抽絲剝繭剖析“倍數(shù)問(wèn)題”

魯桂青

[摘 要]數(shù)量關(guān)系具有相對(duì)性，已知的是標(biāo)準(zhǔn)量，未知的是相對(duì)量，二者的相對(duì)關(guān)系具有互換性，這在比大小、比多少問(wèn)題中已經(jīng)顯現(xiàn)。到了倍數(shù)問(wèn)題中，同樣存在著辨析相對(duì)性的問(wèn)題，到底誰(shuí)比誰(shuí)、該加還是該減、該乘還是該除，需要總結(jié)出一個(gè)簡(jiǎn)單、可操作性強(qiáng)的公式進(jìn)行研判。

[關(guān)鍵詞]數(shù)量關(guān)系;倍數(shù);公式;加減

每逢遇到較為煩瑣的倍數(shù)、分?jǐn)?shù)（含百分?jǐn)?shù)）應(yīng)用題，師生都會(huì)感到頭痛。教師無(wú)奈于講了無(wú)數(shù)次，學(xué)生就是不會(huì)，而學(xué)生則覺(jué)得教師沒(méi)有講到點(diǎn)子上。如何才能打破這樣的困境呢？能否把這些形形色色、紛繁復(fù)雜的倍數(shù)、分?jǐn)?shù)應(yīng)用題歸為一類，歸納出一套行之有效的破解之道？筆者認(rèn)為，不管是倍數(shù)問(wèn)題還是分?jǐn)?shù)問(wèn)題，都屬于倍率、分率的范疇，只不過(guò)在描述問(wèn)題時(shí)對(duì)數(shù)量關(guān)系的相對(duì)性作了置換。因此，根據(jù)內(nèi)在的共性概括出一個(gè)“萬(wàn)能公式”，使形式符合這一條件的題目或者通過(guò)一定加工和語(yǔ)言變換可以轉(zhuǎn)變?yōu)橥恍问降念}目，都套用這一“萬(wàn)能公式”來(lái)解決，是完全行得通的。

一、簡(jiǎn)單的倍數(shù)問(wèn)題的解題公式

低年級(jí)學(xué)生在初學(xué)倍數(shù)問(wèn)題時(shí)，一旦遇到類似下面的問(wèn)題，往往就會(huì)束手無(wú)策，這類問(wèn)題在情節(jié)描述上具有迷惑性，在語(yǔ)言邏輯上具有干擾性的相似情節(jié)，學(xué)生對(duì)到底該選用除法還是乘法解題常常感到迷茫。

1.佩奇有4雙旱冰鞋，喬治的旱冰鞋數(shù)量是佩奇的2倍，喬治有多少雙旱冰鞋？

2.佩奇有4雙旱冰鞋，是喬治的旱冰鞋數(shù)量的2倍，喬治有多少雙旱冰鞋？

很明顯，第1題是用“4×2=8”來(lái)解答，因?yàn)閱讨蔚暮当瑪?shù)量是佩奇的2倍，也就是所求的未知數(shù)是已知數(shù)4的2倍，即有2個(gè)4，所以用乘法。而第2題有所不同，雖然也是已知佩奇的旱冰鞋數(shù)量，倍數(shù)也是2，但是相對(duì)性發(fā)生了轉(zhuǎn)換，已知數(shù)4是未知數(shù)的2倍，改寫(xiě)成第1題的語(yǔ)序，就是未知數(shù)是已知數(shù)的[12]，所以用除法計(jì)算。

對(duì)比辨析這兩道題，可以總結(jié)出一個(gè)簡(jiǎn)單易行的規(guī)律：知小求大，用乘法計(jì)算;知大求小，用除法計(jì)算。再進(jìn)一步探究、解剖，從語(yǔ)法句式上辨析，還可以總結(jié)出：倍數(shù)問(wèn)題，若求的是動(dòng)詞“是”前面的量，用乘法計(jì)算;若求的是動(dòng)詞“是”后面的量，用除法計(jì)算。倍數(shù)問(wèn)題無(wú)非是誰(shuí)是誰(shuí)的倍數(shù)，翻來(lái)覆去，萬(wàn)變不離其宗，所以用上述規(guī)律解答可以快刀斬亂麻，省去復(fù)雜的對(duì)比邏輯分析。那么，復(fù)雜的倍數(shù)問(wèn)題又該怎么應(yīng)付呢？

二、復(fù)雜倍數(shù)問(wèn)題的解題公式

先看兩道不同類型的題目：

1.佩奇有20件裙子，豬媽媽的裙子件數(shù)比佩奇的2倍還多（少）6件，豬媽媽有多少件裙子？（用“20×2+6”或“20×2-6”解答）

2.佩奇有20件裙子，比豬媽媽的裙子件數(shù)的2倍還多（少）6件，豬媽媽有多少件裙子？（用“（20-6）÷2”或“（20+6）÷2”解答）

由于第1題的解法屬于順著情節(jié)發(fā)展來(lái)列式，大多數(shù)學(xué)生很容易就能理解和掌握，但是第2題的數(shù)據(jù)的變化是反著故事邏輯來(lái)走的，需要運(yùn)用逆向思維推理，而一些學(xué)生欠缺反推能力，解題時(shí)往往就會(huì)思維受阻。部分學(xué)生經(jīng)?；煜@兩類題目，尤其是對(duì)第2題這樣的題目，對(duì)于為何多了要減，少了反而要加，覺(jué)得不可思議、無(wú)法想象。

