定調(diào) 定位 定向

鄭日鋒

歷年高考總是吸睛無數(shù)，而試卷的命制規(guī)律、考試效度以及其對實(shí)際教學(xué)的引領(lǐng)，也總是吸引不少專家研究。本期所選3篇論文，一篇指向浙江高考數(shù)學(xué)試題，一篇指向全國8套作文試題，一篇指向浙江高考?xì)v史試題第28題，或全卷評析，或分類統(tǒng)整，或單題分析，各有側(cè)重，各有精神。

摘 ? ?要：2021年浙江高考數(shù)學(xué)試題系統(tǒng)全面地考查了高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本思想方法，突出考查學(xué)生的核心素養(yǎng)，保持了浙江卷的一貫特色，于穩(wěn)中求變.許多試題背景源自于課本素材的移植與改編，讓基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生可動筆.此外，又設(shè)計(jì)了多道綜合性強(qiáng)、思維能力要求高并且設(shè)問方式新穎的試題，便于有效區(qū)分考生的水平.試卷再次傳遞信息，高中數(shù)學(xué)教學(xué)不能依靠“題海戰(zhàn)術(shù)”，呼喚數(shù)學(xué)教學(xué)回歸自然.

關(guān)鍵詞：浙江高考數(shù)學(xué)試題;數(shù)學(xué)教學(xué);核心素養(yǎng)

一、試題特點(diǎn)

自2017年浙江高考數(shù)學(xué)實(shí)施文理合卷以來，今年已是第五年.對于今年的高考數(shù)學(xué)，一般考生反應(yīng)比較平靜，尖子生則反應(yīng)比較強(qiáng)烈，他們普遍覺得容易題大家都會做，而試卷上的第10題及第22題最后一小題，大家又都沒思路.筆者對全卷做了一番研究，認(rèn)為今年的試卷系統(tǒng)全面地考查了高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本思想方法，突出考查學(xué)生的核心素養(yǎng).試卷難度與去年相當(dāng)，保持了浙江卷的一貫特色，穩(wěn)中求變，具有一定的區(qū)分度，并對高中數(shù)學(xué)教學(xué)具有良好的導(dǎo)向作用.主要體現(xiàn)了以下特點(diǎn).

（一）定調(diào)——通性通法唱主角

今年大部分試題讓基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生可動筆，許多試題背景熟悉，源自于課本素材的移植與改編，并從學(xué)科整體意義與知識結(jié)構(gòu)上進(jìn)行了設(shè)計(jì)，全面覆蓋了中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的主干知識模塊，試卷中第1，2，3，4，6，7，9，11，12，13，14，15，16，18，19，20，21第（1）小題，22第（1）小題，都源自于課本，或從課本中的例題、習(xí)題直接改編過來，這體現(xiàn)了試題的基礎(chǔ)性.試卷第11題，以趙爽弦圖為背景設(shè)計(jì).趙爽是三國時期吳國的數(shù)學(xué)家，此題意在對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)文化的熏陶，與愛國主義教育相關(guān).

試卷注重考查對數(shù)學(xué)概念、基本定理、基本性質(zhì)等的理解，及數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，倡導(dǎo)用通性通法解決問題.大部分試題都可以運(yùn)用教材中的方法來解決，如：第6題，以正方體為載體，考查立體幾何中空間線面位置關(guān)系;第15題，以熟悉的摸球模型，考查古典概型、隨機(jī)變量的均值、超幾何分布等基礎(chǔ)知識;第20題，考查數(shù)列的和與通項(xiàng)的關(guān)系、錯位相減法求和及含參數(shù)的不等式恒成立求參數(shù)范圍.

試卷中的許多試題，可以有多個觀察視角，進(jìn)而可用多種方法解決，這可以有效區(qū)分不同層次學(xué)生的數(shù)學(xué)水平和能力.如第19題是立體幾何中線線垂直與求線面角問題，既可以用傳統(tǒng)幾何法解決，也可以用建立空間直角坐標(biāo)系的向量法解決，但后者會容易些.

例1 ? （第21題）如圖（略），已知F是拋物線[y2=2px（p>0）]的焦點(diǎn)，M是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，且[|MF|=2.]

