利用“先給再取”法分析接地對靜電感應的影響

摘?要：本文主要討論導體接地與否對靜電感應結(jié)果的影響，給出了一種巧妙的處理方法，即先把導體接地之前的原有電荷（不論是否外顯電性）全部傳輸給大地，然后根據(jù)其他帶電體對它的影響，向大地中再取回所需的電荷量，筆者將這種方法總結(jié)為“先給再取”，這種方法形象生動，對初學者而言很有幫助。由于某些球形問題中計算電荷量需要計算導體的電勢，故又給出了一種計算球形帶電體在空間中任一位置電勢的巧妙方法，經(jīng)過口算就能夠得出結(jié)果。本文給出了幾個經(jīng)典的例子，有助于加深對新方法的理解和運用。

關(guān)鍵詞：靜電感應;靜電平衡;接地;電勢;高斯定理

1?概述

早在18世紀，富蘭克林就提出了正、負電荷的概念，沿用至今，即絲綢摩擦的玻璃棒所帶的電荷叫作正電荷，由毛皮摩擦的橡膠棒所帶的電荷叫負電荷。目前，義務教育階段的教學設計，要求教師在課堂中使用絲綢、玻璃棒、毛皮、橡膠棒進行演示實驗[1]，給中學生打好“電磁學”的基礎(chǔ)。

“靜電感應”是“電磁學”這門課程中的一個基本問題，對于初學者來說，導體接地對感應電荷分布的影響，還是有相當?shù)碾y度。本文按照大學物理電磁學部分對“靜電感應”這一節(jié)的要求，總結(jié)出一種巧妙的方法來解決接地導體感應電荷量的計算問題，具有啟發(fā)性，有助于本科學生對這一部分和后續(xù)內(nèi)容的學習。

2?靜電感應和靜電平衡

“異種電荷相互吸引，同種電荷相互排斥”是電荷間相互作用的基本原則，靜電感應就是基于這個原則。如圖1，當導體A外部有另一帶電導體B靠近時，A導體處在了B的電場中，從而導體表面電荷會重新分布，左側(cè)積累感應電荷量q，右側(cè)積累感應電荷量q，感應電荷形成的感應電場與B的電場相互抵消，達到靜電平衡狀態(tài)。靜電平衡下，實心導體內(nèi)部電場強度處處為0，電荷全部集中在導體表面[2]。這兩點很容易給出證明：

（1）導體在外電場的作用下達到靜電平衡狀態(tài)，這意味著導體上的電荷不再定向移動，假設內(nèi)部電場強度不為0，那么電荷仍然要受到庫侖力的作用，從而定向移動，這是矛盾的。

（2）在無限接近導體外表面的導體內(nèi)部取一貼合導體輪廓的高斯面，由高斯定理[2]：

可知導體內(nèi)部電荷的總和∑qi等于0，因此電荷全部分布在導體外表面，得證。

3?求解電勢的方法

3.1?定義式

電勢的求法有很多，在電場強度分布已知的情況下，可以直接按照定義積分求得[2]：

一般規(guī)定無窮遠處為電勢零點，則有：

值得注意的是，如果空間電場強度在不同區(qū)域有不同的表達形式，則應當綜合利用式（3.1）和式（3.2）去計算P點的電勢。

3.2?口算法

值得一提的是，對于“球”這一特殊的形狀，電勢的求法有一個很實用的方法，對于導體球（含有電介質(zhì)的情況不適用，應當按照定義來計算）在空間任一點的電勢是可以口算求得的，詳述如下：對于某一點P，它的電勢由這些部分組成：①如果在某個界面的外部，就可以將這個界面視為集中在其球心處的一個點電荷，這個點電荷的在P處的電勢決定于P到球心的距離r[3];②P點在某個界面上時，可以歸為上述①的情況，只不過r等于界面的半徑Rα，α是指這一表面;③如果P點在某個界面的內(nèi)部，可以認為P點與界面等電勢，就可以把P點轉(zhuǎn)化在界面上（但并不在界面上，只是為了計算方便），化為第②種情況。

4?幾個典型例子

通過幾個典型的例子，將“先給再取”的方法運用在“實戰(zhàn)”中。

4.1?一般實心導體

不接地的情況，與圖1一致。

4.1.1?右側(cè)接地

按照“先給后取”的思想，最終A導體上左側(cè)應帶上電荷量q，這是初學者普遍接受的結(jié)果。

4.1.2?左側(cè)接地

同樣地，先把電荷全部傳給大地，然后根據(jù)靜電感應的需要再取q，剩下的問題就在于這些電荷應分布在表面的何處，很顯然，依然是在導體左側(cè)，這是“異種電荷相互吸引”的本質(zhì)使然。

