定位·探究·建?！み\用

陳愛弟

[摘 要]求多邊形的內(nèi)角和是讓學(xué)生借助探索三角形內(nèi)角和的經(jīng)驗來探索四邊形內(nèi)角和及其他多邊形內(nèi)角和，讓學(xué)生經(jīng)歷量、畫、剪、拼等操作活動，引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考、發(fā)現(xiàn)，把求多邊形內(nèi)角和的問題轉(zhuǎn)化為求幾個三角形內(nèi)角和的問題，引導(dǎo)學(xué)生在轉(zhuǎn)化中學(xué)會推理，在推理中找出規(guī)律，構(gòu)建計算多邊形內(nèi)角和的數(shù)學(xué)模型，從而培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。

[關(guān)鍵詞]定位;探究;建模;運用;多邊形內(nèi)角和

一、立足教材，整體把握

“求多邊形的內(nèi)角和”的教學(xué)是先運用探索三角形內(nèi)角和的經(jīng)驗來探索四邊形的內(nèi)角和，再借助統(tǒng)計表的形式，將圖形、邊數(shù)、內(nèi)角和整合在一起，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)求多邊形內(nèi)角和的規(guī)律，從而積累合情推理的經(jīng)驗。為了更好地達(dá)成教學(xué)目標(biāo)，筆者立足于教材內(nèi)容本身，課前做好如下準(zhǔn)備。

1.理解設(shè)計意圖，明確培養(yǎng)目標(biāo)

教材中的例7主要是讓學(xué)生利用探索三角形內(nèi)角和的經(jīng)驗來探索四邊形的內(nèi)角和，從而讓學(xué)生在了解四邊形的內(nèi)角和是360度的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探索五邊形、六邊形等多邊形的內(nèi)角和，引導(dǎo)學(xué)生歸納規(guī)律，從而培養(yǎng)學(xué)生的簡單推理能力。

2.抓準(zhǔn)重點突破，重在操作和發(fā)現(xiàn)

在探究多邊形內(nèi)角和的過程，給予學(xué)生足夠的時間和空間，從兩個層次來突破教學(xué)重難點。 第一層次：先讓學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)特殊四邊形的內(nèi)角和是360度，再在此基礎(chǔ)上通過合理猜想、不同的操作方法、不同層面的探究活動來驗證四邊形的內(nèi)角和是360度。 第二層次：指導(dǎo)學(xué)生想辦法求出六邊形的內(nèi)角和，促進(jìn)學(xué)生轉(zhuǎn)化思想的鞏固。 在探索過程中，學(xué)生可能會用“剪拼”的方法，教師要讓學(xué)生體會到使用剪拼的方法會出現(xiàn)重疊部分，不利于得出結(jié)論。為此，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“轉(zhuǎn)化”的方法（如圖1）去探索結(jié)論，從而體會轉(zhuǎn)化方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的具體應(yīng)用。

二、優(yōu)化教學(xué)，循序漸進(jìn)

深入研讀教材、鉆研教法、充分的教學(xué)準(zhǔn)備是有效落實教學(xué)目標(biāo)的重要保障。教學(xué)中，筆者重在引導(dǎo)學(xué)生動手操作、自主探究多邊形的內(nèi)角和;教學(xué)方法上重在運用“轉(zhuǎn)化與優(yōu)化”的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行課堂教學(xué)，循序漸進(jìn)地引領(lǐng)學(xué)生理解和掌握新知，在實踐中建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，有效形成解決問題的方法，旨在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