（1）求拋物線的方程;

（2）設(shè)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若斜率為2的直線[l]與直線[MA， MB， AB， x]軸依次交于點(diǎn)[P， Q， R， N]，且滿足[|RN|2=|PN|?|QN|]，求直線[l]在[x]軸上截距的取值范圍.

此題以拋物線為載體，關(guān)注了解析幾何的本質(zhì)，體現(xiàn)了坐標(biāo)法思想.解決此題的關(guān)鍵是將幾何條件[|RN|2=|PN|?|QN|]坐標(biāo)化，即把同一直線上的三條線段[RN，PN，QN]投影在[y]軸上，得到[R，P，Q]三點(diǎn)的縱坐標(biāo)的關(guān)系[|yR|2=|yP?yQ|].解答此題通常有兩種思路：

一是設(shè)[AB ： x=1+ty（t≠12）]，[l： y=2x+m]，

則[N（-m2， 0）]，由[|yR|2=|yP?yQ|]，建立關(guān)于[m， t]的方程，[（m+2）2（m-2）2=（1-2t）24t2+3]，求出[（1-2t）24t2+3]的取值范圍[（0， 43]]，再解不等式[0<（m+2）2（m-2）2≤43]，得[m≥14+83]或[m≤14-83]且[m≠-2]，所以直線[l]在[x]軸上截距的取值范圍是[（-∞， -43-7]?[43-7， 1）?（1， +∞）.]

二是利用拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)直線[MA， MB]的斜率互為相反數(shù)，設(shè)[AB： x=1+ty（t≠12）， l： x=x0+12y]，[MA： x=-1+ny]，則[MB： x=-1-ny]，可得[n2-t2=1]，將直線[MA， MB]看成一條曲線[（x+1）2-][n2y2=0]，利用直線[l]與此曲線交點(diǎn)為[P， Q]，由[|yR|2=|yP?yQ|]，建立關(guān)于[x0， t]的方程，[（x0-1）2（x0+1）2=（1-2t）24t2+3]，同樣得到直線[l]在x軸上截距的取值范圍是[（-∞，]

[-43-7]?[43-7， 1）?（1， +∞）.]

（二）定位——以考查素養(yǎng)為主導(dǎo)

試卷在考查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能的基礎(chǔ)上，重視對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查：第8，9，10，13，15，17，18，20，21，22等題考查數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng);第3，6，7，8，10，19，20，22等題考查邏輯推理素養(yǎng);第2，4，9，10，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22等題考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng);第4，5，6，7，9，11，16，17，19，21，22等題考查直觀想象素養(yǎng).

例2 （第8題）已知[α， β， γ]是互不相同的銳角，則在[sinαcosβ， sinβcosγ， sinγcosα]三個值中，大于[12]的個數(shù)的最大值是（ ? ?）

A.0 ? ? ?B.1 ? ? ?C.2 ? ? ?D.3

本題設(shè)計(jì)新穎，考查數(shù)學(xué)直覺和估算能力，及綜合運(yùn)用知識分析問題、解決問題的能力，考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng)，有以下兩種解法：

解法1：[sinαcosβ+sinβcosγ+][sinγcosα]

[≤sin2α+cos2β2+sin2β+cos2γ2]

[+sin2γ+cos2α2=32]，所以[sinαcosβ]，[sinβcosγ]，

[sinγcosα]中至多有兩個大于[12]，故選C.

解法2：[（sinαcosβ）（sinβcosγ）（sinγcosα）=18sin2αsin2βsin2γ≤18.]

所以[sinαcosβ， sinβcosγ， sinγcosα]中至多有2個大于[12]，故選C.

解法1的本質(zhì)是[min（a， b ，c）≤13（a+b+c）];解法2的本質(zhì)是[min（a， b， c）≤]

[abc3][（a， b， c>0）.]

例3 （第17題）已知平面向量[a， b， c（c≠0）]滿足[|a|=1， |b|=2， a?b=0， （a-b）?c=0].記向量d在[a， b]方向上的投影分別為[x， y]，[d-a]在[c]方向上的投影為[z]，則[x2+y2+z2]的最小值是________.

