再結(jié)合指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)歸納猜想得bn+1= (n+ 1)qn+1.則bn+1?bn= (n+1)qn+1?nqn= (nq ?n+q)qn,形式相同,只是系數(shù)不同,從而可以重新再次調(diào)整系數(shù),重新構(gòu)造出新的數(shù)列.

解bn+1?bn=(A(n+1)+B)qn+1?(An+B)qn,由bn+1?bn=[(Anq ?An)+(Aq+Bq ?B)]qn=nqn=an,得所以得到

優(yōu)化通過對等比數(shù)列、等差比數(shù)列用裂項相消法解決前n項和問題,可知我們要根據(jù)通項及其代數(shù)運(yùn)算的特點(diǎn),進(jìn)行合理的猜想,大膽的嘗試,并加以證明,在此基礎(chǔ)上進(jìn)行合理的拓展和推廣,并進(jìn)行嚴(yán)格地推理、論證.推廣得到變易圖式3.

變易圖式3

從上式可以引導(dǎo)學(xué)生對型如an=nkqn的數(shù)列求和公式sn的最后結(jié)果進(jìn)行歸納總結(jié),可以得到以下幾個結(jié)論:

(1)an=nkqn的前n項和sn是一個關(guān)于n的k次多項式與q的n+1 次式乘積和常數(shù)兩部分組成.

(2)和式sn中(n+1)k的系數(shù)為,(n+1)k?1的系數(shù)為

(3)和式sn中qn+1與多項式之積,此多項式中的常數(shù)項與最后的常數(shù)項互為相反數(shù)

2.3 根式到根式的倒數(shù)用“裂項相消萬能求和法”

例4已知數(shù)列{an}中,通項an=求數(shù)列{an}的前n項和sn.

引導(dǎo)分析本題學(xué)生很易想到分母有理化的化簡,對學(xué)生來說這是一個正向的化簡過程,難度不大,所以可以引導(dǎo)學(xué)生自己思考解決.化簡得到an=從而得到前n項和sn=bn+1?b1=?1.此類題目如果根號內(nèi)為等差數(shù)列或與倒數(shù)結(jié)合有哪些結(jié)論? 通過推廣得到an=(cn為d ?= 0 等差數(shù)列),即an=時,sn=

2.4 二次分式類到高次及排列數(shù)的分式類用“裂項相消萬能求和法”

例5已知數(shù)列{an}中,通項an=求數(shù)列{an}的前n項和sn.

引導(dǎo)分析分?jǐn)?shù)化簡一般會通分,n(n+ 1)可以分解為n和n+ 1,所以逆向思考,猜想bn=則可以得到結(jié)論sn=變式拓展,如果間距不是1,間距為2,又有何特點(diǎn)? 通項是一次式則數(shù)列是等差數(shù)列,那么如果分母是不為0 的等差數(shù)列得到an=(cn為d ?= 0 且cn ?= 0 的等差數(shù)列),an=

教學(xué)應(yīng)根據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)進(jìn)行多維的拓展訓(xùn)練,根據(jù)二次分式研究的結(jié)論,那么如果次數(shù)再次增加,而且還是連乘的倒數(shù)結(jié)構(gòu)形式,又有哪些特點(diǎn)? 引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合排列數(shù)公式對三次及高次分式進(jìn)行研究,會得到以下新的結(jié)論:

①an=則an=?,sn=

②an=,則an=

③an=,k≥2,即an=

如果拓展方向,不是增加項數(shù),而是用等比與一次式相加替換,或是等比數(shù)列與排列數(shù)進(jìn)行組合進(jìn)行替換,還會有哪些結(jié)論? 我們可以通過自由組合,會形成哪些新的數(shù)列{an}呢? 還可以推廣得到以下的變易圖式4.

變易圖式4

通過上面的變易圖式的學(xué)習(xí),讓bn通過指數(shù)、常數(shù)、一次式及排列數(shù)的重新組合,再通過構(gòu)造,化簡得到an的通項公式,讓學(xué)生能夠更多地了解an的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),為后期的裂項相消求和法儲備知識.