1.直觀引入

教學(xué)時，立足于學(xué)生已有的探索三角形內(nèi)角和的活動經(jīng)驗，筆者直截了當(dāng)?shù)貟伋鰡栴}：“四邊形的內(nèi)角和是多少度？”在此之前，學(xué)生對四邊形的知識已有了較深入的認(rèn)識，包括四邊形的分類、特殊四邊形的圖形特征。因此，可以有意識地讓學(xué)生觀察圖形，說出長方形、正方形的各個內(nèi)角的度數(shù)，然后計算出特殊四邊形內(nèi)角和的度數(shù)是360度。 接著繼續(xù)設(shè)疑問難：“那么一般的四邊形的內(nèi)角和是否也與長方形、正方形的內(nèi)角和一樣都是360度呢？”再追問： “可以用什么方法求出一般四邊形的內(nèi)角和呢？” 本環(huán)節(jié)從特殊的四邊形內(nèi)角和入手，給學(xué)生提供一個直觀觀察與猜想的繼續(xù)學(xué)習(xí)平臺，從而引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷獲取數(shù)學(xué)知識的過程。

2.操作驗證

問題的指向性有利于啟發(fā)學(xué)生進(jìn)一步求證知識的正確性，并激發(fā)學(xué)生在實踐中尋找答案。而動手操作是一種借助五官的操作活動，在操作過程中多種感官參與學(xué)習(xí)，學(xué)生就能加深對知識的理解，學(xué)到獲取知識的方法。 在操作中，學(xué)生利用已有經(jīng)驗對四邊形內(nèi)角和進(jìn)行探究，并呈現(xiàn)多種解決問題的方法，如方法一：量角;方法二：剪拼;方法三：分成兩個三角形;方法四：分成四個三角形;等等。

學(xué)生經(jīng)歷了不同層面的多種解決方法以及動手操作驗證猜想，得出結(jié)論：一般的四邊形內(nèi)角和的度數(shù)也是360度。直觀引入、操作驗證可充分展現(xiàn)知識的形成過程，加上足夠的操作與探究時間，推進(jìn)學(xué)生去大膽求證，學(xué)生在操作、探索活動中獲取知識，發(fā)展能力。

3.對比優(yōu)化

教師處理好學(xué)生的課堂生成和教學(xué)預(yù)設(shè)是教學(xué)循序漸進(jìn)的重要一環(huán)。 針對學(xué)生給出的不同方法，教師重在引導(dǎo)學(xué)生在多種可行的策略、方案或答案中篩選和優(yōu)化，尋找最佳策略，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。 通過讓學(xué)生觀察比較和討論分析得出： 方法一量角時容易出現(xiàn)誤差; 方法二剪拼時花費時間長，易受到外在操作條件的影響; 方法三簡單易懂，觀察可發(fā)現(xiàn)： 四邊形的4個內(nèi)角和與2個三角形的6個內(nèi)角和是相等的;方法四將四邊形分成的4個三角形后，發(fā)現(xiàn)4個三角形的所有內(nèi)角和比原來四邊形的內(nèi)角和多了一個“周角”。 比起前兩種方法，后兩種方法更方便快捷、更科學(xué)，也更具有一般性，容易得出準(zhǔn)確結(jié)果。 通過對比，學(xué)生理解了為何要把四邊形轉(zhuǎn)化成求幾個三角形的內(nèi)角和，并進(jìn)一步感受到不管是特殊的四邊形，還是一般的四邊形的內(nèi)角和都是360度的普遍性。

三、適度遷移，促成建模

遷移是一種重要的數(shù)學(xué)思維方法，它能夠?qū)ο嗤再|(zhì)的問題做到“及時聯(lián)系”，提高學(xué)生對相同性質(zhì)的問題的分析能力，從而推進(jìn)學(xué)生的自我學(xué)習(xí)向著更高的層次發(fā)展。本課教學(xué)重難點在于讓學(xué)生通過“畫一畫”，把多邊形分成若干個三角形，再利用三角形的內(nèi)角和求出多邊形的內(nèi)角和，并從中發(fā)現(xiàn)多邊形與三角形的關(guān)系，從而構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。

1.放手探索，初步總結(jié)