本題考查平面向量數(shù)量積的幾何意義，及分析問題、解決問題的能力，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算及直觀想象素養(yǎng).解決本題既可以用幾何法，也可以用建系的方法，它的本質(zhì)是求直線上的動點(diǎn)到此直線上兩定點(diǎn)距離的平方和的最小值，此時動點(diǎn)為兩定點(diǎn)的中點(diǎn).

（三）定向——設(shè)計(jì)新穎問題求突破

高考評價體系對高中數(shù)學(xué)提出了數(shù)學(xué)建模能力、空間想象能力、運(yùn)算求解能力、邏輯推理能力及創(chuàng)新能力等要求.試卷設(shè)計(jì)了多道綜合性強(qiáng)，思維能力要求高并且設(shè)問方式新穎的試題，這些試題回歸概念、回歸通性通法、回歸數(shù)學(xué)本原，能有效區(qū)分考生的水平.

例4 ? （第22題）設(shè)[a， b]為實(shí)數(shù)，且[a>1]，函數(shù)[f（x）=ax-bx+e2（x∈R）.]

（1）求函數(shù)[f（x）]的單調(diào)區(qū)間;

（2）若對任意[b>2e2]，函數(shù)[f（x）]有兩個不同的零點(diǎn)，求[a]的取值范圍;

（3）當(dāng)[a=e]時，證明：對任意[b>e4]，函數(shù)[f（x）]有兩個不同的零點(diǎn)[x1， x2]，滿足[x2>blnb2e2x1+e2b].（注：e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）

本題是零點(diǎn)問題，2018年與2020年的浙江省高考數(shù)學(xué)試卷的壓軸題也都是零點(diǎn)問題，解決本題需綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì).此題考查了函數(shù)與方程思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想及轉(zhuǎn)化思想，考查了學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)、運(yùn)算素養(yǎng)及分析問題、解決問題的能力.

解決第（1）小題，求出導(dǎo)函數(shù)后，需對[b]分（i）[b≤0]，（ii）[b>0]兩種情況分類討論，利用導(dǎo)函數(shù)的符號與原函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系來解決.

解決第（2）小題，由第（1）小題及已知條件，只需[f（x）min=f（logablna）=blna-][blogablna][+]

[e2<0.]即把問題轉(zhuǎn)化為此不等式對任意[b>2e2]恒成立，求[a]的取值范圍。接下來求解有三種常用方法.一是將不等式左邊記作函數(shù)[g（b）]，轉(zhuǎn)化為[g（b）]的最大值小于零（或上確界不大于0），需分類討論;二是令[blna=t>0]，則不等式化為[t-tlnt+e2<0]，設(shè)此不等式左邊為[h（t）]，通過求導(dǎo)得[h（t）]在[（0， 1）]上遞增，在[（1， +∞）]遞減，又[h（e2）=0]，作出[h（t）]的圖象（圖略），得[t>e2]，即[blna>e2]，從而得[lna≤2]，故[12e2]，指數(shù)函數(shù)[y=ax]與一次函數(shù)[y=bx-e2]的圖象恒有兩個交點(diǎn)，求[a]的取值范圍”，可以采用定性分析的方法解決，即若[b]固定，則[a]越小越滿足，若[a]固定，則[b]越大越滿足，故只需考慮函數(shù)[y=ax]與[y=2e2x-e2]相切時的情況，設(shè)切點(diǎn)為[（x0， ax0）]，則[ax0lna=2e2ax0=2e2x0-e2，]解得[x0=1a=e2 ，]所以[1

解決第（3）小題，先證明[f（x）]有兩個零點(diǎn)，后證明不等式，前者比較簡單，后者的證明思路如下：由第（2）小題得[f（x）]在[（-∞， lnb）]上單調(diào)遞減，在[（lnb， +∞）]上遞增，且[x1e4]，所以[lnb>4.]由[f（2e2b）=e2e2b-e2<0]，所以[x1<2e2b]，所以[blnb2e2x1+e2blnb+e2b.]又只要證[f（lnb+e2b）=b（ee2b-lnb）<0.]接下來的證明就容易了.當(dāng)然還有其他證明方法，本文不再贅述.