2.5 三角函數(shù)類用“裂項相消萬能求和法”

例6數(shù)列{an}的通項an= sin(nx),x ?= 2kπ,求數(shù)列{an}的前n項和sn.

引導(dǎo)分析數(shù)列通項公式an=sin(nx)是一個化簡后的試子,用裂項相消法解決問題時,要充分應(yīng)用三角函數(shù)中同角三角函數(shù)基本關(guān)系,和角,差角,倍角,半角以及和差化積,積化和差公式中的差值關(guān)系,使得通項可以分解為一個數(shù)列的后一項與前一項之差.我們引導(dǎo)學(xué)生去猜想,再不斷的嘗試,并加以證明來解決問題.

類比遷移,本題是正弦函數(shù)與一次式的復(fù)合,而一次函數(shù)是等差數(shù)列形式,所以本題可否與等差數(shù)列結(jié)合? 同時正弦可以,那么余弦、正切是否也有此方式解決? 從而引導(dǎo)學(xué)生得到變易圖式5.

變易圖式5

再次類比遷移,上式若不是三角函數(shù)與一次式的復(fù)合,而三角函數(shù)與等比數(shù)列結(jié)合,又會有什么情況出現(xiàn)? 結(jié)合在三角中的變形及三角函數(shù)的倒數(shù)形式又有哪些情況? 得到

①an=sn=

②an=d ?=kπ的等差數(shù)列,sn=(tancn+1?tanc1).

③an=,d ?=kπ的等差數(shù)列,sn=

2.6 對數(shù)函數(shù)類用“裂項相消萬能求和法”

例7已知數(shù)列{an}的通項an=求數(shù)列{an}的前n項和sn.

引導(dǎo)分析數(shù)列通項化簡可以看出an=ln(n+1)?lnn,可以構(gòu)造bn= lnn,再用裂項相消法,使sn=bn+1?b1= ln(n+1)進(jìn)行解決.由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),真數(shù)是前后兩式相除,就可以裂項分解成兩對數(shù)項相減的情況,從而可以進(jìn)行推廣得到如下變易:

(1)an= lg(1 +),則an= lg(n+ 1)?lgn,sn=lg(n+1)?lg 1=lg(n+1).

(2)an= lg(),cn >0 且cn ?= 1,則an=lgcn+1?lgcn,sn=lgcn+1?lgc1.

(3)an= lg(),cn >0 且cn ?= 1,則an=lgcn+2?lgcn,sn=lgcn+2+lgcn+1?lgc2?lgc1.

3 解題策略

“裂項相消萬能求和法”問題的解決,主要加強(qiáng)老師和學(xué)生對裂項原理、數(shù)學(xué)思想的理解與重視.其次是加大學(xué)生對各類數(shù)理運(yùn)算知識的儲備,特別是作差,化簡類型的公式,最后是靈活應(yīng)用能力,總結(jié)歸納優(yōu)化能力的提升,只有平時多積累,多思考,總結(jié)歸納的題型越全面,解題時的思路就會越清晰,才能跳出題海,遇到此類題型解起來就會更加得心應(yīng)手.

結(jié)束語“裂項相消萬能求和法”的數(shù)理運(yùn)算價值和數(shù)學(xué)思想價值,對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)起到不可或缺的作用.在平時的教學(xué)中一方面要加強(qiáng)對“裂項相消萬能求和法”的數(shù)學(xué)原理和數(shù)學(xué)思想的理解,另一方面是經(jīng)歷“體驗式教學(xué)”,讓學(xué)生經(jīng)歷“裂項相消萬能求和法”的每個環(huán)節(jié),從特殊到一般,再從一般到特殊,從猜想到證明,從歸納到優(yōu)化,讓學(xué)生體驗到“裂項”的策略與技巧,感受到“裂項”后的精妙效果,發(fā)揮“裂項相消萬能求和法”的教育價值,提升學(xué)生思維的深度與廣度,領(lǐng)悟數(shù)理運(yùn)算與數(shù)學(xué)思想相結(jié)合的巧妙,從而提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).