在探索完四邊形的內(nèi)角和后，筆者再次追問：“你能想辦法求出六邊形的內(nèi)角和嗎？”學(xué)生有了豐富的求證經(jīng)驗，又有了之前“優(yōu)化方法”的指引，快速地選擇“畫一畫”的方法去解決問題， 而非“量角”與“剪拼”。學(xué)生的多種畫法如圖3所示。

在充分肯定學(xué)生的個人見解后，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：計算六邊形的內(nèi)角和時，可借用求四邊形的方法，把六邊形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化成已學(xué)過的三角形或四邊形的內(nèi)角和來計算。學(xué)生對多邊形內(nèi)角和的計算方法有了更進(jìn)一步的理解與掌握，有利于求各種多邊形內(nèi)角和模型的構(gòu)建。

2.歸納類比，成功建構(gòu)

在學(xué)生經(jīng)歷探究活動之后，教師有目的地培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力，并讓學(xué)生在邊數(shù)增加的變化中感悟數(shù)學(xué)知識蘊藏的模型與規(guī)律。

學(xué)生根據(jù)表1中的輔助線提示，通過觀察順理成章地發(fā)現(xiàn)：從一個頂點出發(fā)向?qū)沁B線，可以把多邊形分成比邊數(shù)少2的三角形個數(shù)，得出多邊形的內(nèi)角和=（邊數(shù)-2）×180°，從而發(fā)現(xiàn)了多邊形與轉(zhuǎn)化后的三角形個數(shù)之間的關(guān)系。

解決問題的方法總是多樣的，根據(jù)學(xué)生在探究四邊形和六邊形內(nèi)角和時發(fā)現(xiàn)的方法，順勢出示第二種規(guī)律，即將多邊形中間的一點與每個頂點連接起來（見表2），得到的三角形個數(shù)與多邊形的邊數(shù)一樣多，但分成的所有三角形的內(nèi)角和比原多邊形的內(nèi)角和多出一個中心角，即“一個周角”。因此，引導(dǎo)學(xué)生觀察表格中的數(shù)據(jù)，可得出“多邊形的內(nèi)角和=邊數(shù)×180°- 360°”的數(shù)學(xué)模型。

一個個探究活動，加深了學(xué)生對轉(zhuǎn)化思想的運用。學(xué)生在不斷的觀察、分析、比較當(dāng)中，合理地推導(dǎo)出多邊形內(nèi)角和的規(guī)律，并通過對比挖掘出知識間的聯(lián)系，成功建立計算多邊形內(nèi)角和的數(shù)學(xué)模型，尋找出解決問題的方法。

四、綜合運用，深層提升

為了讓學(xué)生能夠靈活運用已學(xué)知識，筆者在綜合運用環(huán)節(jié)設(shè)計了兩道不同層次的練習(xí)題，難易得當(dāng)，層層推進(jìn)。

一道基礎(chǔ)題：求五邊形的內(nèi)角和、八邊形的內(nèi)角和、十一邊形的內(nèi)角和。目的是讓學(xué)生能夠?qū)W以致用，利用規(guī)律快速地解決問題，從而體會探索知識并獲取知識的喜悅感。

一題有思考價值的題（如圖4），目的是考查學(xué)生是否懂得靈活運用已學(xué)知識。 學(xué)生在解題過程中，通過思考把疑難問題轉(zhuǎn)化為解決過的問題，從而鞏固新知，鍛煉了思維能力。

總而言之，要提升學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，可以借助動手操作、探索實驗、類比總結(jié)等方法，聯(lián)系學(xué)生的已有經(jīng)驗和數(shù)學(xué)知識，引導(dǎo)學(xué)生利用轉(zhuǎn)化思想架構(gòu)未知與已知的橋梁，并應(yīng)用經(jīng)典方法合情推理，從而有效地構(gòu)建“多邊形內(nèi)角和”的知識模型，使得知識之間更具連貫性和系統(tǒng)性。

（責(zé)編 羅 艷）