此時(shí)，教師可以扒掉情境外衣，提取直白的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)行直觀對(duì)比。將“（90）比40的2倍多10”與“90比（多少）的2倍多10”進(jìn)行對(duì)比。通過(guò)反復(fù)對(duì)比可知：90只有先刨去10后，剩下的才正好是所求數(shù)的2倍。也可通過(guò)直觀的線段圖（如右圖）進(jìn)行對(duì)比分析，這樣更能促進(jìn)學(xué)生的理解和掌握。

引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷上述方法的運(yùn)用，再經(jīng)過(guò)分析、提煉與歸納，總結(jié)出較復(fù)雜的倍數(shù)問(wèn)題的解題法則：知小求大，先乘倍數(shù)后加減，多幾加幾，少幾減幾;知大求小，先加減再除以倍數(shù)，多幾減幾，少幾加幾。通過(guò)進(jìn)一步研究語(yǔ)法句式，還可以將這個(gè)法則推廣，使其更具普遍性：求“比”“占”“是”之前的未知量（未知量大于已知量），先乘倍數(shù)后加減，多幾加幾，少幾減幾;求“比”“占”“是”之后的未知量（未知量小于已知量），多減少加后再除以倍數(shù)，多幾減幾，少幾加幾。

三、倍數(shù)問(wèn)題的推廣形式

在解決涉及小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用題時(shí)，上述倍數(shù)問(wèn)題的解題方法則是否可以沿用？下面從兩個(gè)例子著手研究。

1.佩奇有10件裙子，豬媽媽的裙子件數(shù)比佩奇的20%還多4件，豬媽媽有多少件裙子？（用“10×20%+4”解答）

2.佩奇有10件裙子，比豬媽媽的裙子件數(shù)的20%還多4件，豬媽媽有多少件裙子？（用“（10-4）÷20%”解答）

通過(guò)類比、分析，發(fā)現(xiàn)可以把從表面上看毫不相干的小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)問(wèn)題與倍數(shù)問(wèn)題歸為一類。為方便表述，姑且統(tǒng)稱為“倍率問(wèn)題”，并歸納概括出破解此類問(wèn)題的“萬(wàn)能公式”：求“比”“占”“是”之前的未知量，先求乘積，多幾加幾，少幾減幾;求“比”“占”“是”之后的未知量，多退少補(bǔ)，多幾減幾，少幾加幾，然后再除以“倍率”。

上述規(guī)律只是從語(yǔ)法與詞序方面來(lái)機(jī)械比對(duì)出解題法則，那么它的數(shù)學(xué)依據(jù)到底是什么？

1.佩奇有a件裙子，豬媽媽的裙子件數(shù)比佩奇的裙子件數(shù)的b（倍）還多（少）c件，豬媽媽有多少件裙子？（b還可以是表示倍比關(guān)系的分?jǐn)?shù)、小數(shù)）

分析：豬媽媽的裙子件數(shù)為ab[±]c。

2.佩奇有a件裙子，比豬媽媽的裙子件數(shù)的b（倍）還多（少）c件，豬媽媽有多少件裙子？（b還可以是表示倍比關(guān)系的分?jǐn)?shù)、小數(shù)）

分析：用方程法順推出算式，然后用解方程逆推出結(jié)果，豬媽媽的裙子件數(shù)為（a±c）÷b。

【說(shuō)明】

1.套用上述公式時(shí)，必須把已知量（數(shù)）置于數(shù)量關(guān)系詞句之前，否則，結(jié)論不成立。如“一個(gè)數(shù)的3倍是45，求這個(gè)數(shù)”必須改成“45是一個(gè)數(shù)的3倍，求這個(gè)數(shù)”。（調(diào)整句式后題目大意不變）

2.當(dāng)多（少）之后連接的不是一個(gè)確切數(shù)字時(shí)，必須先轉(zhuǎn)換成倍率語(yǔ)言，再套公式。

如：①佩奇有20件裙子，豬媽媽的裙子件數(shù)比佩奇的2倍還多10%，豬媽媽有多少件裙子？其實(shí)質(zhì)就是：佩奇有20件裙子，豬媽媽的裙子件數(shù)是佩奇的2.1倍，豬媽媽有多少件裙子？

②佩奇有40件裙子，比豬媽媽的裙子件數(shù)少20%，豬媽媽有多少件裙子？其實(shí)質(zhì)就是：佩奇有40件裙子，是豬媽媽的裙子件數(shù)的80%，豬媽媽有多少件裙子？

說(shuō)到底，簡(jiǎn)單的倍率問(wèn)題其實(shí)就是復(fù)雜倍數(shù)問(wèn)題的特殊情況，就是多幾少幾的數(shù)量為0的情況，也就是沒(méi)有缺額和超額的整倍數(shù)情況，仍可用上述公式解答。上述結(jié)論只是筆者個(gè)人淺見(jiàn)，如有不當(dāng)請(qǐng)不吝賜教。

（責(zé)編 吳美玲）