由此可見，在同一表面上的不同位置接地，對電荷分布的影響效果相同。

4.2?同心導體球和導體球殼

現(xiàn)有一個半徑為R1的導體球，帶有電荷q，球外面放置一個內(nèi)半徑為R2、外半徑為R2的同球心導體球殼，球殼上帶有電荷Q，如圖2所示。

4.2.1?不接地

靜電感應的結(jié)果，使得球殼內(nèi)側(cè)會帶上電荷q，根據(jù)球殼電荷守恒，球殼外側(cè)會帶上電荷Q+q，兩個導體最終都處于靜電平衡。

繼續(xù)討論空間各處的電場強度E。根據(jù)高斯定理，式（2.1），可以很容易的得到空間各部分的電場強度：

其中r表示P點到球心的距離。

為了下面討論接地對電荷分布的影響，需要計算導體的電勢。

（1）利用“定義法”。

（2）利用“口算法”。

a.r=R1，P點在界面1上，又在界面2、3內(nèi)，故有：

b.r=R3，P點在界面3上，又在界面1、2外，故有：

上述兩種方法，得到的結(jié)果是完全一致的，讀者可以選擇適合自己的方法在以后的計算中使用。

4.2.2?接地

（1）導體球殼接地。如圖3（a），按照“先給”的思想，使得導體球殼所有的電荷全部傳輸?shù)酱蟮?，然后考慮其內(nèi)部有一個帶q電的導體球，由于靜電感應，球殼內(nèi)側(cè)需要帶上電荷q，故向大地“再取”電荷q。因為導體球只有一個面（外表面），全部的電荷量q集中在表面，因而可以確定球殼內(nèi)側(cè)面上的電荷量為q，外側(cè)面不帶電荷。這種現(xiàn)象叫作靜電屏蔽，導體外殼能夠避免內(nèi)部帶電體影響外界，同時保護內(nèi)部不受外部電場的影響[2]。

（2）導體球接地。如圖3（b），把導體球上的所有電荷“先給”大地，再取電荷e，然而導體球殼有兩個面，難以判斷內(nèi)、外面各帶多少電荷，故確定e的大小需要借助接地后U1=0來確定。

導體球帶電e，那么導體球殼內(nèi)側(cè)帶電e，外側(cè)帶電Q+e，利用“口算法”可得：

結(jié)果是，導體球表面帶電e，導體球殼內(nèi)表面帶電e、外表面帶電Q+e。

由此可見，靜電感應情況下，導體接地后，其表面上的電荷并不一定與另一帶電導體所帶電荷等量異號，這是大部分初學者的思維誤區(qū)。

4.3?平板型導體

4.3.1?不接地

如圖4，有兩個平板型導體A、B，表面電荷面密度分別為σA、σB。二者靠近時，電荷會重新分布，導體A、B各自的兩個表面的電荷面密度會改變。在計算電荷分布時，要牢牢抓住靜電平衡的特點。

首先把這兩個導體看做是四個帶電面，在界面2和界面3之間做一個圓柱形高斯面，由高斯定理得：

4.3.2?導體A接地

把A中的電荷“先給”大地，考慮到B的電荷面密度為σB，故要向大地“再取”電荷面密度-σB，這里把板型導體和4.1小節(jié)的一般實心導體做了類比。

同樣地，按照按照上面的過程，可以得到：

這使得兩個板型導體構(gòu)成了平行板電容器，其間的勻強電場強度為σBε0。

結(jié)語

靜電感應會引起帶電導體電荷的重新分布，達到靜電平衡時，導體內(nèi)各處電場強度處處為0，這既是靜電平衡的條件又是結(jié)果。

除了上面討論到的情況外，仍需注意的是，如果把單獨存在的帶電導體A接地，則其上的電荷會全部傳輸?shù)酱蟮?，這也是“先給”思想的靈感所在。

上述的三個典型例題，準確闡述了導體接地前后感應電荷量的變化，“先給再取”的思想貫穿其中，即先把電荷量移去，再取所需。解題過程如魚得水，把復雜的問題簡單化，同時也能夠引發(fā)讀者思考。

參考文獻：

[1]陸挺.淺析初中物理教材中《靜電現(xiàn)象》實驗的改進[J].物理教學探討，2011，29（09）：1718.

[2]趙凱華，陳熙謀.電磁學（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2019.

[3]馬文蔚.物理學（第六版）習題分析與解答[M].北京：高度等教育，2015.

作者簡介：耿乙淇（2000—?），男，漢族，江蘇徐州人，本科在讀，研究方向：理論物理和中學學科物理。