本題第（3）小題不等式的證明，需要學(xué)生運(yùn)用分析法、綜合法及放縮的技巧，與平時練習(xí)的極值點(diǎn)偏移問題，雖然在解題方法上有相似之處，即將證明的自變量的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)值的大小關(guān)系，但避開了運(yùn)用常見不等式[ex≥1+x， lnx≤x-1]及對數(shù)均值不等式，導(dǎo)致絕大部分學(xué)生未能做出此題.與此類似的還有第10題，給出遞推數(shù)列，估計(jì)前100項(xiàng)和的范圍，這是本屆學(xué)生備考時忽略的問題;第21題也是如此.這樣的考查打破了原有的模式，體現(xiàn)了試題的靈活性與創(chuàng)新性，展現(xiàn)了穩(wěn)定與創(chuàng)新、穩(wěn)定與改革的融合，考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)理性思維、知識技能及靈活解決問題的能力等，發(fā)揮了高考數(shù)學(xué)學(xué)科選拔人才的功能.

二、對試題的認(rèn)識

加強(qiáng)應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，是新課程的一大亮點(diǎn).數(shù)學(xué)的應(yīng)用分兩大類，一類是內(nèi)部的應(yīng)用，另一類是實(shí)際應(yīng)用.在今年的試卷中，與往年一樣僅設(shè)計(jì)了第15題，以摸球?yàn)楸尘暗母怕蕟栴}，與全國卷比較，實(shí)際應(yīng)用的試題偏少.

選擇題第10題、填空題第17題及解答題第21，22題作為給優(yōu)等生量身定制的問題，選材及設(shè)問方式都較新穎，但第10題答案為A，與前兩年的答案相同，讓投機(jī)取巧者占了便宜.第22題第（3）小題分值只有4分，而且包含了證明[f（x）]有2個零點(diǎn)（此證明比較容易），明顯占分太少，這讓優(yōu)等生情何以堪？筆者認(rèn)為最后一小題賦6分會更合理.

自2017年以來，連續(xù)5年選擇題答案分配均為3，3，2，2，即A，B，C，D四個選項(xiàng)正確答案個數(shù)為3，3，2，2，我們認(rèn)為這樣命題是不科學(xué)的，只會給投機(jī)取巧者占便宜，對優(yōu)等生尤其不公平.

此外，填空題前6題都比較簡單，梯度不夠，如將第15，16題稍微提高點(diǎn)難度會更恰當(dāng)些.從整張?jiān)嚲韥砜矗唵晤}稍微少了些，導(dǎo)致試卷對藝術(shù)、體育類及純文科的考生不太有利.運(yùn)算量還是比較大，應(yīng)該體現(xiàn)“多考點(diǎn)怎么想，少考點(diǎn)怎么算”.

三、對教學(xué)的啟示

綜觀全卷，考查基礎(chǔ)主干知識是不變的旋律，強(qiáng)調(diào)探究應(yīng)用是命題的指向，力求推陳出新是不懈的追求.試卷再次傳遞信息——高中數(shù)學(xué)教學(xué)依靠“題海戰(zhàn)術(shù)”并不能保證考生在高考中取得好成績，呼喚數(shù)學(xué)教學(xué)回歸自然.

在概念教學(xué)中，教師要注重揭示概念的發(fā)生、發(fā)展過程，讓學(xué)生明晰概念的內(nèi)涵與外延.注重基礎(chǔ)、回歸教材是教學(xué)的首要環(huán)節(jié)：一是幫助學(xué)生構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò);二是再現(xiàn)重要知識的產(chǎn)生過程;三是挖掘教材例題、習(xí)題的潛在價值.

在教學(xué)中，只有加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識內(nèi)在的聯(lián)系，抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)，突出對概念的理解和運(yùn)用，突出思維能力的培養(yǎng)，才能真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，提高學(xué)生解決新穎問題的能力.

開展深度學(xué)習(xí)，關(guān)注高階思維和意義建構(gòu)，以此引導(dǎo)學(xué)生在體驗(yàn)知識方法的過程中不斷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).同時，教師應(yīng)對課堂上的某些問題適當(dāng)加以延伸、推廣，并引導(dǎo)學(xué)生加以解決，使學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力和學(xué)習(xí)力獲得提升.